Appunti sulle derivate e teoremi affini per la preparazione dell'esame Matematica Corso Base

IL CONCETTO DI DERIVATA

y = g(x) definita in Dx₀ ∈ D

Considerata una funzione y = g(x) definita in un insieme D, e preso un punto x₀ appartenente a quell'insieme D, cos’è la derivata della funzione e osservata nel punto x₀, la derivata è indicata con y' oppure g'(x₀).

1. derivata prima della funzione in x₀ o è lim _h→0 ^{[g(x₀ + h) - g(x₀)] / h}

ovvero la derivata prima di una funzione nel punto x₀, è il limite del rapporto incrementale.Il rapporto incrementale (^∆y/_∆x) è il rapporto tra l'incremento della funzione e il necessario della variabile indipendente.

COS'È IL RAPPORTO INCREMENTALE g(x₀ + h) - g(x₀)?

∆y = g(x₀ + h) - g(x₀)

IL CONCETTO DI DERIVATA

y = g(x) definita in Dx₀ ∈ D

Considerata una funzione y=g(x) definita in un insieme D, e preso un punto x₀ appartenente a quel insieme D, cos'è la derivata della funzione e osservata nel punto x₀? La derivata si indica con y' oppure g'(x₀).

1₂. derivata prima della funzione in x₀ è

^lim_h→0 ^{g(x₀+h)+g(x₀)}⁄_h

ovvero la derivata prima di una funzione nel punto x₀ è il limite del rapporto incrementale.

Il rapporto incrementale (^Δy⁄_Δx) è il rapporto tra l'incremento della funzione e il corrispondente incremento della variabile indipendente.

Cos'è il RAPPORTO INCREMENTALE

g(x₀+h)-g(x₀)?

Δy=g(x₀+h)-g(x₀)

La derivata prima è:

g'(x₀)=lim_h→0 (g(x₀+h) - g(x₀))/h

h rappresenta e l'incremento che ho sulla variabile dipendente (ie cosiddetta Δx)

(g(x₀+h) - g(x₀)) rappresenta il Δy

La retta tracciata è una secante al grafico della funzione e rapporto incrementale Δy/Δx rappresenta il coefficiente angolare di questa retta

Se faccio tendere h a 0

p e q si avvicinano fino a quando ea retta diventa tangente al punto x₀. Quindi ie lim_h→0 (g(x₀+1) - g(x))/h, ovvero è derivata prima, rappresenta il rapporto geometrico e coefficiente della retta tangente ea grafico della funzione

Come tutti i limiti, ie lim_h→0 (g(x₀+h) - g(x₀))/h

può essere calcolato sia con h→0⁺ sia con h→0⁻

Se calcolo ie limite con h→0 sia da destra che da sinistra, ea derivata prima prende il nome di derivata della funzione nel punto.

Se invece studio h→0⁺ e h→0⁻ ie derivata prima prende rispettivamente il nome di:

Derivata del punto da destra

Derivata del punto da sinistra

Una funzione per essere derivata in un punto, ie lim_h→0 (g(x₀+h) - g(x₀))/h deve essere finito e il punto h=0 non deve essere punto di discontinuità.

Una funzione è derivabile in un intervallo quando è derivabile in tutti i punti dell'intervallo.

RICORDA: LA CONTINUITÀ NON IMPLICA LA DERIVABILITÀ

Ci sono funzioni continue che non sono derivabili, mentre le funzioni derivabili sono sempre continue.

ESEMPIO

. La funzione è continua, ma non derivabile. Infatti calcolarne l'incremento non è possibile perché il limite da sinistra è infinito, da destra è finito.

Quindi esistono:

• punti di discontinuità
• punti di derivabilità

DERIVATE DELLE FUNZIONI ELEMENTARI

g(x)=k

Metà piano

g'(x)=0

g'(x)=_limh→0 g(x+h) - g(x) = _limh→0 k-k = 0

Dimostrazione:

g(x)=x bisettrice I e III quadrante

g'(x)=_limh→0 g(x+h) - g(x) = _limh→0 x+h-x = 1

g'(x)=1

β(x) = x²

β'(x) = 2x

β(x) = x^m

β'(x) = m x^(m-1)

es: β(x) = x³ β'(x) = 3 x²

β(x) = x^d

β'(x) = d x^d-1

es: β(x) = ½ x β(x) = ½ x^-2

β(x) = sinx

β'(x) = cosx

β(x) = cosx

β'(x) = -sinx

β(x) = tanx

β'(x) = 1/cos²x β'(x) = 1 + tan²x

β(x) = e^x

β'(x) = e^x

β(x) = a^x

β'(x) = a^x · log₁₀ a

a > 0 ∨ a ≠ 1

β(x) = cotanx

β'(x) = -1/sin²x β'(x) = -(1 + cotan2x)

β(x) = log x

β'(x) = 1/x

β(x) = log_ax

β'(x) = 1/(x · log₁₀a)

Regole di Derivazione

D = [β(x) + ε(x)] = β'(x) ± ε'(x)

D[β(x) · ε(x)] = β'(x) · ε(x) + β(x) · ε'(x)

D[^β(x)⁄_ε(x)] = ^{β'(x) · ε(x) - β(x) · ε'(x)}⁄_[ε(x)]²

Teorema di Rolle

Se g(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso [a, b] e derivabile nel medesimo intervallo aperto, se la funzione assume valori uguali negli estremi a e b, allora esiste almeno un punto c all'interno dell'intervallo in cui la derivata della funzione è nulla.

