Appunti Scienza delle costruzioni

E

σ σ

a a

X = (σ ,0) Y = (0,0) C = ( ,0) R =

a 2 2

π

Ruotiamo di sul cerchio di Mohr:

2

σ σ σ σ σ σ σ

a a a a a a a

X = ( , − ) Y = ( , ) σ = σ = τ =

da cui x y xy

2 2 2 2 2 2 2

Riscrivendo le relazioni: σ

σ σ σ σ

1 ν 1 − ν 1 − ν a

a a a a γ =

ε = ( ) − ( ) = ( ) ε = ( ) xy

x y 2G

E 2 E 2 E 2 E 2

Consideriamo il cerchio di Mohr allo stato di deformazione:

σ σ σ σ σ

1 − ν 1 − ν 1 − ν

a a a a a

X =( ( ), − ) Y = ( ( ), ) c =( ( ),0)

E 2 4G E 2 4G E 2

π

Consideriamo la dilatazione in direzione x’ ruotata di rispetto ad x:

4

σ σ

1 − ν a a

ε = ( )+

x′ E 2 4G

σ σ σ

1 − ν

a a a

= ( )+

E E 2 4G

1+ ν 1 E

⇒ = → G =

2E 4G 2(1 + ν)

G

dove è il modulo elastico di taglio,

E

dove è il modulo di Young (sforzo/deformazione),

ν

dove è deformazione lungo x fratto deformazione lungo y.

STATO PIANO DI TENSIONE

Suppongo uno stato piano di tensione. Le componenti di tensione ortogonali al piano sono nulle.

σ = σ = σ = 0

z xy yz ̂ ̂

̂ ̂

− i − j i j

Le tensioni sulle facce di normali e sono opposte alle tensioni sulle facce di normale e .

Le tensioni cambiano da punto a punto.

Sviluppando in serie di Taylor:

∂σ (x, y)

x

σ (x + Δx, y) = σ (x, y) + Δx + ∘ (Δx)

x x ∂x

∂σ (x, y)

y

σ (x, y + Δy) = σ (x, y) + Δy + ∘ (Δy)

y y ∂y

∂τ (x, y)

xy

τ (x + Δx, y) = τ (x, y) + Δx + ∘ (Δx)

xy xy ∂x

∂τ (x, y)

yx

τ (x, y + Δy) = τ (x, y) + Δy + ∘ (Δy)

yx yx ∂y

-Equilibrio orizzontale: ∂τ (x, y)

∂σ (x, y) yx

x

[−σ + (σ + Δx)]ΔyΔz + [−τ + (τ + Δy)]ΔxΔz = 0

x x yx yx

∂x ∂y

∂τ

∂σ yx

x

⇒ + =0 (relazione differenziale che lega tra loro le funzioni che definiscono i

∂x ∂y

componenti di tensione)

-Equilibrio verticale:

∂σ (x, y) ∂τ (x, y)

y xy

[−σ + (σ + Δy)]ΔxΔz + [−τ + (τ + Δx)]ΔyΔz = 0

y y xy xy

∂y ∂x

∂σ ∂τ

y xy

⇒ + =0

∂y ∂x

-Equilibrio alla rotazione al punto C (centro della sezione):

∂τ (x, y) ∂τ (x, y)

Δx Δy

xy yx

[−τ + (τ + Δx)]ΔyΔz + [−τ − (τ + Δy)]ΔxΔz =0

xy xy yx yx

∂x 2 ∂y 2

⇒ τ = τ (reciprocità delle tensioni tangenziali)

xy yx

Queste tre equazioni sono le equazioni di equilibrio per un continuo, cioè quelle che le

componenti di tensione devono soddisfare affinché il mezzo sia in equilibrio.

RELAZIONE COSTITUTIVA ELASTICA LINEARE σ

Considerato un parallelepipedo con forze ortogonali agli assi coordinati e soggetto solo a .

x

σ

x

σ = E ⋅ ε ε = ε = − νε

ε =

Legge di Hooke: x y z x

E

σ σ σ τ τ τ

Possiamo sovrapporre gli effetti , , , , , ottenendo le relazioni costitutive:

x y z xy xz yz

σ ν

x

ε = − (σ + σ )

· x y z

E E

σ ν

y

ε = − (σ + σ )

· y x z

E E

σ ν

z

ε = − (σ + σ )

· z x y

E E

τ τ

τ

xy yz

xz

γ = γ =

γ =

· xy yz

xz

G G

G ε

x

ν = −

Coefficiente di Poisson: esprime legame di variazione di deformazione tra due direzioni.

ε

y

Modulo di Young: esprime il legame tra la variazione di lunghezza e il carico applicato.

τ

xy

G =

Modulo elastico di taglio: esprime il legame tra le tensioni di taglio e deformazione

γ

xy

angolare.

CRITERIO DI VON MISES

Due stati di tensione producono lo snervamento se corrispondono allo stesso valore della soglia

di Von Mises. La funzione di Von Mises è funzione dello stato di tensione: la si può quindi definire

in funzione delle tensioni principali perché quello che importa non sono le direzioni principali di

tensione ma il valore delle tensioni (e quindi come sono fatti i tre cerchi di Mohr).

La funzione di Von Mises è: 2 2 2

(σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ )

1 2 1 3 2 3

Φ (σ , σ , σ ) =

vm 1 2 3 3

σ , σ , σ

dove sono le tre tensioni principali.

