Statistica - Appunti

Riassunti di statistica

Principio di moltiplicazione

Supposto che per ogni k=1, 2, …, N la scelta da compiere al k-esimo passo possa essere fatta in n modi, il numero

k

totale delle possibili scelte è:

= ∙ ∙∙∙ ∙ = �

1 2 −1

=1

Es: Il signor Rossi ha a disposizione 3 giacche, 4 camicie, 5 paia di pantaloni e 4 paia di scarpe. Quanti possibili abbinamenti

può fare? 1

3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 4 = 240

R:

Prodotto cartesiano

Siano A e B due insiemi non vuoti, contenuti l’uno nell’insieme universo X e l’altro nell’insieme universo Y. Il

prodotto cartesiano tra A e B è:

{(,

× = ): ∈ , ∈ } × ⊆ ×

con |

|

× = || ∙ ||

Se A ha n elementi e B ha m elementi, AxB ha cardinalità mxn:

Nel caso particolare in cui tutti gli insiemi di cui si fa il prodotto cartesiano sono uguali

k

Ω = Ω × … × Ω ( )

ORDINATO NON ORDINATO

RIPETIZIONI | |,

= Ω + − 1

+ − 1

CON �

� = �

�

k − 1

(, ) =|Ω

| = ∙ ∙∙∙ =

( (

(, ) = ∙ − 1) ∙∙∙ − + 1)

RIPETIZIONI (, ) !

! (, ) = = = � �

SENZA = (

! ! − )!

( − )!

= � �

= , −

(, ) = !

In quanti modi è possibile scegliere una partizione ordinata (A , …, A ) di Ω in r sottoinsiemi disgiunti di cardinalità

1 r

n , …, n ?

1 r (Ω): Ω

!

(Ω)|

| = ℎ ℎ

( )

,…, ! ! ∙∙∙ !

1 1 2 Ω

Es: La maestra di una classe di 30 alunni deve sceglierne 6 per una ricerca di

geografia, 7 per una ricerca di storia, 10 per una visita guidata al museo di scienze naturali con una relazione finale, e 7 per

una visita analoga alla pinacoteca. Ogni alunno deve partecipare a un progetto. In quanti modi può fare la scelta dei vari

gruppi?

30!

R: 6!7!10!7!

Riassunti di statistica

Probabilità ∈

a

Sia Ω l’insieme degli eventi che si possono verificare come esito delle prove. Ad ogni elemento A si associa la sua

p(a)∈[0,1].

probabilità °

= °

Se A⊆Ω è un un sottoinsieme, possiamo associare una probabilità anche ad A; questa è la somma delle probabilità

degli eventi in A, ed esprime la frazione di prove che hanno come esito un evento contenuto in A.

},

{ :

Ω = , … ,

1 2

) ) )

� ( = ( + ⋯ + ( = 1

1

=1 1

() =

p

Due eventi sono definiti equiprobabili quando (funzione probabilità) è costante. In tal caso |Ω|

) ) )

(Ω) = � ( = � ( = ∙ (

1 1

=1 =1 è Ω

⊆Ω

Dati due qualsiasi sottoinsiemi A, B ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

In particolare, se A e B sono disgiunti (A∩B=∅)

( ∪ ) = () + ()

⊆ Ω, ∩ = ∅ ∪ = Ω

Per ogni sottoinsieme )

(Ω) = () + ( = 1

)

( = 1 − ()

Kolmogorov

Assiomi: (): 0 ≤ () ≤ 1;

1. Ad ogni evento casuale corrisponde una probabilità

(Ω) = 1;

2. La probabilità dell’evento certo

3. La probabilità dell'unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi a due a due disgiunti è pari alla

somma delle probabilità di questi eventi

∞ ∞ )

