Appunti Scienza Delle Costruzioni - Parte 1

Scienze delle Costruzioni

Prof. Federico Roberto

13/03/2017

• Struct. Iperstatiche: m^c incognite 7^m equazioni
• Si aggiungono alle 3 equazioni cardinali della statica, delle equazioni relative al materiale in cui è fatta la struttura.

Principio dei Lavori Virtuali → Statica + Cinematica

1 t 44 1 gl

Esempio 1

Analisi Cinematica:Ogni asta ha 3 gr.l nel piano.

• t = m^c di aste
• 3.t = m^c o.i gradi di libertà della struttura
• o = m^c o.i gradi di vincolo

3.t - o = l - i

• l = m^c di labicità
• i = m^c di iperstatiche

Nel nostro caso:

t = 1

D = 3 → Ax abbiamo un incastro

3 - 3 = 0 → Struttura Isostatica

→ Convenzione

1. ΣF_x = 0   →   H_A - F = 0   H_A = F
2. ΣF_y = 0   ↑   V_A - F = 0   V_A = F
3. ΣT_e = 0   ⊕  -V_AF^le + F^le = 0   V_A = 0

DIAGRAMMI AZIONI INTERNE:

• N AZIONE ASSIALE
• V e T AZIONE TANGENTE
• M MOMENTO FLETTENTE

N.B.

TIPI DI VINCOLO:

1. CARRELLO D=1
2. CERNIERA D=2
3. PATTINO D=2
4. MANICOTTO D=2
5. INCASTRO D=3

F(L+L/6)

F(L/2)

F(L/3)

F(L/3)

F(L/6)

F

F

N

T

(L/6) F

(L/2)F

(3/2)F

F(L/3)

F(L/2)

F(L/6)F

M

T

N

(L/3)F

(3L/2)F

F(L/2-F

(L/3)F

(L/2)

(L/3)F

L/2)F

(3L/2)F

(L/2)

(L/3)F

(L/2-1)

(R)

G_c = F = 200 N = 200 N

A 30 mm x 30 mm = 900 mm²

0,22 MPa

Peso: 6 kN/m² = 600 kg/m²

P_tot = 6000 N/m² · 100 m² = 600 000 N = 60 000 kg = 60 tonn.

F_{singolo pilastro} = P_tot / 4 = 15 tonn. = 150 000 N

G_c = F / A

150 000 N / 200 mm x 200 mm

= 150 000 N / 40 000 mm² = 3,75 MPa

A =  · R²

A₁ =  · 100 cm² = 31 400 mm²

A₂ =  · 50² = 7 850 mm²

F = 100 kg = 1000 N

G₁ = F / A₁

G₂ = F / A₂

G₁ = 1000 N / 31 400 mm² = 0,03 MPa

G₂ = 1000 N / 7 850 mm² = 0,13 MPa

Principio di sezionamento

- Le azioni interne si ottengono quando tagliato in un punto.

Immaginiamo di avere un corpo in equilibrio, che dividiamo in 2:

Dice che se il corpo era in equilibrio, e faccio una sezione, ciascuna delle 2 parti rimane in equilibrio se e solo se sulla superficie di sezionamento si applicano le stesse forze che le 2 parti si scambiavano attraverso quella superficie.

S_II→I = -S_I→II

(Vale per le forze)

(Principio di azione-reazione)

Principio di azione-reazione locale

(Vale x le pressioni punto per punto)

Dimostrazione

In ogni punto della struttura il vettore tensione (in funzione del punto e della sua normale) è uguale ed opposto dello stesso vettore tensione con uguale punto e normale opposta.

t_{(P, n)} = -t_{(P', n')}

In forma matematica: fissato il punto, il vettore tensione è una funzione dispari dei "coseni direttori".

Esempio di funz. dispari: x³, sin x

sin(x) = -sin(-x)

Esempio di funz. pari: x², cos x

cos(x) = cos(-x)

Una matrice quadrata è simmetrica, se il generico termine t_ij fuori dalla diagonale principale è uguale al termine t_ji con i≠j.

Una matrice è antisimmetrica se ^T = -^T oppure se t_ij = -t_ji

Sulla diagonale principale ha solo zeri.

Matrice trasposta:

A = ^T =

Dimostrato che il tensore degli sforzi ^P è simmetrico:

Si basa su un equilibrio alla rotazione, e scegliendo ad esempio l’asse Z, gli indici XY sono uguali. Quindi avremo 3 dimostrazioni. Qui imponiamo l’equilibrio attorno all’asse Z:

Vol. = dx · dy · dz

Le sono quelle sulla diag. principale, le sono quelle fuori dalla diagonale princ.

