Scienza delle costruzioni - Appunti completi

Esercizi di analisi strutturale

• Identificazione e calcolo del numero n di elementi strutturali;

• Calcolo dei gradi di libertà del sistema piano, G=3n

• Identificazione dei vincoli esterni ed interni e il loro numero V , VE I

• Calcolo numero totale vincoli V

• Calcolo gradi di labilità L=G-V ALMENO (in caso di ben disposizione dei vincoli)

• Classificazione cinematica struttura (analisi condizione vincoli, impiego teoremi catene cinematiche)

• Tracciamento configurazione spostata della struttura scegliendo una componente di spostamento a piacere

• Tracciamento proiezioni orizzontali e verticali componenti di spostamento (utile per applicazione PLV)

Calcolo delle reazioni vincolari per strutture isostatiche.

Metodo generale, metodo delle equazioni ausiliarie. Calcolo delle reazioni vincolari mediante il Principio dei Lavori Virtuali (PLV). Metodi grafici: poligono delle forze e poligono funicolare

Principio dei lavori virtuali per sistemi rigidi :Metodo

Semi-grafico che è in grado di fornire una singola reazione elementare per volta. Consiste nell'effettuare uno svincolamento in modo tale da compiere lavoro, oltre la forza esterna, soltanto la reazione cercata (la struttura è ora una catena cinematica). Tale principio mette in relazione il concetto di dualità: dati due sistemi A e B, relativamente sistema di forze equilibrato (equazioni cardinali della statica) e un sistema di spostamenti compatibili e congruenti (equazioni cardinali della cinematica) moltiplicati uno per l'altro, otteniamo un lavoro nullo.

Metodo analitico (delle equazioni ausiliarie): Si considerano le tre equazioni di equilibrio globale, con l'aggiunta di s equazioni di equilibrio parziale, con s il grado di svincolamento interno della struttura (ad esempio una cerniera → 1: momento). Le equazioni ausiliarie si scelgono in modo da non fare intervenire le reazioni interne nel sistema risolvente.

Metodo grafico: Si basa sulle

equazioni cardinali della statica. Nel caso si abbiano tre forze in equilibrio nel piano, esse dovranno formare un triangolo se riportate una di seguito all'altra (Regola del Parallelogramma) (1° equazione cardinale).

Caratteristiche della sollecitazione nelle travi: Definizione di Sforzo Normale, Momento, Taglio (M, N, T). L'equilibrio di un tronco infinitesimo di trave: equazioni differenziali per M, N, T. Convenzioni per il tracciamento dei diagrammi di sollecitazione. Applicazione del PLV al calcolo delle sollecitazioni in una sezione. Primi esempi di tracciamento dei diagrammi di sollecitazione.

Equazioni indefinite di equilibrio per le travi piane: Le caratteristiche della sollecitazione interna relative alla sezione di una trave sono le reazioni interne elementari trasmesse dalla sezione. Nel caso della trave piana le caratteristiche della sollecitazione sono 3:

• Sforzo tagliante T (positivo se fa ruotare in senso orario)
• Sforzo normale N (positivo se di trazione)
• Momento

Nel caso della trave nello spazio le caratteristiche della sollecitazione sono 6:

• Sforzo normale
• Due sforzi taglianti (T , T )X Y
• Momento torcente ( M ) e due momenti flettenti (M , M )Z X Y

L'andamento delle caratteristiche va studiato nei tratti di trave compresi tra una sollecitazione e l'altra, nei punti di applicazione delle sollecitazioni concentrate di verifica invece la discontinuità delle caratteristiche.

Diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione

Metodo diretto

Si impone l'equilibrio a porzioni finite di trave, soggette a carichi esterni, a reazioni vincolari note e alle caratteristiche incognite.

Determinazione delle caratteristiche della sollecitazione mediante il PLV

Degradando opportunamente i relativi vincoli esterni, le caratteristiche della sollecitazione interna in una sezione si possono ottenere trasformando il vincolo di incastro interno in un vincolo doppio, la cerniera per ottenere

Il momento flettente e il doppio pendolo sono utilizzati per ottenere il taglio o lo sforzo normale.

