Appunti Scienza delle Costruzioni I (parte 2)

Cinematica delle travi

Chiamiamo Ω, la regione di spazio occupata dalla trave nella configurazione iniziale, e A₀ e B₀ i suoi estremi.

Supponiamo che la trave si deformi. Avremo una nuova linea d'asse, due nuovi estremi A e B e una nuova regione di spazio Ω occupata. Il punto generico P₀ si porta in un nuovo punto P.

Spostamento

Lo spostamento di un punto P sulla linea d'asse:

u(s) = P - P₀

- il vettore che congiunge posizione iniziale e finale del punto. Avremo quindi u(c₀) = A e u(l₀) = B.

Nello studio della deformazione delle travi utilizziamo l'ipotesi di:

Conservazione delle sezioni piane:

• Le sezioni trasversali delle travi si mantengono piane, ossia il segmento diretto R₀S₀ sta in P, segmento di retta
• Assumiamo inoltre che si conservi la lunghezza della sezione - ||R₀S₀|| = ||R_S||

In generale avremo che il nuovo segmento sarà ruotato di un angolo θ_s rispetto al segmento di partenza.

Angolo di rotazione della sezione

CINEMATICA DELLE TRAVI

Chiamiamo Ω₀ la regione di spazio occupata dalla trave nella configurazione iniziale, e A₀ e B₀ i 2 estremi.

Supponiamo che la trave si deformi.Avremo una nuova linea d'asse, due nuovi estremi A e B e una nuova regione di spazio Ω occupata.Il punto generico P₀ si porta in un nuovo punto P.

Def. SPOSTAMENTO di un punto P della linea d'asse

u(ξ) = P - P₀

• il vettore che congiunge posizione iniziale e finale del punto

Avremo quindi A(ξ) = A₀ e u(ξ) = u(x)

Nello studio della deformazione delle travi utilizziamo l'ipotesi di:

CONSERVAZIONE DELLE SEZIONI PIANE:

• le sezioni trasversali della trave si mantengono piane, cioè il segmento di retta RoS₀ osi in R,S, segmento di retta
• assumiamo inoltre che si conservi la lunghezza della sezione → ||R₀S₀|| = ||R,S||

In generale avrei che il nuovo segmento sarà RUOTATO di un angolo Ψ_ξ rispetto al segmento di partenza

Def. Angolo di rotazione della sezione

(S_o - R_o) · (S - R) = ||R_oS_o|| ||R_s|| cos(φ(s))

φ(s) = arccos (S_o - R_o) · (S - R) / ||R_2s||²

In quanto per es. ||R_oS_o|| = ||R_s||

Scomponiamo ora il vettore u(s) secondo il sistema di riferimento locale (quello della trave non deformata)

Definiamo allora:

Def. SPOSTAMENTO TRASVERSALE

v(s) = u(s) · j

Def. SPOSTAMENTO ASIALE

w(s) = u(s) · k

Le 3 funzioni v(s), w(s) e φ(s) costituiscono gli

Def. SPOSTAMENTI GENERALIZZATI

d(s) = { v(s) ; w(s) ; φ(s) }

Se conosco le 3 funzioni v(s), w(s) e φ(s), cioè la configurazione vincolata posso ricostruire la configurazione deformata

Consideriamo ora un caso semplificato.

TRAVI (inizialmente) RETTILINEE

La semplificazione sta nel fatto che il sist. di rif. locale è lo stesso in tutte le sezioni, indipendentemente da s.

Le componenti u_CS e v_CS di u(_CS) sono come proprio lo spostamento verticale ed orizzontale di P rispetto a P₀.

N.B. ϕ(x) è positivo oriorarius.

Introduciamo ora una ulteriore semplificazione

TRAVI RIGIDE

Estendo quello considerato un corpo rigido, volgiamo le eq. della cinematica dei corpi rigidi:

u_CS(x) = μ + ϑ × (P_O - A₀)

angolo in figura che la nuova tesura nome ϕ con la precedente

OSS l'angolo di rotazione della sezione ϕ(x) = ϑ ∀x

Vedo che P₀ - A₀ = s x

Quindi u_CS = μ + ϑ × (s x )

u_CS = μ_x + ϑ s i × =

u_CS = μ_c - ϑ s j

Allora le componenti del vettore u(_CS) nel sistema di riferimento locale sono:

• spost. trasversale u(_CS)= μ_CS ⋅ i - ϑS = μ_a - ϑS
• = ϑA - ϑS

- spost. s tribùl ➔ w(CO) = u(CO) · k = μ_n · k = δ - gz · ks = ! = W_A

N.B. Queste condizioni valgono per 0 piccoli. E 0 non è piccolo, l'eq. della cinematica non è più quello che abbiamo utilizzato

Allora, per una TRAVE PIANA, RETTILINEA e RIGIDA ho

Spostamenti generalizzati ➔ {(s)} = { u(CO) }                      { w(CO) } = { u_A + s } { φ(s) } { w_A }