(� ) = � ( , ∩ = ∅

=1 =1

Prove ripetute e indipendenti

}

{

Ω = , … ∈ Ω

1

La probabilità di ottenere esattamente k volte l’esito a in r prove ripetute e indipendenti tra loro è

j

−

�

� � � �1 − � ��

Riassunti di statistica

Probabilità condizionata

⊆ Ω Ω

Siano A, B sottoinsiemi di e p(B)>0 (evento non impossibile). La probabilità di avere come esito l’evento A

supposto che si verifichi un evento in B è | |

( ∩ ) ∩

|

( ) = = | |

()

p(A|B )

Quando sono note le probabilità condizionate di di A rispetto a degli eventi in B che formano una partizione

i i

p(A).

ordinata di Ω e si vuole ricavare 3

)

( = ( ∩ ) ∪ ( ∩

= ∩ Ω = ∩ ∪ )

)

( ( = ∅

∩ ) ∪ ∩ (disgiunti) e la probabilità è additiva in unioni disgiunte:

Poiché ) =

() = ( ∪ ) + ( ∪

| | )(

= ( )() + ( )

Teorema delle probabilità delle parti

=1

∑ )

() = ( ∩

Poiché | )(

() = � ( )

=1

Es: Una fabbrica produce pezzi di ricambio, usando tre linee di produzione. I pezzi prodotti dalla prima linea sono difettosi nel

20% dei casi, quelli prodotti dalla seconda linea nel 10% dei casi e quelli prodotti dalla terza linea nel 5% dei casi.

Supponiamo che la prima linea produca il 30% dei pezzi totali, la seconda il 35% e la terza il restante 35%. I pezzi prodotti

vengono accumulati in un magazzino comune senza tener conto della linea di produzione di origine. Qual è la probabilità che

un pezzo preso a caso all’interno del magazzino sia difettoso?

⊆ ⊆

Ω Ω

R: Sia A l’insieme dei pezzi difettosi e B , B , B i sottoinsiemi dei pezzi prodotti rispettivamente dalla prima, seconda

1 2 3

e terza linea di produzione

3 | | |

|

)( ) )( ) )( ) )( )

() = � ( + ( + ( =

= (

1 1 2 2 3 3

=1 = , ∙ , + , ∙ , + , ∙ , = , = , %

Teorema di Bayes

Vogliamo ora considerare il seguente problema. Immaginiamo di entrare nel magazzino, di scegliere un pezzo a caso e di

constatare che questo pezzo è difettoso. Che probabilità c’è che questo pezzo provenga dalla prima linea di produzione? Cioè,

quanto vale p(B |A)?

1 3

)

( ∩

1 | |

| ) )( ) )( )

= ( () = � (

( ( ∩

) =

1 1 1 1

() =1

| )( ) 0,2 ∙ 0,35

(

1 1

|

⇒ ( = = 0,533

) =

1 3

∑ | 0,1125

)( )

(

=1 ⊆

In generale, sia (Ω,p) uno spazio di probabilità. Sia (B , …, B ) una partizione ordinata di Ω. Sia A Ω un

1 r

p(A)>0 p(B i=1,

sottoinsieme. Supposto che e ) per ogni …, r , allora

i | )( )

(

|

( ) =

=1

∑ �� �� �

Riassunti di statistica

Incompatibilità e indipendenza

Se A e B sono eventi incompatibili, allora la probabilità della loro somma logica è la somma delle singole probabilità:

∩ = ∅ ⇒ ( ∪ ) = () + ()

Se A e B non sono disgiunti (non incompatibili):

∩ ≠ ∅ ⇒ ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

Un evento B è indipendente da un evento A se il verificarsi di A non altera la probabilità che ha B di verificarsi, per 4

cui: ( ∩ ) = () ∙ ()

Se A e B non sono indipendenti: | |

( ∩ ) = ( )() = ( )()

Regola del prodotto

Supposto che A , A , …, A siano eventi di un esperimento casuale la cui intersezione ha una probabilità positiva:

1 2 n | |

) )( )( )

( ∩ ∩ … ∩ = ( ∩ ∙∙∙ ( | ∩ ∩ … ∩ )

1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 −1

Riassunti di statistica

Variabile aleatoria

variabile casuale aleatoria)

Si definisce (o una variabile che può assumere un insieme di valori, ognuno dei quali ha una

probabilità di avvenire.

