Appunti sulle derivate e teoremi affini per la preparazione dell'esame Matematica Corso Base

IL CONCETTO DI DERIVATA

y = g(x) definita in D

x_o ∈ D

Considero una funzione y = g(x) definita in un insieme D, e preso un punto x_o appartenente a tale insieme D esso è la derivata della funzione y osservata nel punto x_o la derivata indicata con y' oppure g'(x_o).

La derivata prima della funzione in x_o è:

lim_h→0 [g(x_o+h) - g(x_o)] / h

ovvero la derivata prima di una funzione nel punto x_o, è il limite del rapporto incrementale (Δy / Δx) è il rapporto tra l’incremento della funzione e l’incremento della variabile indipendente.

Cos'è il RAPPORTO INCREMENTALE Δy = [g(x_o+h) - g(x_o)] ?

La derivata prima è:

g'₁(x₀) = lim_h→0 ^{g(x₀+h) - g(x₀)}/_h

h rappresenta gli incrementi che ha avuto la variabile dipendente (e cosiddetta Δx)

g(x₀+h) - g(x₀) rappresenta il Δy

La retta tracciata è una secante e sfiora la funzione

Il rapporto incrementale Δy/Δx rappresenta il coefficiente angolare di questa retta

A de spazio tendere h a zero, p e q si avvicinano – fin: a quando la retta diventa tangente al punto x₀, quindi se lim_h→0 ^{g(x₀+1) - g(x₀)}/_h, ovvero se derivata prima, rappresenta a livello geometrico il coefficiente della retta tangente al grafico della funzione

Come tutti i punti, il lim_h→0 ^{g(x₀+h) - g(x₀)}/_h può essere calcolato sia con h→0⁺ sia con h→0^-.

Se calcoli le limite con h→0⁺ sia da destra che da sinistra, è derivata prima prende il nome di:

DERIVATA DELLA FUNZIONE NEL PUNTO

Se invece studi h→0⁺ e h→0^- è derivata prima prende rispettivamente il nome di:

DERIVATA DEL PUNTO DI DESTRA

DERIVATA DEL PUNTO DA SINISTRA

Una funzione per essere derivato in un punto, ie lim_h→0 ^{g(x₀+h) - g(x₀)}/_h deve essere finito e il punto h non deve essere punto di discontinuità.

Una funzione è derivabile in un intervallo quando è derivabile in tutti i punti dell’intervallo

Regole di Derivazione

D[g(x) ± f(x)] = g'(x) ± f'(x)

D[g(x) · f(x)] = g'(x) · f(x) + f'(x) · g(x)

D[^g(x)/_f(x)] = ^{g'(x) · f(x) - f'(x) · g(x)}/_[f(x)]²

Il teorema di Lagrange (o del valore medio)

Data una funzione y = β(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a, b], e derivabile nello stesso intervallo, allora deve esistere almeno un punto c interno all'intervallo tale che:

m = (β(b) - β(a)) / (b - a)

— Coefficiente angolare della retta secante la funzione nei punti a e b —

(β(b) - β(a)) / (b - a) = β'(c) → β'(c) è la tangente

Ma se i due coefficienti angolari sono uguali, due rette sono parallele.

Quindi il teorema assicura che esiste almeno un punto c in cui il coefficiente angolare della

tangente è uguale al coefficiente angolare della secante, e quindi le due rette sono parallele,

perciò la tangente è parallela alla secante negli estremi dell'intervallo.

2a Concavità della Funzione e i Punti di Flesso

Considerata una funzione definita in D ed un punto x_o interno a D.

1. In x_o la funzione ha concavità verso l’alto quando tracciata la tangente nel punto x_o, in un intorno di questo punto la funzione si trova sempre al di sopra della tangente tracciata.

Esempio: La parabola (y = x²)

2. In x_o la funzione ha concavità verso il basso quando tracciata la tangente nel punto x_o, in un intorno di questo punto la funzione si trova sempre al di sotto della tangente tracciata.