Appunti di Scienza delle Costruzioni - Teoria Parte 2

SCIENZE DELLE COSTRUZIONI PARTE 2

Problema di Saint-Venant

Voglio sapere la sollecitazione locale in ogni punto, e non solo le azioni interne, xke' la sollecitazione e' diversa in ogni punto.

Obiettivo: A monte delle azioni interne voglio sapere la sollecitazione in ogni punto.

1. Considero un solido cilindrico di lunghezza L e sezione normale A
2. Punto di vincoli per far essere in equilibrio tra loro
3. Notazione

σ_xx σ_yy σ_zz σ_yz σ_zx σ_xy

ε_xx ε_yy ε_zz γ_xy γ_yz γ_xz

4. Sistema xyz con asse z asse simmetria assunte xyz il baricentro

Definizione delle Normal

S = S₀ + S_l + S_lat = S_f

M_l = _{}

M_lat = _{}

6. Forze di superficie apposte solo sulle basi

F_n ≠ 0

L ≠ 0

F_lat = 0

7. No forze di volume F_v = 0
8. Piccole deformazioni

ε = 0

9. Piccoli spostamenti e piccole deformazioni ⇒ torsione e piccole deformazioni è congruenza lineare
10. Quando omogeneo ed elastico lineare isotropo
11. Comportamento elastico lineare con condizioni di congruenza interna
12. 13 eq. governanti:

o Equilibrio indefinito

σ_xis + P_s = 0 ⇨ σ_isin = 0

σ_ismi = σ_res su S₀ e S_lσ_isimi = 0 su S_lat

o Congruenza interna

ε_isin + ε_rixin = ε_nisin + ε_skinninh

o Legame elastico lineare isotropo

σ_is = ^E/_1+ν ε_{is + ^Eν/(1+ν)(1-2ν) tr εis}

ε_is = ^1+ν/_E σ_is - ^ν/_EJ _{1 σis}

Pura azione assiale

Distribuzione uniforme di sforzi normali

1. Sostituisco E.C. in forma globale sulle basi note trovare sforzi e momenti

N = ∫σzz dA = ∫σzz_x dA = σzz A

σzz = N / A

• Tx = ∫σzx dA = ∫σzx_y da = 0
• My = ∫σzx x dA = 0
• Mt = ∫σzx (zz_x - σzx_y) dA = 0

2. Sostituisco in equazioni costitutive per trovare deformazioni

ε_z = σ_z / E

ε_x - ε_y = -ν / E = -ν N / EA

γ_zx = -2σ_zx / G = 0

γ_xy = -2σ_zx / G = 0

Flessione Retta

1. Sostituisco in equilibrio esatto per trovare σ_z

σ_z = N / A + M_x / J_x x z + I_y / J_z y z + H_x / J_x y

2. Sostituisco in EQ costitutive per trovare deformazioni

ε_z = σ_Z / E

ε_x + ε_y = -ν / E σ_z = -νH_x / EJ_x y

La sezione si deforma nel piano xxe ε_x + ε_y = 0

ε_x = 0

ε_y = 0

Pratica

σ_zmax = My / Jx = Mx / W_x

Moment resistenti

W = 3x / yx

W = 5x / yx

Wx¹ se non simmetrico

8)

ΣSOSTITUISCO LEGAME ELASTICO LINEARE ISOTROPO NELLE EQ. DI CONGRUENZA INTERNA-χ ν1/5 ∂ε_zx,yz +2(ε(1+ν)z)_zy,xx = 2(1+ν)/η ∂ε_zx,xxx,y-χ ν1/5 ∂ε_zx,yz +2(ε(1+ν)z)_zy,yy = 2(1+ν)/η ∂ε_zy,xyx,y

9)

ΣSOSTITUISCO CON I TAGLI TROVATI AL PUNTO 3-Ϧ ∂T_y+(1+ν)ε_zy,xxx,xy = (1+ν)ε_zx,xy-σ ∂T_x+(1+ν)ε_zy,yyy = (1+ν)ε_zy,max

10)

あCOLGO (1+ν) E SPOSTO TAGLIO A DX(1+ν)(ηz_zy,xx+k_zy,xx,max - z_zx,y) x_zxv =νT_x3_yx

(1+ν)(εz_zy,xx - z_zy,max) x_zx12,xy,max =-Ϧ

11)

あSCRIVO PRODRODO FORM UNA DERIVATA E PORTO (1+ν) A DX∂v/∂x(ε(z_zy,xxx - z_zx,xy))

12)

INTEGRO RISPETTO x E yηz_zy,wx(-z_zy,xy) = ν/1+ν(T_y)^sx-y

13)IPOTESI

N:T_x=T_y=T_x=T_y=0 ∂_z=∂Ox=∂_0 η2

14)

CC. SU SP. LINEAREηz_zx,mx+ε_zx,xyv=0 ⇒ Σ_”M^Lat;=0

15)

EQ. DI EQUILIBRIO GLOBALET_x=const T_y=const MT=∫^A⊕

16)

• METODO DEGLI SPOSTRZI
• METODO DELLE SOSTITUENTI

Torsione Sezione Circolare Cava

1. Prendo una sezione circolare cava e definisco il raggio della linea media ̅ e lo spessore

   R̅ = (R_e + R_i)/2

   b = R_e - R_i

2. Definisco J_p per il cerchio cavo

   Riconosco che 2R̅ = R_e + R_i e b = R_e - R_i

   R_e = R̅ + b/2

   R_i = R̅ - b/2

   Sostituisco in J_p

   J_p = (/2) ̅ [̅² + (b/2)²] = 2̅ [̅² + (b/2)²]

   Definisco area racchiusa dalla linea media

   Quindi raccolgo ̅² dentro la parentesi:

   2̅ (̅² + (b/2)²)

   J_p = 2̅ (1 + (b/2̅)²)

3. Sostituisco in || trovato prima

   || = (|M| / J_p) = (|| + ) / (2 [1 + (/2̅)² / ̅²])

   Se b z_zx,x + z_zy,y = -Θz,z = -T_y/S_x y

4. Collegamento
   • z_zy,x = z_zx,y
5. C.C. su superficie integrale
   • z_zx,mx + z_zy,my = 0
6. Voglio ricavare la formula di Jourawski
   • Sul sezione|prendo con Geometrica conora b e inclinazione arbitraria, su di essa si definisce un sistema di assi locali (r,m), la corda b divide la sezione Δ in 2 sezioni, Δ¹ e Δ² si propone di trovare z_zm

Preso ora una sezione di spessore dz della sezione Δ¹Sono equilibrio alla traslazione lungo asse x δF_z = 0∫_B⁰ Θz (z + dΘz)dΘz^l² x = 0

• Valore medio della trazione trasversale lung co corda
• ∫^{z=z + T_y/S_x}dA⁰∫^z=zdxdA⁰x = z_mzb(y)
• YdA¹ = z_mzb(y)
• => T_y/S_x × = z_ma(y) = z_mzb(y) =>

=> z_m = Tv/S_x J_x b(r)

• non ci sia se Q corpi/lungo la corda
  • Sezione simmetrica e simetricamente calcase