Ipotesi e tesi di questo teorema, sono così sintetizzabili:

1. g(x) continua in [a, b]
2. g(x) derivabile in (a, b)
3. g(a) = g(b)

Tesi: ∃c ∈ (a, b): g^'(c) = 0

La funzione ha lo stesso valore in a e b. Esiste un punto in cui si annulla la derivata prima, ovvero esiste un punto in cui la tangente è parallela all'asse delle x.

Nei grafici riportati non esiste un punto in cui si annulle la derivata prima:

1)

Manca l'ipotesi di continuità

2)

Manca ipotesi di derivabilità perché il Lim del rapporto incrementale Δy/Δx è diverso

3)

Manca l'ipotesi di derivabilità

ESEMPIO 1

y'(x) = x² + x (è un polinomio, dunque è una funzione continua negli intervalli chiusi e derivabile nell'intervallo aperto)

y'(x) = 1 + 2x da cui c = -¹/₂ interno a [-1;0]

Esiste almeno un punto interno dell'intervallo che annulla la derivata prima. Il punto in questo caso è -¹/₂.

ESEMPIO 2

y = ^{1 - x2}/_x² nell'intervallo [-1,1]

D: (-∞,0)U(0,+∞)

Non è applicabile, il teorema poiché x=0 non appartiene all'intervallo, non è né continua né derivabile.

Esempio (3)

y = g(x) = |x+3|

Riscrivo la funzione per parti:

• y_2 = x+3 per x ≥ -3
• y_1 = -x-3 per x < -3

Punto di discontinuità: -3 (perché la tangente da destra è una retta, da sinistra un'orizzontale)

Ne consegue che il Teorema di Rolle non si può applicare

Sintesi: Se tracciamo di Rolle, date le ipotesi, è assurda che c'è un punto e tangente orizzontale

Punto stazionario

I punti stazionari vengono detti estremanti. Non tutti i punti stazionari sono estremanti, perché possono anche non essere minimi o massimi relativi.

Il g(x) in ogni estremo è un punto stazionario

Il Teorema di Lagrange (o del Valore Medio)

Data una funzione y = β(x) continua nell'intervallo chiuso e derivabile sul medesimo intervallo aperto, allora esiste almeno un punto c interno dell'intervallo tale che sia:

β(b) - β(a)b-a

m = (coefficiente angolare della retta secante la funzione nei punti B e A)

β(b) - β(a)b-a = β'(c) ↔ β'(c) è la tangente

Ma se i due coefficienti angolari sono uguali, due rette sono parallele.

Quindi il teorema ci assicura che esiste almeno un punto c in cui il coefficiente angolare della secante è uguale al coefficiente angolare della tangente, e quindi le due rette sono parallele.

Il punto d a tangente è parallela alla secante negli estremi dell'intervallo.

Le conseguenze del Teorema di Lagrange

Prima conseguenza del Teorema di Lagrange

Ipotesi

• g(x) derivabile in (a,b)
• g(x) continua in [a,b]
• g'(x) > 0 in (a,b)

Tesi

• g(x) è crescente in (a,b)

Si inverte...

• g(x) derivabile in (a,b)
• g(x) continua in [a,b]
• g'(x) < 0 in (a,b)

• g(x) è decrescente in (a,b)

Seconda conseguenza del Teorema di Lagrange

Se g derivata prima è uguale a zero, vuol dire che g(x) è costante in (a,b), ovvero è una retta parallela all'asse.

Ipotesi

• g(x) derivabile in (a,b)
• g(x) continua in [2,5]
• g'(x) = 0 in (a,b)

Tesi

• g(x) = k in (a,b)

Teorema di De L'Hospital

Ipotesi

1. f(x) definita e derivabile in U(x₀), escluso al più x₀ (in cui la funzione può non assumere valore).
2. g(x) definita e derivabile in U(x₀), escluso al più x₀ (in cui la funzione può non assumere valore).
3. ∅ lim f(x) = 0 (oppure ∞) x → x₀
4. ∅ lim ξ() x → x₀ g(x)

Tesi

∅ lim {f(x)_<} = lim f'(x) x → x₀ {x → x₀ g'(x)

Quindi per risolvere una forma indeterminata si deriva numeratore e denominatore, e si ripete tale solo nei casi: ^[ͦ] ^[∅]

La ricerca di massimi e minimi

Ricorda

Minimo assoluto: valore più piccolo dell'intervallo

Massimo assoluto: valore più grande dell'intervallo

Se la ricerca del minimo o del massimo si limita ad un intorno dell'intervallo, e non all'intero intervallo, all...:

1. Se β(x) ≤ β(x_o) ∀ x ∈ U(x_o)

Allora β(x_o) è massimo relativo, e l' x_o cui quel punto è chiamata punto di massimo relativo

2. Se β(x) ≥ β(x_o) ∀ x ∈ U(x_o)

Allora β(x_o) è minimo relativo, e l' x_o cui quel punto è chiamata punto di minimo relativo

Esempio:

"Se X_o è massimo relativo, prima di X_o la funzione cresce, dopo X_o decresce"

"Se X_o è minimo relativo, prima di X_o la funzione decresce, dopo X_o cresce"

β(x₀) è massimo relativo se..

• β'(x₀)=0 ovvero è punto stazionario
• β'(x)≤0 ∀ x∈U^-(x₀)
• β'(x)≥0 ∀ x∈U⁺(x₀)

β(x₀) è minimo relativo se..

• β'(x₀)=0
• β'(x)≥0 ∀ x∈U^-(x₀)
• β'(x)≤0 ∀ x∈U⁺(x₀)