appunti Scienza delle Costruzioni 1 (parte 2)

Lezione Video: PRESSOFLESSIONE

Lo ricordiamo

unica forza applicata nel "punto di pressione"

d=0     l=0

E = 0    nel cilindo

θ = a t + b r

            ↓ θ(r)

e

         θ(0) a: N - b ra b: J4 (U_f - Nr_a)

Significato statico (fisico(?)):

     a = θ(0)     b = grado

traslazione nell'origine punto nello spazio in cui σ cresce

➟ Significato Cinematico ?

Nota T = (   ( 0  0  0     0  0  0  )   ( 0  θ  θ_nota))

Abbiamo risolto il problema in termini di tensioni,➟ vogliamo risolverlo c.a. le deformazioni e quindi risolvendo usando le equazioni

       symmetric        E misurando gli spostamenti

Usando relazioni costitutiveE = (  -Ⴥ             /y    0    0                -Ⴥ'

/y                  U_1,U2,U3,

/y  , ) di derivata non uguale a 1

Ricordiamo U = [U_{1, U2, U}

Ogni volta che abbiamo un grandezza □

scriviamo □₁ = (ξ₁,)➟ ( U_{1,      (U2,      (U3}

Lezione Videl

PRESSOFLESSIONE

Lo ricordiamo

d = 0   l = 0

ε = 0   nel cerchio

θ = a + b ⋅ r

σ(r)

a = N ⋅ b ⋅ r_α

b = J_r⁴(V_f - Nr_α)

Significato statico (fisico(?))

a = θ(0) b = grado

Significato Cinematico

Nota T =

• 0 0 0
• 0 0 θ
• 0 0 θ

Abbiamo risolto il problema in termini di tensioni,

→ Vogliamo risolverlo nelle E deformazioni, e quindi risolvend

E   esprimendo "degli spostamenti"

Usando

E =

1. −νθ/y   0   0
2. 0   − νθ/y
3. θ/y   θ/y

(U₁,

U_1,2 + U_2,i   U_1,3 + U_3,2

• U_2,2   U_2,3
• U_3,2   U_3,3

RICORDIAMO

u =

• U
• V
• W

U_i = [U₁, U₂, U₃]

= [u₁, U₂, W]

Ogni volta che abbiamo una grandezza

→ (*)

1. ε₁
2. U_1,1
3. U_2,2
4. U_3,3

Possiamo riscrivere:

w' = \(\bar{\sigma}\)/y

v' + gradw = 0

Symgrad v = - \(\nu\) σ₁₁/y

Nota \(\bar{\sigma}\): se risolviamo queste equazioni otteniamo:

• il campo di spostamento assiale w
• lo spostamento trasversale v

\(\bar{\sigma}\) = a±b·z

Ponendo b = 0

w' = \(\bar{\sigma}\)/y = a/y

v' + gradw = 0

SymGrad v = \(\nu\) a σ₁₁/y

Risolvendo:

W(r,z) = a/y z

e sostituendo a ②

v'(r,z) = - gradw = - grad\((a/y z)\) = 0 ⇒ v(r,z) = \(\hat{v}(r)\)

che sostituisco nella ③

SymGrad \(\hat{v}(r)\) = - \(\nu\) a σ₁₁/y

poiché \(\hat{v}(r)\): - \(\nu\) a σ₁₁/y

Soluzioni:

1. W(r,z) = a/y z
2. v(r,z) = - \(\nu\) a σ₁₁/y

Disegno:

• \(\epsilon_0\)
• \(-\nu \epsilon_z\)
• \(\epsilon_1\)
• \(L\) nuova lunghezza

l = lₒ + a lₒ

allungamento del cilindro =

_{L - L} / L = a / γ

_{Spostamento Trasversale}

ν = - ψ ar / γ

Contrazione della sezione per effetto Poisson

Cilindro si allunga ma sezione si contrae

Significato "cinematico" delle soluzioni

ponendo Ψ _{a = 0}

W' = b γ r

ν' + grad w = 0

SymGradν = - ψ b r I / γ

Risolviamo

w (r, z) = b r - _{r z} / γ

ν' = - Grad w = - Grad ( b r - _z

γ

⇒ ν (r, z) = - _bz² / 2γ + ƒ(r)

SymGradν = - ψ b r I / γ

Soluzione:

ƒ(r) = ν ( r ⊗ r - _{r ⊗ r} ) b / γ

Esercizio (A Casa) Verificare che SymGradν = - ψ b r I / γ

Soluzioni

1. W (r, z) = b r - _{r z} / γ
2. ν(r, z) = - _{b z²} / 2γ + ψ ( r ⊗ r - _{r ⊗ r}) b / γ

disegno

X = 0

b

Ζ = L

ν ≠ 0

PT 1 (indipendente da l)

Funzione parabolica quadratica

in ζ

Notare che se carico

q" = -b_z/y    =>    q" = -b/y

"curvatura delle fibre medie"

e la direzione di inflession