Appunti Scienza delle Costruzioni I (parte 2)

Cinematica delle travi

Chiamiamo Ω₀ la regione di spazio occupata dalla trave nella configurazione iniziale, e A₀ e B₀ i suoi estremi.

Supponiamo che la trave si deformi.

Avremo una nuova linea d'asse, due nuovi estremi A e B e una nuova regione di spazio Ω occupata.

Il punto generico P₀ si porta in un nuovo punto P.

Deformazione

Def Spostamento di un punto P della linea d'asse

μ(ξ)=P-P₀ - Il vettore che congiunge posizione iniziale e finale del punto.

Avere quindi Δξ(Ω)=u_ξ e u_ξ(Ω)=ΔΩ

Nello studio della deformazione delle travi utilizzeremo l'ipotesi di conservazione delle sezioni piane:

• le sezioni trasversali della trave si mantengono piane, cioè il segmento di retta R₀S₀ va in RS, segmento di retta
• assumiamo inoltre che si conservi la lunghezza della sezione: ||R₀S₀||=||RS||

In generale avremo che il nuovo segmento sarà ruotato di un angolo Ψ_s rispetto al segmento di partenza.

Def

Angolo di rotazione della sezione

(S₀ - R₀) · (S - R) = ‖R₀S₀‖‖RS‖ cos φ(cs)

φ(cs) = arccos [(S₀ - R₀) · (S - R) / ‖R₀S₀‖‖RS‖]

Comprimiamo adesso il vettore v(cs) secondo il

locale (quello della trave non deformato)

Definiamo allora:

Degli SPOSTAMENTO TRASVERSALE

v(cs) = V(cs) · j

Degli SPOSTAMENTO ASSIALE

w(cs) = W(cs) · k

Le 3 funzioni V(cs), W(cs) e φ(cs) costituiscono gli

Degli SPOSTAMENTI GENERALIZZATI

• d(sc) = { V(cs)
• W(cs)
• φ(cs)}

Se conosco le 3 funzioni v(cs), w(cs) e φ(cs), data la configurazione

iniziale posso ricostruire la configurazione deformata.

Consideriamo adesso un caso semplificato.

TRAVI (inizialmente) RETTILINEE

La semplificazione sta nel fatto che il sist. di

rif. locale è lo stesso in tutte le sezioni.

indipendentemente da s.

Q5. Per ciascun vincolo scrivo un numero di equazioni uguale alla molteplicità del vincolo stesso

Come fatto per la statica è possibile condurre un'analisi d'algebra lineare anche per il caso cinematica.

La differenza sta nei ruoli: infatti il numero di equazioni del problema statico (il numero di corpi) diventa il numero di incognite nel problema cinematico e viceversa.

Quindi, nel problema cinematico:

• Le incognite sono N=3n con n = n. di broni
• Le equazioni sono N=∑_i m_i

Esempio

In questo caso n=1 (numero di corpi). Quindi: N=3. Allora il problema ha 3 incognite. Queste sono proprio v_A, v_B, cioè le 3 incognite che compaiono nelle equazioni degli spostamenti generalizzati:

• w(C)=v_A
• v(C)=v_A-θl
• p(C)=θ

La molteplicità M di vincoli è m₁+m₂ = 2+1=3. Quindi: le eq note per risolvere il mio problema cinematico sono 3, cioè:

• v_A=0;
• w_A=0;
• v_B=0

Da queste ricavo le equazioni del problema cinematico, cioè:

• v(C) = v_A - θ·0 = 0
• w(C) = w_A = 0
• v(CL)=v_A-θL=0

3) CURVATURA

K(s)

K(s) = ¹/_R(s)

dψ = φ(s₁) - φ(s₂)

ϵ(s) ≡ w''(s)

γ(s) ≡ v''(s) + φ'(s)

K(s) ≡ φ'(s)

Esempio: Caso trave rigida

Consideriamo un elemento dx di trave

dL_i = N(x)cos(w_CS) + T(x)sin(w_CS) + H(x)w_CS(x) ds

Theorema dei lavori virtuali (T.L.V.) [Enunciato]

Def Lavoro virtuale interno

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