Influiscono sull’equilibrio solo le x, x non hanno braccio, le vanno moltiplicate per l’area della faccia e poi per il braccio e dobbiamo dimostrare che:

=

Scrivo l’equilibrio:

=

· dy · dx

Componente di sforzo ; :

È positiva se sulla faccia di normale è diretta come j

Oppure se sulla faccia di normale è diretta come –j

Formula di Taylor

· dy dz = 6

SCIENZE DELLE COSTRUZIONI

DATO UN PUNTO P

SE TROVIAMO UN VETT. TENSIONE ALLA NORMALE, ALLORA ABBIAMO UN TENSORE DIAGONALE.

QUINDI T SI PUÒ SCRIVERE:

PER IL TETRAEDRO DI CAUCHY:

UNA VOLTA CHE CONOSCIAMO IL TENSORE 3X3, AL VARIARE DELLA NORMALE, OTTENIAMO TUTTI I VETTORI TENSIONE POSSIBILI.

A NOI SERVONO QUELLI ALLA NORMALE, OVVERO QUELLI DATI DA θ E l COMPONENTI DELLA NORMALE.

LE NOSTRE INCOGNITE SONO LE DIREZIONI N E I VALORI DEGLI SFORZI PRINCIPALI θ.

PROBLEMA AGLI AUTOVALORI E AUTOVETTORI

VOGLIAMO SCRIVERE IN FORMA VETTORIALE UN SISTEMA DEL TIPO

MATRICE DEI COEFFICIENTI

TERMINE NOTO

SE COND ABBIAMO UN'EQUAZIONE OMOGENEA AMMETTE SEMPRE LA SOLUZIONE x=0

"SOLUZIONE BANALE"

A NOI NON CI INTERESSA X0; VOGLIAMO DELLE SOLUZIONI NON BANALI (VETTORE DELLE NORMALI).

Sostituato B2 = 3TR:

Preso la 1^a e la 2^a equaz. :

m_y = t

m_z = -t

m_x = -t / 2

w_v = {-t / 2, t, -t} = t * {1/2, 1, -1}

‖w‖² = (1/2)² + (1)² + (-1)² = 1/4 + 1 + 1 = 9/4

‖m‖ = 3/2 * |t|

w / ‖w‖ = {-1/3, 2/3, -2/3} m₂

Moltiplo il vettore per il reciproco del suo modulo.

Preddiamo le 2 soluzioni m_I e m_II e vediamo che sono ⊥ xk hanno prod. scalare = 0

m_I · m_II = 0 →

Prod. scalare = somma dei prodotti delle componeneti di ugual posto.

SCIENZE DELLE COSTRUZIONI

08/05/2017

VOTO 1° CTPITIVO: ^A

"CINEMATICA DEL CONTINUO DEFORMABILE"

• UN CORPO È RIGIDO SE PRESI N PUNTI SUL CORPO, LA LORO DISTANZA È UGUALE NEL TEMPO. IL CORPO RIGIDO È UN'ASTRAZIONE, CIOÈ NON ESISTE.

d(A,B) = cost.

• NON EVITIAMO FENOMENI DI LACERAZIONE (O FRATTURA) E FENOMENI DI COMPRIMERE ZIONE.
• SE ABBIAMO UN CORPO RIGIDO VINCOLATO, CARICATO:

AVREMO UN VETTORE SPOSTAMENTO D DI UN PUNTO DEL CORPO CHE SI È SPOSTATO.

IN OGNI PUNTO, QUINDI NOI VOGLIAMO SAPERE IL VET. SPOSTAMENTO:

D =

• u_x SPOST. LUNGO x
• u_y SPOST. LUNGO y
• u_z SPOST. LUNGO z

E PRECISAMENTE IL "CAMPO DI SPOSTAMENTO"

UN CAMPO DI SPOSTAMENTO È FORMATO DA 3 FUNZIONI CHE DIPENDONO DA 3 COORDINATE NELLO SPAZIO:

{ u_x = u_x(x,y,z) ∈ C₁ ¹ u_y = u_y(x,y,z) u_z = u_z(x,y,z)

QUESTE FUNZIONI DEVONO ESSERE DI CLASSE. C₁ ¹ CIOÈ DEVONO ESSERE CONTINUE, QUINDI DERIVABILI E LE LORO DERIVATE FINITE.

R³ → R³ P

DATO UN CORPO:

SE FOSSE UN CORPO RIGIDO, LA DISTANZA TRA P E Q SAREBBE SEMPRE UGUALE. SE APPLICO UNA FORZA F, IL CORPO SI ALLUNGA E P SI SPOSTERÀ NEI RISPT. A Q. (SI SPOSTEREBBERO UGUALMENTE SE ROMPESSI LA STRUTTURA).

Δx = X_Q - X_P LO SPOSTAMENTO: DIST. INIZIALE Δx^' = Δx + (u_Q-u_P) DIST. FINALE u(x) ⇩ Δx^' = Δx + (u_Q-u_P) DIST. FINALE u(x) 1° LO SPOSTAMENTO è NULLA. X_P È BLOCCATO.