Statistica - Appunti

Riassunti di statistica

Principio di moltiplicazione

Supposto che per ogni k=1, 2, …, N la scelta da compiere al k-esimo passo possa essere fatta in n modi, il numero k totale delle possibili scelte è: = ∙ ∙∙∙ ∙ = � 1 2 −1 =1

Es: Il signor Rossi ha a disposizione 3 giacche, 4 camicie, 5 paia di pantaloni e 4 paia di scarpe. Quanti possibili abbinamenti può fare? 13 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 4 = 240

R:

Prodotto cartesiano

Siano A e B due insiemi non vuoti, contenuti l’uno nell’insieme universo X e l’altro nell’insieme universo Y. Il prodotto cartesiano tra A e B è: {(, × = ): ∈ , ∈ } × ⊆ × con || × = || ∙ ||

Se A ha n elementi e B ha m elementi, AxB ha cardinalità mxn:

Nel caso particolare in cui tutti gli insiemi di cui si fa il prodotto cartesiano sono uguali kΩ = Ω × … × Ω ( )

Ordinato non ordinato ripetizioni | |, = Ω + − 1 + − 1

Con �� = ��k − 1(, ) =|Ω | = ∙ ∙∙∙ = ( ((, ) = ∙ − 1) ∙∙∙ − + 1)

Ripetizioni (, ) ! ! (, ) = = = � �

Senza = (! ! − )! ( − )! = � � = , −(, ) = !

In quanti modi è possibile scegliere una partizione ordinata (A , …, A ) di Ω in r sottoinsiemi disgiunti di cardinalità 1 r n , …, n ? 1 r (Ω): Ω!(Ω)|| = ℎ ℎ ( ),…, ! ! ∙∙∙ !1 1 2 Ω

Es: La maestra di una classe di 30 alunni deve sceglierne 6 per una ricerca di geografia, 7 per una ricerca di storia, 10 per una visita guidata al museo di scienze naturali con una relazione finale, e 7 per una visita analoga alla pinacoteca. Ogni alunno deve partecipare a un progetto. In quanti modi può fare la scelta dei vari gruppi?

30!

R: 6!7!10!7!

Riassunti di statistica

Probabilità ∈a

Sia Ω l’insieme degli eventi che si possono verificare come esito delle prove. Ad ogni elemento A si associa la sua p(a)∈[0,1]. probabilità ° = ° Se A⊆Ω è un sottoinsieme, possiamo associare una probabilità anche ad A; questa è la somma delle probabilità degli eventi in A, ed esprime la frazione di prove che hanno come esito un evento contenuto in A.},{ : Ω = , … , 1 2) ) )� ( = ( + ⋯ + ( = 1 1 =1 1() =p

Due eventi sono definiti equiprobabili quando (funzione probabilità) è costante. In tal caso |Ω| ) ) )(Ω) = � ( = � ( = ∙ ( 1 1=1 =1 è Ω⊆Ω

Dati due qualsiasi sottoinsiemi A, B ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

In particolare, se A e B sono disgiunti (A∩B=∅)( ∪ ) = () + () ⊆ Ω, ∩ = ∅ ∪ = Ω

Per ogni sottoinsieme )(Ω) = () + ( = 1 )( = 1 − ()

Kolmogorov

Assiomi:

• Ad ogni evento casuale corrisponde una probabilità(): 0 ≤ () ≤ 1;
• La probabilità dell’evento certo(Ω) = 1;
• La probabilità dell'unione di un numero finito o infinito numerabile di eventi a due a due disgiunti è pari alla somma delle probabilità di questi eventi ∞ ∞ )(� ) = � ( , ∩ = ∅ =1 =1

Prove ripetute e indipendenti

}{ Ω = , … ∈ Ω1 La probabilità di ottenere esattamente k volte l’esito a in r prove ripetute e indipendenti tra loro è j −�� � � �1 − � ��

Riassunti di statistica

Probabilità condizionata

⊆ Ω Ω Siano A, B sottoinsiemi di e p(B)>0 (evento non impossibile). La probabilità condizionata di avere come esito l’evento A supposto che si verifichi un evento in B è | |( ∩ ) ∩ |( ) = = | |() p(A|B )

Quando sono note le probabilità condizionate di di A rispetto a degli eventi in B che formano una partizione ordinata di Ω e si vuole ricavare 3 )( = ( ∩ ) ∪ ( ∩ = ∩ Ω = ∩ ∪ ) )( ( = ∅∩ ) ∪ ∩ (disgiunti) e la probabilità è additiva in unioni disgiunte:

Poiché ) =() = ( ∪ ) + ( ∪ | | )(= ( )() + ( )

Teorema delle probabilità delle parti

=1∑ )() = ( ∩ Poiché | )(() = � ( ) =1

Es: Una fabbrica produce pezzi di ricambio, usando tre linee di produzione. I pezzi prodotti dalla prima linea sono difettosi nel 20% dei casi, quelli prodotti dalla seconda linea nel 10% dei casi e quelli prodotti dalla terza linea nel 5% dei casi. Supponiamo che la prima linea produca il 30% dei pezzi totali, la seconda il 35% e la terza il restante 35%. I pezzi prodotti vengono accumulati in un magazzino comune senza tener conto della linea di produzione di origine. Qual è la probabilità che un pezzo preso a caso all’interno del magazzino sia difettoso?

⊆ ⊆Ω Ω R: Sia A l’insieme dei pezzi difettosi e B , B , B i sottoinsiemi dei pezzi prodotti rispettivamente dalla prima, seconda 1 2 3 e terza linea di produzione 3 | | ||)( ) )( ) )( ) )( )() = � ( + ( + ( == ( 1 1 2 2 3 3=1 = , ∙ , + , ∙ , + , ∙ , = , = , %

Teorema di Bayes

Vogliamo ora considerare il seguente problema. Immaginiamo di entrare nel magazzino, di scegliere un pezzo a caso e di constatare che questo pezzo è difettoso. Che probabilità c’è che questo pezzo provenga dalla prima linea di produzione? Cioè, quanto vale p(B |A)?1 3)( ∩ 1 | || ) )( ) )( )= ( () = � ( ( ( ∩ ) =1 1 1 1 () =1| )( ) 0,2 ∙ 0,35( 1 1|⇒ ( = = 0,533) =1 3∑ | 0,1125)( )( =1

⊆ In generale, sia (Ω,p) uno spazio di probabilità. Sia (B , …, B ) una partizione ordinata di Ω. Sia A Ω un 1 r p(A)>0 p(B i=1,sottoinsieme. Supposto che e ) per ogni …, r , allora i | )( )( |( ) = =1∑ �� �� �

Riassunti di statistica

Incompatibilità e indipendenza

Se A e B sono eventi incompatibili, allora la probabilità della loro somma logica è la somma delle singole probabilità: ∩ = ∅ ⇒ ( ∪ ) = () + ()

Se A e B non sono disgiunti (non incompatibili): ∩ ≠ ∅ ⇒ ( ∪ ) = () + () − ( ∩ )

Un evento B è indipendente da un evento A se il verificarsi di A non altera la probabilità che ha B di verificarsi, per 4 cui: ( ∩ ) = () ∙ ()

Se A e B non sono indipendenti: | |( ∩ ) = ( )() = ( )()

Regola del prodotto

Supposto che A , A , …, A siano eventi di un esperimento casuale la cui intersezione ha una probabilità positiva: 1 2 n | |) )( )( )( ∩ ∩ … ∩ = ( ∩ ∙∙∙ ( | ∩ ∩ … ∩ )1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 −1

Riassunti di statistica

Variabile aleatoria

Variabile casuale aleatoria) Si definisce (o una variabile che può assumere un insieme di valori, ognuno dei quali ha una probabilità di avvenire.

X x= variabile aleatoria = valore assunto

La variabile aleatoria si definisce discreta quando assume un numero finito, o un’infinità numerabile, di valori.