X x

= variabile aleatoria = valore assunto

La variabile aleatoria si definisce discreta quando assume un numero finito, o un’infinità numerabile, di valori.

Si definisce continua quando assume un’infinità non numerabile di valori.

Probabilità & variabili aleatorie discrete Dove x , x , … sono i valori assumibili da X e p , p , … le

x x … x

Valori di X Totale 1 2 1 2 5

1 2 i corrispondenti probabilità, tali che:

… p

Probabilità 1

p p

1 2

i )

� ( = ( =

) = 1 ( )

=1

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione, o cumulata, dà la probabilità di osservare una valore della variabile minore o uguale a x:

() = ( ≤ ) ∈ ℝ ℝ

x

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se:

() ≥ 0 ∀ ∈ ℝ

1. lim () = 1

2. →+∞ () = 0

lim

3. →−∞

Per le variabili casuali discrete, la funzione di ripartizione è a gradini con salti in corrispondenza dei valori che

possono essere assunti da X.

) ) ) )

= ( ≤ = ( = + ⋯ + ( = =

( + + ⋯ +

1 1 2

x

In generale, per qualunque che può anche non appartenere all’insieme dei valori assumibili da X:

() = �

: ≤

Per una variabile aleatoria continua X abbiamo una funzione di densità di probabilità che permette di esprime la

funzione di ripartizione ( ∈ ) = � ()

() = ( ≤ ) = � ()

−∞

Riassunti di statistica

Media e varianza di una variabile aleatoria discreta

La media (o valore atteso) di una variabile casuale discreta è data dalla somma dei possibili valori di tale variabile,

ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi, cioè è la media ponderata dei possibili risultati.

() = �

≥1

Il valore atteso indica la tendenza centrale della distribuzione di probabilità di X, che non necessariamente coincide

con uno dei valori che la variabile può effettivamente assumere.

x

Se i valori sono in un numero n finito e sono equiprobabili, il valore atteso si riduce alla media aritmetica:

i 1 6

) =

(

poiché (equiprobabilità),

=1

∑

() =

( ≥ ) = 1, () ≥

Teorema: se esiste una costante a tale che allora e se esiste un numero costante b tale che

( ≤ ) = 1 () ≤ .

allora ( ≤ ≤ ) = 1 ⟹ ≤ () ≤

Da ciò ne deriva che se

Il valore atteso della somma di due variabili aleatorie distinte è pari alla somma dei valori attesi delle singole variabili

casuali: ) ) )

( + = ( + (

Il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti è pari al prodotto dei valori attesi delle singole

variabili casuali ) )(

( = (

)

Altre proprietà:

• ( + ) = ∙ () + ∑

• () ()

= () ∙

[()] = () ∙

∫

• )

( = ()

• () minimizza lo scarto quadratico medio, cioè quanto il valore si discosta da C (se scelgo C come valore

atteso minimizzato)

2 ]

= [( − )

() =

( − ) = () =

0

La varianza di una variabile aleatoria discreta X è una funzione che fornisce una misura di quanto siano vari i valori

assunti dalla variabile, ovvero di quanto si discostino dal valore atteso.

2 2 2

) [()]

() = � − ()� = ( − =

2 2

[()]

= � −

≥1

Un altro modo per indicare la varianza è facendo riferimento allo scarto quadratico medio (σ), di cui la varianza è il

quadrato: 2

() =

La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume un solo

valore: P(X=x)=1

Se si sposta una distribuzione di probabilità di una quantità arbitraria data, la sua varianza rimarrà immutata. In altre

parole, se aumento di b tutti i valori assumibili da X, anche la sua media sarà aumentata di b, ma la dispersione

intorno ad essa no. Quindi, la dispersione di X rispetto al valore atteso E(X) è identica alla dispersione di X+b

rispetto a E(X+b): , () = ( + )

Riassunti di statistica

Momenti di una variabile aleatoria k

Considerata una variabile aleatoria X e un intero positivo tali che X sia una variabile causale con valore atteso

k

k k-esima