Appunti scienze delle costruzioni, parte I

Name: Appunti scienze delle costruzioni, parte I
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Author: fra5675

Revisionato il 20/05/2026

di fra5675

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Appunti di scienze delle costruzioni sulla parte I basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Greco, dell’università degli Studi della Calabria - Unical, …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Greco Fabrizio

Università Università della Calabria

A.A. 2023-2024

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Estratto del documento

ELEMENTI DI CALCOLO TENSORIALE

TENSORI DEL 1° ORDINE

SI DEFINISCE TENSORE DEL 1° ORDINE SU V₃ UNA QUALSIASI TRASFORMAZIONE LINEARE SULLO SPAZIOVETTORIALE V₃, CIOÈ UN APPLICATIVO (O FUNZIONE) D. V₃ IN V₃:

S: V₃ → V₃

CHE, PER LA SUA LINEARITÀ GODE DELLE SEGUENTI PROPRIETÀ:

S(λu + v) = λSu + Sv
S(ru) = rSu

TALI PROPRIETÀ SI POSSONO ANCHE ESPRIMERE DICENDO CHE LA FUNZIONE S È ADDITIVA EOMOGENEA

PER OGNI COPPIA DI TENSORI S, T SU V₃ SI DEFINISCE SOMMADI S PIÙ T IL TENSORE S+T, TALE CHE:

(S+T)u = Su + Tu ∀u ∈ V₃

SIA ORA {e₁, e₂, e₃} UNA BASE ORTONORMALE DI V₃ (OVVERO, I VETTORI e₁, e₂, e₃,HANNO MODULO UNITARIO E S.ONO A DUE A DUE ORTOGONALI TRA DI LORO.). ALLORA ILTENSORE S È RAPPRESENTABILE, NEL PIANO CARTESIANO, MEDIANTE UNA MATRICE 3x3 DICOMPONENTI:

Sij = Se_i e_j

LA MATRICE S = [S_ij] È DETTA MATRICE ASSOCIATA AL TENSORE S RISPETTO ALLA BASE {e_i, e_j}

SIAMO ORA {e₁, e₂, e₃} {e'₁, e'₂, e'₃} DUE BASI ORTONORMALI DI V₃, ESISTE UNO E UNO SOLOTENSORE, INVERTIBILE, P ("PASSAGGIO")

Pe_i = e'_i (i=1,2,3)

IL TENSORE P È DETTO TENSORE DI PASSAGGIO DALLA BASE {e_i} ALLA BASE {e'_i}

PERTANTO, SIA I UN TENSORE, I = [I_ij], I'=[I'_ij] LE MATRICI DELLE SUE COMPONENTIRISPETTO ALLE BASI {e_i, e_j} E {e'_i, e'_j} RISPETTIVAMENTE, ALLORA SI HA:

[I'_ij] = [P_ik] [I_ke] [P]^-1

LA MATRICE P=[P_ik] ASSOCIATA AL TENSORE P RISPETTO ALLA BASE (e₁, e₂, e₃) È DETTAMATRICE DI PASSAGGIO

Elementi di Calcolo Tensoriale

Tensori del 1° Ordine

Si definisce tensore del 1° ordine su _V₃ una qualsiasi trasformazione lineare sullo spazio vettoriale _V₃, cioè un'applicazione (o funzione) dì V₃ in V₃:

S( V₃ ) → V₃

Che, per la sua linearità gode delle seguenti proprietà:

S (u + v) = su + sv
S (ru) = rSu

V(u,v) ∈ V₃ V(r ∈ R)

Tali proprietà si possono anche esprimere dicendo che la funzione S è additiva e omogenea.

Per ogni coppia di tensori S, T. Si definisce somma di S, pìù il tensore S + T tale che:

(S+T)u ≡ Su + Tu ∀ v ∈ V₃

Sia ora {e₁, e₂, e₃} una base ortonormale di V₃ (ovvero, i vettori e₁, e₂, e₃ hanno modulo unitario e sono a due a due ortogonali tra di loro), allora il tensore S è rappresentabile nel piano cartesiano, mediante una matrice 3x3 di componenti.

S_ij = S e_i = e_j

La matrice S = [S_ij] è detta matrice associata al tensore S rispetto alla base {e_i, e_j}

(FIG. 1)

Siamo ora {e₁, e₂, e₃} e {e' ₁, e' ₂, e' ₃} due basi ortonormali di V₃. Esiste uno e un solo tensore, invertibile _P [mapping]:

P e_i = e₁ (i = 1, 2, 3...)

Il tensore _P è detto tensore di passaggio dalla base {e_i} alla base {e' _i}.

Pertanto, sia T un tensore T = [T_ij] = [ T'_ij], le matrici delle sue componenti rispetto alle basi {e_i}, {e'_i} e {S = [S_ij] e S'_ij = [S e_i S' _ij] rispetto alla metàttita. Allora si ha:

[ T'_ij = [P e_ik

La matrice [ T e_ij] associata al tensore rispetto alla base {e₁, e₂, e₃} è detta matrice di passaggio. (Vedi Fig. 2)

Si definisce determinante del tensore S

[...] det S = e_ijk Si₁ S_2j S_3k

e_ijk: Simbolo alternatore

det(ST) = detS detT detT^-1 = 1/detT detT^-T = detT

Osservazione

spazio sara .... col simbolo ... L(V₃, V₃)

Tensori simmetrici e antisimmetrici

sia S (L(V₃, V₃)) si definisce tensore trasposto di S (e/o si indica con S^T) il tensore che soddisfi tale relazione:(CS_u) V = μ (SV)

Proprietà

(S+t)T = S^T + T^T R(SV) = rSV (S₁T)^T = T^T S^T

Un tensore S è detto simmetrico se e solo se:

S = S^T

Si dice che S è antisimmmetrico se e solo se:

S = -S^T

Un tensore S può sempre esprimersi in uno e un solo modo come somma di un tensore simmetrico S_s e di uno antisimmetrico

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