Appunti Scienza delle Costruzioni, parte 2,

E[θ] = V_el(θ) - L_ext(θ)

Pos di equilibr

E'[θ] = 0

F = -∂E/∂θ

E''[θ] = λ₁F'[θ] > 0

instabilita delle travi caricate a punta

P cruscalo ->

E[ν, w, φ] = ∫₀⁰ 1/2 k_m (v'(z))² + 1/2 k_λ (w'/z))² dt

E[ν, w, φ]

[v'(t) = 0, v(t) = 0]

W(t) = -P/κ_t

13 novembre

E[ϴ] = V_el(ϴ) - L_ext(ϴ)

_{ϴ di} pos di equil

E[ϴ] = 0

_F = ^∂/_∂(ϴ)

E''[ϴ] = ∑

il segno di E'' è dato solo da F

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INSTABILITA delle TRAVI CARICATE a PUNTA

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w(e) CASO 1: Percorso → funzione

E[^v/_w, w, φ_t] = ∫ ¹/₂ k_m ∫ ^t/₀ v''(z)² + ¹/₂ k_A [w'²] ¹/₂ d_t -( - l ₀[w(e)] )

E [^v/_w, v, y] = ∫ ¹/₂ k_mw''[t] + ¹/₂ k_A [w'(t)]² + Pw'(t) ] d_t

→ se → quindi se p è piccola lo spostamento → rassecale e inulle e la trave si →. Comportare “un po’”

CASO 2

Cinematica finita

E

• V(t)= ∫₀^l (1/2) k_m χ′²(z) dz - ∫₀^l (1/2) ρ W′(z) dz =
• V(t)= ∫₀^l { (1/2) k_m χ′²(z) + ρ W′(z) } dz
• V(t)

Sic che

Σ²(z) = √(1+W′(z)² + (V′(z))²)

⇒ E[V] = -∫₀^l {1/2 k_m χ′²(z)²} dz - ρ(√{1 + (V′(z))²}-1) dz

• V(t) = δ V′(t)

1. k_i ∫₀¹ (1/2) k_m χ_i′(z)² dz + ρ √(1 - δ² (V′(z))² - 1)
2. Approssimo δ = E ALL II ORDINE in δ

X(z) = ψ(z) = √(V′(z)) = δ √(V′′(z))

⇒ E[V] = ∫₀^l { (1/2) k_m δ² (V′′(z))²}

√(1 - δ² (V′′(z))²) = 0 - √(1 - δ² (V′′(z))²)

+ δ/∫ s/∫ 1-√{V′′(z)} / (V′(z))

= -[V′′(z)]

+ o(δ²)

∫₀^l δ² (V′′(z))² + o(δ²)

E[αV² ] = ∫₀^l {1/2 k_m δ² (V′′(z))²}

⇒ Futuro concavo verso l'esterno

Futuro concavo verso il basso

per piccoli valori di p la u₀

F soda concava verso l’alto (è preponderante il termine positivo) quindi

ho un solo minimo

se p è molto grande allora anno nu

* minimi

(la conf. indeferenziale

si inserisce)

per particolari valori del carico ho più buche di potenziale

ho più configurazioni di equilibrio (stabile o instabili che siano)

[τ-v]² = ∫₀^l F(τ, v, v',v'')db

dF

dv

-

2F = 0

*

d²F

dv 2

d*F

dτ 2v''

euler lagr vari della

derivate parziale

eq di Eulero

degenerale associato di mio funzionale

psv''(z) + k_ml g v²(z) = 0

ρ v^IV(z)

km v''(z) =0

v'(t)z = lim v(t+h) - V(t)

h->0 h

lunghezza alla una a

v''t(t) = g²v

v''

l

lunghezza alla uno a

> v''' e [1,2]

nel

^(ha esercizi)

>

^(sup)

^(d(c2))

– di

+ con

^(hat)

=

v

v

–

eliminato (3)

(ver la scr v/go)

d⁴(τ(t)²) + p d²(τ(t))

l²[(c¹t)³] km (2(d_c1t)²

τ(t²) + p

km

χ(t)

funzione sopprimmateli

d²de

τ'(t) *

e⁴

>

d²(τ'(t)²)

km

e(3)

χ₁(~Y ¯)

λ²

STURM-LIOUVILLE

v^(0) = 0

v^(1)(0) = 0

v^(1)(l) = a₁t + b + c cos(λt) + d sen(λt)

determinare b, c, d con i dati al bordo

b + c = 0

d sen(λ) = 0

no soluzione non banale se

λ = kπ, k = 0, 1, 2, ...

d ≠ 0

v_n(t) = d sen(λ²)

P₁ = π²Km/2

soluzione banale

[k=2]

P₂ = _4π²km/^e

V̂(t) = d sen[2πẑ]

[z=3]

accensione

t[V̄] = ∫₀^e [_km/² δ²(V̅"(z))² - _β/² δ²(V̅'(z))²ζdζ

V̂(z) =    ∫&J̅(z)

e = d sen(λẑ)

         &ems