Appunti Scienza delle Costruzioni 1 (parte 1)

LEZIONE VIDEO

GEOMETRIA DELLE AREE (2D)

Dominio D ∊ |R

INFORMAZIONI:

1. Area

con D dominio perfettamente verticale

esercizio

Calcolare l'area triangolo

2. Baricentro G

• Baricentro non è altro che la media di tutti i vettori posizione

esempio

Parallelogramma

Momento statico

• S=Ao
• area × baricentro

Momento d'inerzia

composto da 3 quantità (è un tensore!)

Digressione

Ho una base {a₁, a₂, a₃}

v⃗ = v₁a⃗₁ + v₂a⃗₂

(con i v_i coeff. scal.)

Se cambio la base i coefficienti cambiano!

ad esempio con nuova base {â₁, â₂, â₃} v⃗ diventa:

v⃗ = v̂₁â₁ + v̂₂â₂

ANcHe le matrici delle applicazioni lineari dipendono dalla base!

Chiamiamo un'applicazione lineare L:

L(u⃗ + alpha w⃗ ) = L u⃗ + alpha L w⃗

questo il t. che questo si ma do' posso scrivere qualsiasi base come combinazione d 1 egli avrai. base

1. L = L₁₁ a⃗₁ ⊗ a⃗₁ + L₁₂ a⃗₁ ⊗ a⃗₂ + L₁₂ a⃗₂ ⊗ a⃗₁ + L₂₂ a⃗₂ ⊗ a⃗₂

Chiunque trivmt poís tends sullisopissumento cos:

se ho base â in base ho as tende canviereà (come per i vettori)

1. L = L̂₁ â⃗₁ ⊗ â⃗₁ + L̂₁ â⃗₁ ⊗ â⃗₂ + L̂₂ a⃗₁ ⊗ â⃗₂ + L̂₂ â⃗₂ ⊗ â⃗₂

coefficinti posso scriverie in forma matriciale (L̂₁₁ L̂₁₂ L̂₁₂ L̂₂₂)

Operazioni base con cui esprimere tutti i tensori

1. Ucumiamo se applicare à un sevino o cisno M² mi sonoituire il dopno di ció che we do

v⃗M = 2⃗

Per non coordina po ș un tensore dove linnigria che incute pel ciuramente

H(u⃗ + β w⃗ ) = 2(u⃗ + β w⃗ ) = 2u⃗ + 2βw⃗ - N⃗ propio N

M₃ è un tipo

rispetto invariatte

(baricentro): 5 = ∫( 0 ⁄ A ) 1 ⁄ 0 2π H

= {0, 0 , 4 ⁄ 3π}

→

COORDINATE DEL BARICENTRO

⨀ ⨀ ⨀

1)

∮ r ds_⨁ = ∮

h₄⁄4 h₂⁄2 0

⨀ Ragionando, arrivo a capire che

∫ A = ∫ B = 0

COSA SUCCEDE SE TRASLO IL SISTEMA DI RIFERIMENTO?

1 sistema

Ŏ = O + u

(dove u è noto)

TROASLAZZONE

HUGYNS

1) Trovo A_G, B_G,

a, ŏ

2) Trovo A', B', a'

quinto)

∫ A = B H⁴ 0

8 0 a

⇒

⇒

differenza tra A e A’≠Nessuna!

A = A

∫ c (c’+u)

3) Se

de imponee in a)

= ∫

= ∫_G + μ

= ∫^G + u∫

= ∫ + Au

⇒

QUINDI ∫ + Au = ∫

→ ∫ = ∫,A= ∫u

∫ = ∫∠

⇒ ∫

= (r+ a)(o’+ ∫u) = ∫

⋏ ⋏ ⋏

⇒

J + 1 ⁄ 0 Q∫' + ∫0u

ALQUU J

principle di Hugyens

Definiamo ora ellisse d'inerzia.

