Appunti Sismica

APPUNTI INGEGNERIA SISMICA

POLITECNICO DI TORINO

ARGOMENTI TRATTATI NEL PRESENTE DOCUMENTO:

1. ELEMENTI DI DINAMICA
   1. OSCILLATORE SEMPLICE – DIMOSTRAZIONE
   2. OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO – DIMOSTRAZIONE
   3. OSCILLATORE SEMPLICE FORZATO – DIMOSTRAZIONE
   4. OSCILLATORE SEMPLICE FORZATO E SMORZATO – DIMOSTRAZIONE
   5. OSCILLATORE SEMPLICE SMORZATO – RISPOSTA AD UN IMPULSO
2. FORZANTE GENERICA
   1. FORZANTE SISMICA
      1. INTEGRALE DI DUHAMEL
      2. PSEUDO VELOCITA’ SPETTRALE
      3. SPOSTAMENTO SPETTRALE MAX
      4. PSEUDO ACCELERAZIONE SPETTRALE
      5. CALCOLO DELLO SMORZAMENTO SPERIMENTALE
      6. SPETTI DI RISPOSTA ELASTICI
3. FORZANTE: FUNZIONE PERIODICA
   1. FURIER
   2. ESEMPI CON DIVERSE FORME DI FORZANTE
4. SISTEMI SDOF
   1. SERIE DI FURIER
   2. TRASFORMATA DI FURIER
5. SISTEMA a n GRADI DI LIBERTA’
   1. SISTEMA NON SMORZATO NON FORZATO
   2. ANALISI MODALE
   3. COEFFICIENTE DI PARTECIPAZIONE MODALE
   4. SISTEMA SMORZATO
   5. FORZE STATICHETAGLIO ALLA BASE DI UN TELAIO A n PIANI
   6. COMBINAZIONE DEI MODI DI VIBRARE
      1. SRSS
      2. CQC
   7. ORTOGONALITA’ DEGLI AUTOVETTORI
6. DINAMICA DEGLI EDIFICI 3D

ω_d = ω√(1 - ζ²)

u(t) = e^-ζωt (B₁ cos(ω_dt) + B₂ sin(ω_dt))

Condizioni di continuità

t = 0

u(0) = B₁ = u₀

u̇(0) - (B₂ω_d - ζωB₁) = B₂ω_d - ζω u₀ = u̇₀

B₂ = u̇₀ + ζωu₀ / ω_d

u(t) = e^-ζωt (u₀ cos(ω_dt) + u̇₀ + ζωu₀ / ω_d sin(ω_dt))

ζ < 1

T_d = 2π / ω_d

Osillazione semplice forzato e smorzato

C ≠ 0

ü(t) + 2γω u̇(t) + ω²u(t) = (P₀/m) sen(ω₁t)

u(t) = u_om(t) + u_p(t)

u̇_om(t) = e^-γt(A cos(ω_₀t) + B sen(ω_₀t))

u_p(t) = C sen(ω_₁t + φ)

u̇_p(t) = ω_₁C cos(ω_₁t + φ)   ü_p(t) = -ω_₁² C sen (ω_₁t + φ)

-ω_₁² sen(ω_₁t + φ) + 2γω_₁C cos(ω_₁t + φ) + ω² C sen(ω_₁t + φ) =

=(P₀/m) sen(ω_₁t)

sen(ω_₁t + φ) = sen(ω_₁t) cosφ + cos(ω_₁t) senφ

cos(ω_₁t + φ) = cos(ω_₁t) cosφ - sen(ω_₁t) senφ

-ω_₁²C [ sen(ω_₁t) cosφ + cos(ω_₁t) senφ ] +

+ ω² C [                                 ] +

+ 2γω_₁C [ cos(ω_₁t) cosφ + cos(ω_₁t) senφ ] =

=(P₀/m) sen(ω_₁t)

(ω² - ω_₁²) C [ sen(ω_₁t) cosφ + cos(ω_₁t) senφ ] +

+ 2γω_₁C [ cos(ω_₁t) cosφ - sen(ω_₁t) senφ ] = (P₀/m) sen(ω_₁t) +

+ 0 · cos(ω_₁t)