1 2 3 σ ≠ 0 σ = σ = 0

Nella prova di trazione monoassiale si hanno e e si sa che il materiale si

1 2 3

σ = σ σ

snerva quando , dove è la tensione di snervamento. Quindi il valore soglia della

1 y y

funzione è: 2 2 2

σ + σ 2σ

y y y

Φ (σ ,0,0) = = Φ̄ =

vm y vm

3 3

Φ (σ , σ , σ ) ≤ Φ̄

Quindi :

vm 1 2 3 vm 2

2σ

2 2 2

(σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ ) y

1 2 1 3 2 3 ≤

3 3

2 2 2

(σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ )

1 2 1 3 2 3 ≤ σ

y

2 2 2 2

(σ − σ ) + (σ − σ ) + (σ − σ )

1 2 1 3 2 3

σ =

E se definiamo la tensione di Von Mises come vm 2

σ ≤ σ

allora .

vm y

CRITERIO DI TRESCA

La funzione delle tensioni principali in questo caso è:

{ }

| | | |

σ − σ σ − σ

| |

σ − σ 1 3 2 3

1 2

Φ (σ , σ , σ ) = m a x , ,

t 1 2 3 2 2 2

dove i tre valori all’interno delle graffe rappresentano i raggi delle 3 circonferenze di Mohr.

Il massimo tra i 3 raggi corrisponde alla massima tensione tangenziale.

Il valore di soglia si ottiene tramite le prove sperimentali. σ ≠ 0 σ = σ = 0

In particolare nella prova di trazione monoassiale si hanno e e si sa che il

1 2 3

σ = σ

materiale si snerva quando . Quindi il valore soglia della funzione di Tresca è definito da:

1 y

| | | |

σ σ σ

{ }

y y y

Φ (σ ,0,0) = m a x , ,0 = Φ̄ =

t y t

2 2 2

Φ (σ , σ , σ ) ≤ Φ̄

Quindi :

t 1 2 3 t

{ } σ

| | | |

σ − σ σ − σ

| |

σ − σ y

1 3 2 3

1 2

max , , ≤

2 2 2 2

{ }

| | | | | |

m a x σ − σ , σ − σ , σ − σ ≤ σ

1 2 1 3 2 3 y { }

| | | | | |

σ = m a x σ − σ , σ − σ , σ − σ

E se definiamo la tensione di Tresca come t 1 2 1 3 2 3

σ ≤ σ

allora .

t y

CRITERIO DI GALILEO

La funzione di Galileo è:

{ }

| | | | | |

Φ = m a x σ , σ , σ

g 1 2 3

Questo criterio è uguale a quello di Tresca perché si basa sul massimo valore della tensione

normale.

Il valore di soglia si ottiene tramite le prove sperimentali. σ ≠ 0 σ = σ = 0

In particolare nella prova di trazione monoassiale si hanno e e si sa che il

1 2 3

σ = σ

materiale si snerva quando . Quindi il valore soglia della funzione di Tresca è definito da:

1 y

{ }

| |

Φ (σ ,0,0) = m a x σ ,0,0 = Φ̄ = σ

g y y g y

Φ (σ , σ , σ ) ≤ Φ̄

Quindi :

g 1 2 3 g

{ }

| | | | | |

m a x σ , σ , σ ≤ σ

1 2 3 y { }

| | | | | |

σ = m a x σ , σ , σ

E se definiamo la tensione di Galileo come g 1 2 3

σ ≤ σ

allora .

g y

STATO DI TENSIONE BIASSIALE

σ ≠ 0 σ ≠ 0 σ = 0

Generalmente caratterizzato da , , , quindi le condizioni di sicurezza dei 3

1 2 3

criteri diventano: 2 2 2

(σ − σ ) + σ + σ

1 2 1 2

σ ≤ σ ⇒ σ = ≤ σ

· vm y vm y

2

{ }

| | | | | |

σ ≤ σ ⇒ σ = m a x σ − σ , σ , σ ≤ σ

· t y t 1 2 1 2 y

{ }

| | | |

σ ≤ σ ⇒ σ = m a x σ , σ ≤ σ

· g y g 1 2 y

Questi 3 criteri possono essere identificati facendo il piano di

Westergaard, dove sono definiti 4 punti in corrispondenza dei

σ

valori della tensione di snervamento .

y

Se un punto si trova all’interno della forma che rappresenta un

criterio, allora lo soddisfa.

Ellisse di Von Mises, esagono di Tresca e quadrato di Galileo.

VARIAZIONI DI VOLUME

Consideriamo un corpo generico sottoposto a deformazione e analizziamo quello che succede ad

dV = d x d yd z

un sottocorpo a forma di parallelepipedo rettangolo di volume con gli spigoli

paralleli agli assi x, y e z. d x′ d y′ d z′

Dopo la deformazione gli spigoli saranno lunghi , e e andranno a definire un elemento

deformato che non sarà più un parallelepipedo rettangolo.

dV = d x d yd z

Mentre il volume iniziale del sottocorpo è perché gli spigoli sono ortogonali tra

dV′ = d x′ ⋅ (d y′ × d z′

)

loro, il volume finale è pari a perché il valore assoluto del prodotto misto

di 3 vettori è uguale al volume del parallelepipedo costruito su di essi. P(x, y, z)

La deformazione è perfettamente definita dalla mappa, quindi preso un punto generico

P′

(x′

, y′

, z′

)

il vettore che descrive il suo spostamento nel punto a causa della deformazione avrà

u(x, y, z) v(x, y, z) w(x, y, z) P′

(x′

, y′

, z′

)

componenti , , . Quindi il punto avrà coordinate

x′ = x + u(x, y, z) y′ = y + v(x, y, z) z′