Si definisce continua quando assume un’infinità non numerabile di valori.

Probabilità & variabili aleatorie discrete

Dove x , x , … sono i valori assumibili da X e p , p , … le x x … x Valori di X Totale 1 2 1 2 5 1 2 i corrispondenti probabilità, tali che:… p

Probabilità 1p p1 2 i )� ( = ( = ) = 1 ( ) =1

Funzione di ripartizione

La funzione di ripartizione, o cumulata, dà la probabilità di osservare una valore della variabile minore o uguale a x:() = ( ≤ ) ∈ ℝ ℝx

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se:

• () ≥ 0 ∀ ∈ ℝ
• Lim () = 12. →+∞
• () = 0lim3. →−∞

Per le variabili casuali discrete, la funzione di ripartizione è a gradini con salti in corrispondenza dei valori che possono essere assunti da X.) ) ) )= ( ≤ = ( = + ⋯ + ( = = ( + + ⋯ + 1 1 2 x

In generale, per qualunque che può anche non appartenere all’insieme dei valori assumibili da X:() = � : ≤

Per una variabile aleatoria continua X abbiamo una funzione di densità di probabilità che permette di esprime la funzione di ripartizione ( ∈ ) = � () () = ( ≤ ) = � ()−∞

Riassunti di statistica

Media e varianza di una variabile aleatoria discreta

La media (o valore atteso) di una variabile casuale discreta è data dalla somma dei possibili valori di tale variabile, ciascuno moltiplicato per la probabilità di verificarsi, cioè è la media ponderata dei possibili risultati.() = � ≥1

Il valore atteso indica la tendenza centrale della distribuzione di probabilità di X, che non necessariamente coincide con uno dei valori che la variabile può effettivamente assumere.

x Se i valori sono in un numero n finito e sono equiprobabili, il valore atteso si riduce alla media aritmetica: i 1 6) =(poiché (equiprobabilità), =1∑ () = ( ≥ ) = 1, () ≥

Teorema: se esiste una costante a tale che allora e se esiste un numero costante b tale che ( ≤ ) = 1 () ≤ .allora ( ≤ ≤ ) = 1 ⟹ ≤ () ≤ Da ciò ne deriva che se

Il valore atteso della somma di due variabili aleatorie distinte è pari alla somma dei valori attesi delle singole variabili casuali: ) ) )( + = ( + (

Il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie indipendenti è pari al prodotto dei valori attesi delle singole variabili casuali ) )(( = ( )

Altre proprietà

( + ) = ∙ () + ∑

() ()= () ∙ [()] = () ∙ ∫

)( = ()

() minimizza lo scarto quadratico medio, cioè quanto il valore si discosta da C (se scelgo C come valore atteso minimizzato)2 ] = [( − )() = ( − ) = () = 0

La varianza di una variabile aleatoria discreta X è una funzione che fornisce una misura di quanto siano vari i valori assunti dalla variabile, ovvero di quanto si discostino dal valore atteso.2 2 2) [()]() = � − ()� = ( − =2 2[()]= � −≥1

Un altro modo per indicare la varianza è facendo riferimento allo scarto quadratico medio (σ), di cui la varianza è il quadrato: 2() =

La varianza di una variabile aleatoria non è mai negativa, ed è zero solamente quando la variabile assume un solo valore: P(X=x)=1

Se si sposta una distribuzione di probabilità di una quantità arbitraria data, la sua varianza rimarrà immutata. In altre parole, se aumento di b tutti i valori assumibili da X, anche la sua media sarà aumentata di b, ma la dispersione intorno ad essa no. Quindi, la dispersione di X rispetto al valore atteso E(X) è identica alla dispersione di X+b rispetto a E(X+b): , () = ( + )

Riassunti di statistica

Momenti di una variabile aleatoria k

Considerata una variabile aleatoria X e un intero positivo tali che X sia una variabile causale con valore atteso k k-esima