1. (ω² - ω_₁²) C [ sen(ω_₁t) cosφ ] - 2γω_₁C [                 ] = (P₀/m) senφ
2. (ω² - ω_₁²) C [ cos(ω_₁t) senφ ] + 2γω_₁C [                 ] = 0

• (ω² - ω_₁²) C senφ + 2γω_₁C cosφ = 0
• (ω² - ω_₁²) tgφ + 2γω_₁ = 0  →  tgφ = (2γω_₁)/(ω² - ω_₁²)

1. (a² + b²)

(ω² - ω_₁²)² C² cos²φ + 4γ²ω_₁² - ω_₁² C² sen²φ +

-4γω_₁ senφ cosφ (ω² - ω_₁²) C² + (ω² - ω_₁²) C² - sen²φ

+ 4γ² ω_₁² ω_₁² cos²φ + 4γω_₁ senφ cosφ (ω² - ω_₁²) C² = P₀²/m²

Dopo l'impulso ho oscillazioni libere che dipendono delle condizioni iniziali (u₀, u̇₀)

Oscillatore semplice smorzato

u(t) = e^-F_ut [(u₀ + ξ * u̇₀) sen(ω_dt) + u₀ cos(ω_dt)]u(t) = du(t) → spost. del singolo impulso → vale 0

U(0) ⇒ du(t₁) = 0

du(t) = e^-F_u(t-τ) [P(τ)/m * ω_d] sen(ω_d(t-τ)) dT

Somma di impulsi

du(T₁) = P(T₁)/m dT

La massa al t₃ non è a zero ma parte dello spostam. dato dell'impulso precedente

du(t₁) = tgΘ ↓ Per sommare si fa sovrapp. degli effetti

Come trattare una serie di impulsi?

Anovvero: - L'analisi di Furier - L'integrale di Duhamel

Risposta che interviene all'istante dell'impulso L₃ ha la forma del seno

Accelerazione spettrale

1) Picco delle accelerazioni nel tempo

2) Mi dà una sottostima degli spostamenti

Picco di risposta in funzione di T

L1 è sisma e ti ricalcolo se faccio per T il sisma e ∀T ottengo gli spettri

A T → ∞ tutte le curve tendono a PGD → peak ground displacements, perché quando la struttura è infinitamente flessibile ho spostamenti = al suolo

F = m ⋅ a

Se conosco i picchi di accelerazione, posso ricavare le forze equivalenti da applicare agli impalcati e fare un'analisi elastica lineare, per fare questo ho bisogno di usare forza.

Non posso usare Sa perché il picco di accelerazione non è dello stesso istante del picco degli spostamenti (stiamo analizzando una analisi dinamica).

A me interessa il picco di spostamenti perché mi dà max deformabilità possiamo massima alterazione però ho bisogno di un'accelerazione per calcolare Fa e questa scatola mi serve dare il picco di spostamenti → e quindi OVER

Funzione cos → Antisimmetrica rispetto l'origine

Funzione sen → Simmetrica rispetto l'origine

Componenti armoniche → sommate descrivono la funzione di partenza comprendendo sempre meglio più componenti armoniche sommate

∫_-T/2^T/2 a_n cos(nωt) cos(nωt) dt =

= a_n ∫_-T/2^T/2 cos²(nωt) dt = a_n [ T/2 + sen 2nωt / 4 nωt ]_-T/2^T/2 =

= a_n [ T/4 + sen(sen(4π/7)) / 0 + T/4 - sen(sen(4π/7)) / 0 ]

= a_n [ T/2 ] = ∫_-T/2^T/2 x(t) cos(nωt) dt

a_n = 2/T ∫_-T/2^T/2 x(t) cos(nωt) dt

∫_-T/2^T/2 b_n sen(nωt) dt = b_n [ T/2 - sen(2nωt) / 4 nωt ]_-T/2^T/2 =

= b_n [ I/4 - sen(4π/7) / 0 + T/4 - sen(4π/7) / 0 ]

= b_n [ T/2 ] = ∫_-T/2^T/2 x(t) sen(nωt) dt

b_n = 2/T ∫_-T/2^T/2 x(t) sen(nωt) dt

Funzione coseno antisimmetrica

senо simmetrica rispetto l'origine