Se ₀ e ₁ → ² / ⁴ = 1

Se modifico per un ² , ¹ = 1, ² / ⁴ ₂ m ² = 1

Se un ellisse (centrato nell'origine degli assi)

lo voglio centrato nel BARICENTRO! devo traslare le coordinate

con le seguenti propriet

centroide in G (centrato nel baricentro)

sono paralleli alle direzioni principali inerzia

La lunghezza dei semi ² pari a ₂ / = ₁ /A ² =

Sapendo che ₁ sono autovettori di ₀

Esempio H

prendiamo una sezione semplice (rettangolare)

Disegnare ellisse inerzia della sezione

• = A _G -1
• A = HB
• ,{0,0} sup>2 punto estremo si
• = _ac ( _bc

Inizio Cinematica

Configurazione di riferimento (scelto XR del corpo ed eventualmente il campo di forze applicate).

Configurazione del corpo quando NON ci sono forze applicate X(Ω) ⊂ R³.

Ω è un sottosistema di R².

Ogni punto dello spazio è definito con normali coordinate.

Dato che deformato in un punto qualsiasi X(ξ) definisco

X : Ω → R³ X = X(ω)

X punto X corrisponde un X(X)

(mi permette di individuare punti in nuova configurazione)

• Configurazione di riferimento
• Configurazione deformata

dove punti deforma punti deforma

Proprietà 1

Si verifica che X è una mappa biunivoca.

Inoltre altra ipotesi è che X è una funzione "differenziabile".

Se faccio "zoomato" è la pendenza che l'ha irripido con il punto (X+dT), co-

che chiando f(X T) la corrispondenza si interviene di differenziali.

X(X+dε) - X(X) e = dX + e(|X|)

Proprietà 2 Grado di : F

Una funzione differenzia X VT

[ X(X+dT) - X(T) = t ƒ(x) + o(|x|)]

Deformazione (Green-Lagrange)

E = 1/2 [(1 + G)(1 + G)^-1 - 1] = 1/2 (G + G^T) + 1/2 GTG

Poiché G_A ≠ G_un = E - 1

F = 1 + G

Un - Ga = Grad Un - Ea

U_a = Ga = Grad U_a - E_a

Gradiente è un operatore lineare

U_abc = U_a + U_b

A_abc = Gscalato = G_a + G_b

Attenzione E_at ≠ E_A + E_a ≠ E₀

(E_abc = E_A + E_a) solo quando termina 1/2 GTG torna,

cioè processo rispetto a 1/2 (Gt^Tt)

Determinare il "piccolo" / l'ottimazione di matrici

|U| = [Σ u_i²] e |A| = [Σ A_i²]

• massimo di un vettore
• somma di una matrice
• somma di metodo per ottenere una "grandezza"

Supponiamo di avere η = |G| = 1

Ĝ = G / (|G|) → matrice normalizzata

G = ηĜ |PONIARIO|

dove |G| = √(x₁² + x₂² + x₃² + x₄²)

Si trova in un sistema

= 1/2 η (G + G^T) + 1/2 η²Ě CG

Per capire: Abbiamo G = |/2 2 2/ /2 6/

quindi Ĝ = √(1/5) 2/5 → "matrice normalizzata"

quindi |G| = √26 ≈ 5

Se η = |G| ≪ 1 allora E = 1/2 (G + G^T)

15/10/20 Lezione Videli

E = 1/2 (G+G^T) + 1/2 GTG

Ogni matrice/tensore la posso scomporre in una parte simmetrica e una antisimmetrica.

E_c = 1/2 (U₃ + U₃^T)

Esempio

• U₁ = δ × x/2
• U₂ = δ × x/2
• U₃ = 0

[figure ottimale rosso in rosso]

Dal disegno deduco che NON è ortologo!

ℓ = E

G = δ/2 δ/2 0 0 0 00 0 0= E

So che (con Teorema di Pitagora)

ℓ = √(x² + (δ ℓ/2)²) ≃ ℓ(1 + c δ² )

Vectors θ₁ θΔ₁

Se avessi avuto base diversa

Matrice E sarebbe stata:

Supponiamo di avere:

E = E_ij a_i × a_j = E_ik a_i × a_k

E_ik = E a₁ × â₁ = E_is (a₁ × a₅) (â₁ × â₁) =

= E_is (a₅ × â₁) (a₁ × â₁) = E_is θ₅ × Q_c â₅