ESERCIZI

1. Classificazione della struttura
• Analisi cinematica: verificare se la struttura è fissa o labile.
• Analisi statica: verificare se la struttura è isostatica (n. vincoli = n. gradi di libertà del sistema) se è fissa, o staticamente determinata (le reazioni vincolari possono equilibrare i carichi) se è labile.
2. Soluzione del problema per strutture isostatiche o staticamente determinate
1. Calcolo delle reazioni vincolari dei vincoli esterni e dei vincoli interni:
• Con le equazioni cardinali della statica ed eventuale integrazione di equilibri parziali ausiliari.
• Mediante il Principio dei Lavori Virtuali (che fornisce, però, una sola reazione vincolare alla volta).
2. Scomposizione, mediante eliminazione di incastri mutui, dei sistemi rigidi in aste singole e angoli di telaio di dimensione infinitesima.
3. Calcolo delle...

relative reazioni di incastro mutuo;

4) Identificazione delle sollecitazioni di estremità di ogni asta;

5) Tracciamento dei diagrammi di sollecitazione.

Strutture isostatiche reticolari

Caratteristiche fondamentali. Travi Gerber. Travi reticolari isostatiche: metodo dell'equilibrio dei nodi, metodo delle sezioni di Ritter.

Le strutture isostatiche composte da travi sono largamente impiegate nelle costruzioni. Le sollecitazioni interne indotte dai carichi meccanici sono superiori nella struttura vincolata isostaticamente rispetto a una vincolata iperstaticamente. D'altra parte, le sollecitazioni interne indotte da carichi termici sono nulle nelle strutture isostatiche e rilevanti in certi sistemi iperstatici. Da ciò si evince l'importanza di considerare i sistemi isostatici di travi.

Gli schemi maggiormente utilizzati per la realizzazione di strutture di grande luce e prive di ingombro verticale sono:

• Travi Gerber → trave rettilinea con più appoggi

E adeguato numero di sconnessioni. Usate ad esempio per ponti autostradali:

• Travature reticolari → elementi di struttura più fine costituite da bielle manualmente incernierate, tradizionalmente usate nei ponti ferroviari

Per capannoni industriali e, più in generale, coperture (stazioni, palestre, stadi, ..) si impiegano:

• Archi a tre cerniere
• Strutture chiuse → catene di elementi strutturali che si richiudono su se stesse e possono essere internamente iperstatiche

Incognite (i): sforzi sulle aste (a), reazioni vincolari (3) → i = a+3 = 2n (condizione necessaria ma non sufficiente)

Metodo dell'equilibrio dei nodi

Per determinare gli sforzi nelle singole aste si possono scrivere 2n equazioni in (a+3) incognite, e verificare così i valori delle reazioni esterne già ottenute imponendo l'equilibrio globale. Graficamente impongo l'equilibrio di ciascun nodo e ne considero il poligono delle forze.

Metodo di Ritter (delle

1. Una sezione della travatura si dice di Ritter in relazione ad un'altra asta se taglia, oltre l'asta in esame, altre astetutte confluenti in un punto proprio o improprio.
2. ∑V=0 → N = F/2DE
3. ∑M =0 → N = - F/2D AE
4. ∑M =0 → N = - F/2E BD

Analisi della deformazione

Concetto di 'campo', matrice jacobiana, matrice di rotazione, matrice di deformazione. Il tensore di deformazione: dilatazioni e scorrimenti. Cambio di base del tensore di deformazione, direzioni principali, invarianti di deformazione, dilatazione cubica, equazioni di compatibilità.

Tensore delle deformazioni

Si analizzano ora i rapporti tra gli spostamenti di punti diversi (vicini) appartenenti a uno stesso corpo deformabile, animato in genere da un moto rototraslatorio.

Funzione spostamento f : associa ogni vettore posizione {r} al vettore spostamento {η}

Considerando l'intorno di un punto P

• Dilatazione e scorrimenti angolari
• Direzioni principali di

→ Le componenti di spostamento sono indipendenti, quindi in ε ce ne sono 3 dipendenti. Le altre tre dovranno essere indipendenti. Le sei componenti della deformazione dovranno quindi essere legate da tre relazioni differenziali, che ne limitano la mutua indipendenza, le 6 equazioni di congruenza:

Analisi della tensione

Concetto di sforzo, il tensore degli sforzi. Il tetraedro di Cauchy, reciprocità, tensioni tangenziali. Cambio di base del tensore di tensione, direzioni principali, invarianti di tensione, tensione idrostatica e tensione deviatorica. Cerchi di Mohr, particolarizzazione allo stato piano di tensione.

Si consideri un corpo in equilibrio sotto l'azione di forze distribuite sull'unità di superficie esterna (p) e nell'unità di volume (F). L'equilibrio andrebbe scritto nella geometria deformata ma la deformazione è infinitesima quindi la trascuriamo. {r} ~ {r}+{η}.{t } = tensore tensione (forza trasmessa