Appunti Scienza delle Costruzioni I (parte 2)

Cinematica delle travi

Chiamiamo Ω, la regione di spazio occupata dalla trave nella configurazione iniziale, e A₀ e B₀ i suoi estremi. Supponiamo che la trave si deformi. Avremo una nuova linea d'asse, due nuovi estremi A e B e una nuova regione di spazio Ω occupata. Il punto generico P₀ si porta in un nuovo punto P.

Spostamento

Lo spostamento di un punto P sulla linea d'asse:

u(s) = P - P₀ - il vettore che congiunge posizione iniziale e finale del punto. Avremo quindi u(c₀) = A e u(l₀) = B.

Nello studio della deformazione delle travi utilizziamo l'ipotesi di:

Conservazione delle sezioni piane

Le sezioni trasversali delle travi si mantengono piane, ossia il segmento diretto R₀S₀ sta in P, segmento di retta. Assumiamo inoltre che si conservi la lunghezza della sezione - ||R₀S₀|| = ||R_S||.

In generale avremo che il nuovo segmento sarà ruotato di un angolo θ_s rispetto al segmento di partenza.

Angolo di rotazione della sezione

Chiamiamo Ω₀ la regione di spazio occupata dalla trave nella configurazione iniziale, e A₀ e B₀ i 2 estremi. Supponiamo che la trave si deformi. Avremo una nuova linea d'asse, due nuovi estremi A e B e una nuova regione di spazio Ω occupata. Il punto generico P₀ si porta in un nuovo punto P.

Definizione di spostamento

Spostamento di un punto P della linea d'asse:

u(ξ) = P - P₀, il vettore che congiunge posizione iniziale e finale del punto. Avremo quindi A(ξ) = A₀ e u(ξ) = u(x).

Nello studio della deformazione delle travi utilizziamo l'ipotesi di:

Conservazione delle sezioni piane

Le sezioni trasversali della trave si mantengono piane, cioè il segmento di retta RoS₀ osi in R, S, segmento di retta. Assumiamo inoltre che si conservi la lunghezza della sezione → ||R₀S₀|| = ||R, S||. In generale avrei che il nuovo segmento sarà ruotato di un angolo Ψ_ξ rispetto al segmento di partenza.

Definizione dell'angolo di rotazione della sezione

(S_o - R_o) · (S - R) = ||R_oS_o|| ||R_s|| cos(φ(s))

φ(s) = arccos ((S_o - R_o) · (S - R) / ||R_2s||²). In quanto per esempio ||R_oS_o|| = ||R_s||.

Scomponiamo ora il vettore u(s) secondo il sistema di riferimento locale (quello della trave non deformata). Definiamo allora:

Definizione di spostamento trasversale

v(s) = u(s) · j

Definizione di spostamento assiale

w(s) = u(s) · k

Le tre funzioni v(s), w(s) e φ(s) costituiscono gli spostamenti generalizzati:

d(s) = { v(s) ; w(s) ; φ(s) }

Se conosco le tre funzioni v(s), w(s) e φ(s), cioè la configurazione vincolata, posso ricostruire la configurazione deformata. Consideriamo ora un caso semplificato.

Travi (inizialmente) rettilinee

La semplificazione sta nel fatto che il sistema di riferimento locale è lo stesso in tutte le sezioni, indipendentemente da s. Le componenti u_CS e v_CS di u(_CS) sono come proprio lo spostamento verticale ed orizzontale di P rispetto a P₀. N.B. ϕ(x) è positivo oriorarius.

Travi rigide

Estendo quello considerato un corpo rigido, volgiamo le equazioni della cinematica dei corpi rigidi:

u_CS(x) = μ + ϑ × (P_O - A₀)

L'angolo in figura che la nuova tesura nome ϕ con la precedente. OSS l'angolo di rotazione della sezione ϕ(x) = ϑ ∀x.

Vedo che P₀ - A₀ = s x. Quindi:

u_CS = μ + ϑ × (s x )

u_CS = μ_x + ϑ s i × = u_CS = μ_c - ϑ s j.

Allora le componenti del vettore u(_CS) nel sistema di riferimento locale sono:

Spostamento trasversale u(_CS) = μ_CS ⋅ i - ϑS = μ_a - ϑS = ϑA - ϑS.

Spostamento s tribùl ➔ w(CO) = u(CO) · k = μ_n · k = δ - gz · ks = ! = W_A.

N.B. Queste condizioni valgono per 0 piccoli. E 0 non è piccolo, l'equazione della cinematica non è più quella che abbiamo utilizzato. Allora, per una trave piana, rettilinea e rigida ho spostamenti generalizzati:

➔ {(s)} = { u(CO) }                      { w(CO) } = { u_A + s } { φ(s) } { w_A }