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ELEMENTI DI CALCOLO TENSORIALE

TENSORI DI 1° ORDINE

Si definisce tensore di 1° ordine su V3 una qualsiasi trasformazione lineare sullo spazio vettoriale V3, cioè un'applicazione (o funzione) di V3 in V3:

(9) V3 → V3

Che per la sua linearità gode delle seguenti proprietà:

S(u + v) = Su + Sv

S(ru) = rSu

∀(u,v)∈V3, ∀r∈ℝ

Tali proprietà, si possono anche esprimere dicendo che la funzione S è additiva e omogenea.

Per ogni coppia di tensori S1, S2 si definisce somma di S1 più S2, il tensore S3 tale che:

(S1 + S2)u = S1u + S2u ∀v∈V3

Sia ora {e1, e2, e3} una base ortonormale di V3 (ovvero, i vettori e1, e2, e3 hanno modulo unitario ed è solo a due a due ortogonali tra di loro). Allora il tensore S si rappresenta, riducibile nel piano cartesiano, mediante una matrice 3×3 di componenti

Sij = Sei·ej

La matrice S=[Sij] è detta matrice associata al tensore S rispetto alla base {ei, ej}.

Siamo ora {e1, e2, e3} {e'1, e'2, e'3} due basi ortonormali di V3 — esiste uno e uno solo tensore invertibile P (matrice) tale che:

Pei = e'i (i=1,2,3)

Il tensore P è detto tensore di passaggio dalla base {ei} alla base {e'i}.

Pertanto sia L1 un tensore Tij = [Tij]. Le matrici delle sue componenti rispetto alle due basi {ei, ej} e {e'i, e'j} rispettivamente sono [Sij] e [S'ij], allora, si ha:

[T'ij] = [Pik][Tkl][Pej]-1

La matrice P associata al tensore P rispetto alla base {e1, e2, e3} è detta matrice di passaggio (vedi fig. 2).

SI DEFINISCE DETERMINANTE DEL TENSORE S IL DETERMINANTE DI UNA QUALUNQUE DELLE

MATRICI AD ESSO ASSOCIATE:

det S = eijk Si1 Sj2 S3k

eijk = SIMBOLO ALTER-NATORE

  • 0 se i, j, k <3
  • eijk = 1 se i,j,k Costituiscono una permutazione pari di (1,2,3)
  • -1 se i,j,k Costituiscono una permutazione dispari di (1,2,3)

det (ST) = det S det T

det T = af /det T-1

detTT = det T

OSS:

SI INDICA DEI TENSORI DEL SECONDO ORDINE LO SPAZIO COSTITUITO RISPETTO ALLE OPERAZIONI

DI ADDIZIONE e DI MOLTIPLICAZIONE UNO SPAZIO VETTORIALE SUL CAMPO DEI NUMERI REALI.

TALE SPAZIO SARÁ DENOTATO CON SIMBOLO

ℒ (V3,V3).

TENSORI SIMMETRICI E ANTISIMMETRICI

SIA S∈ℒ(V3,V3) SI DEFINISCE TENSORE TRASPOSTO DI S (e consimbolica conT.)IL

TENSORE che SODDISFI TALe RELAZIONE:

CSAU⦁V = ṼC

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fra5675
A.A. 2023-2024
100 pagine
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SSD Ingegneria civile e Architettura ICAR/08 Scienza delle costruzioni
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher fra5675 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Scienza delle costruzioni e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università della Calabria o del prof Greco Fabrizio.