Appunti Scienza Delle Costruzioni I (parte 1)

Prof. Paolo S. Valvo

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Libri di testo: Scienza delle costruzioni

• G. Nunziante, L. Gambirasi, A. Tinelli

McGraw-Hill 3^a ediz. 2011

3 ore

1^a parte del corso = introduzione alla meccanica delle strutture (meccanica strutturali) con applicazioni alle travi (elastiche, piroove)

1. Statica delle travi

   • trave singola
   • traviature e telai (sistemi di travi)

2. Cinematica delle travi

   • travi rigide
   • travi deformabili

3. Teorema dei lavori virtuali

4. Teoria delle travi elastiche

   • formulazione generale del problema
   • metodi di soluzione

• metodo delle forze
• metodo degli spostamenti
• metodo delle linee elastiche
• teoremi energetici

5) Stabilità dell'equilibrio elastico delle travi

2^a parte del corso Meccanica dei solidi

Compitino verso fine gennaio

Esame con scritto e orale

Devo appendere un lampadario al soffitto. Posso schematizzare il problema: Pb: Quanto è grande il Plo? Come deve fare il gancio?

La massa è sottoposta ad una forza peso P=mg. Sotto opportune ipotesi posso considerare la massa m come un punto materiale. Allora so che ho l'equilibrio solo se la risultante delle forze è nulla. Quindi il gancio deve generare una reazione R_a nulla massa m.

Per il principio di azione e reazione, se è il Plo ad applicare R_a al gancio, allora anche il gancio applica R_a al Plo.

K = EA _{coeff. della legge} dipendente della lunghezza iniziale l₀

di Hooke

Quindi ho:

T = EA( l / l₀) → I / A = Ë · e

la forza per unità di superficie

prende il nome di: SFORZO (tensione)

σ = Ë · E

Forma moderna della legge di Hooke.

Ë che compare nella formula si chiama MODULO di Young

dipende del materiale

dipende dagli sforzi ← σ = Ë · ε → dipende dalla geometria

In vergono applicati dipende del tipo di materiali

Per quanto riguarda le unità di misura:

σ = [N / m²] = [Pa] = pressione → di solito si usa il MS

posizione e di trazione (allunga)

negativo e di compressione (accorcia)

Ë = σ / ε = [N / m²] = [Pa] = pressione → di solito si usa il GR

nommero puro

L'applicazione di P provoca una deformazione dei fili.

Indico con 2θ l'angolo con la verticale nel caso non deformato

L'angolo di inclinazione delle forze nel caso deformato è incognito, e questo genera una complicazione nei calcoli, ancora però risolvibile.

Interviene l'IPOTESI PICCOLI SPOSTAMENTI:

ai fini della scrittura dell'eq. di equilibrio statica, possiamo confondere spostamenti così piccoli da avere come configurazione quella non deformata.

Quindi l'equilibrio statico si impone nella config. non deformata.

⇒ α ≈ θ

Allora ottengo un sistema di 2 eq. in 2 incognite (T₁ e T₂) e risolvibile (sostituendo da noto)

{ l₁T₁sinα + l₂T₂sinα = 0

{ l₁T₁cosα + l₂T₂cosα – P = 0 ⇒

T₁ = T₂

{ T₁ = P

(sollevato)

Il problema si dice STATICAMENTE DETERMINATO.

Possiamo allora mostrare come diverrà caso statico e cinematico.

Considero le equaz. di LEGAME COSTITUTIVO:

TRILITE

Concentriamo l'attenzione sul blocco superiore.

Questo ha una massa, quindi risente dell'azione della forza peso.

Def: _Ω: regione dello spazio occupato dal blocco.

Prendiamo un sistema di riferimento come in figura.

Prendiamo un elemento di volume _ΔV, che occupa una regione _s.n. di spazio e ha massa _s.m.

1. _V = volume di _Ω
2. _ΔV = volume di _ΔΩ

Se _ΔV è abbastanza piccolo, posso considerarlo come punto materiale e io quindi calcolare le forze agenti su di esso, in particolare il peso

Δp = gΔm

Def: (Densità di massa) ρ = lim _{ΔΩ→0 Δm}/_ΔV

La regione _s.n. di volume _ΔV

dico ché _Ω → _Ω se non _ΔV -> perché

_ΔV può tendere a 0 in tanti modi:

ad esempio schiacciandosi su una superfice : ma questo non mi fa

ottenere un punto materiale.

M(x) = _px² - _pL² + _px^{3 2}₂²_22L

M(x) = _pLx (L - xL)

Andamento forza di taglio

T(x) = p (L - x) ₂L

- lo scopo per vedere dove è più sollecitato il blocco

Andamento momento flettente

La forza è massima agli estremi, nei punti A e B. Quindi sono questi i punti da controllare per verificare se il blocco è in grado di resistere alla sollecitazione.

M(x) = _px₂(_)

1. Mostra la funzione va come x²

Quindi se guardiamo il momento flettente, la sezione più sollecitata è a ¹₂

Tuttavia anche nella sezione intermedia tra 0 e ¹₂ e tra ¹₂ e 1 una sovrapposizione di sforzi, il che è altrettanto pericoloso.

Baricentro

Dipende dalla forma del corpo e dalla distribuzione delle masse.

Nel sistema di riferimento è individuato da (x_G, y_G)

Se immagino la forza peso non come un vettore libero ma come vettore applicato al baricentro, diventa più veloce la risoluzione.

TRAVI

Def (geometrica di TRAVE)

Prendiamo da una curva L che unisce 2 punti A e B.

L deve essere in arco di curva semplice e regolare.

Curva che non ha sovrapposizioni, non deve avere punti angolosi, non può ripassare su se stessa o cuspidi.

L costituisce la linea d'asse della trave.

Considero adesso una superficie S (sarà la sezione della trave).

Portiamo la superficie S con il baricentro coincidente con A e normale localmente con la curva L.

Poi traslo S lungo L mantenendo la stessa condizione su G e sulla normale ad S.

Con facendolo descrivo un volume Ω che chiamiamo TRAVE.

Chiamiamo λ ∼ diametro di S e imponiamo λ ≪ l con l = lunghezza di L. Questo perché voglio che le dimensioni dominanti della trave sia la lunghezza.

Nella costruzione devo oltre evitare che S ruoti, ottengo altri propri assi. Quindi se considero una trave t, u, v, di S, impongo che S non ruoti rispetto alla terna locale.

No cerco inoltre, consideriamo solo travi a sezione constante, inoltre il raggio di curvatura di L deve essere non troppo piccolo, per evitare che la trave si comprima.

Equilibrio della rotazione

θ: _i x (T_j) ^l _c x (-P_j) ^l _c + H = 0

H₁ = z̄ρg ( (u + 2h)_L⁶ - h z̄ - u+2h ̅x²_L ) + ₂/³ (u+1⁄4h)_B+1 (h₁+h) z̄ρg

H₁ = z̄ρg ( (u + 2h)_L⁶ - h z̄ - u+1⁄4h x² ) + ⁴/₃ (u+1⁄4h) z̅ρg

• Lᴴ 1_/3 (B^h - 4_cs z̄)

H₁ = z̄ρg (u + 2h)_L⁶ - h ¹/₂z̄ x² + h²/₃L_...̅z

H₁ = z̄ρg ( u_L⁶ + 5_L⁵z̄ - 4_B³ - _1L̅h x² )

H₁ = z̄ρg ( (u + 5h)_L⁶ + (u - 4h)_B³ - u + 1⁄4h x² )

h_{h = o} ➔ ̅zρg ( ⁿ₅ + ^u/₃ - ^u/_2L x² )