Appunti schematici + formulario di Calcolo delle probabilità

INDIPENDENZA E INCOMPATIBILITA’

Siano A e B due eventi appartenenti alla σ−algebra di interesse, questi si dicono essere fra loro indipendenti

se e solo se la probabilità della loro intersezione fattorizza nelle probabilità dei singoli eventi:

A B P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

⊥ ⇐⇒

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell’evento A non modifica la probabilità che si verifichi

l’evento B. Tre eventi sono indipendenti se e solo se:

Siano A e B due eventi appartenenti alla σ−algebra di interesse, questi si dicono essere fra loro incompatibili

se e solo se l’intersezione dei due eventi è vuota:

A, B incompatibili A ∩ B =

⇐⇒ ∅

Due eventi si dicono incompatibili se il verificarsi di uno esclude il verificarsi dell’altro.

CONSEGUENZE:

A, B incompatibili P(A ∩ B) = 0

⇒

Supponiamo che P(A) > 0 e che P(B) > 0, allora:

l’indipendenza esclude l’incompatibilità e l’incompatibilità esclude l’indipendenza.

NB: l’annullarsi della probabilità dell’intersezione non implica l’incompatibilità.

PROBABILITA’ CONDIZIONATA

Dato che si è verificato l’evento B, come si modifica la probabilità dell’evento A? P(A|B).

B B, sia P(B) > 0. La probabilità dell’evento A dato che l’evento B si è verificato è data da:

∀A, ∈

NB: Se A e B sono fra loro indipendenti, il realizzarsi di B non modifica in alcun modo la probabilità di A:

LA LEGGE DELLE ALTERNATIVE

Si consideri un evento E B e sia {C } B una sottofamiglia di B discreta e disgiunta (ovvero tale che i ≠ j,

∈ ⊆ ∀

n U

C ∩ C = con P(Cn) > 0. Si supponga, inoltre, che E C (ovvero E sia interpretabile come un effetto

∅) ⊆

i j n n

riconducibile ad almeno una delle possibili cause C ). Allora:

n

TEOREMA DI BAYES

Assumiamo valide tutte le ipotesi della legge delle alternative e supponiamo, inoltre, che P(E) > 0. Allora:

IL CONCETTO DI VARIABILE CASUALE

Supponiamo di avere a che fare con uno spazio probabilistico (Ω, B, P). Studiamo adesso l’idea di variabile

casuale. Quello che si può fare è mappare lo spazio di probabilità che conosciamo (spazio di partenza) in un

altro (spazio di arrivo), più trattabile, di modo che le misurazioni di probabilità nel primo e nel secondo

spazio risultino in qualche modo equivalenti. Cerchiamo allora tre elementi che compongano un nuovo

spazio probabilistico per noi più trattabile:

Consideriamo come “alter ego” di Ω l’insieme R. Ora, se B è la σ−algebra indotta su Ω, per il nostro nuovo

spazio probabilistico la σ−algebra considerata sarà costruita partendo dall’insieme dei numeri reali.

Otteniamo così la σ-algebra B di Borel, i cui elementi sono detti Boreliani. Formalmente, possiamo definire la

1

σ−algebra di Borel come la più piccola σ−algebra contenente tutti gli intervalli del tipo ]−∞, x]:

La funzione X : Ω → R è detta variabile casuale se e solo se:

Con X (B ) si denota la controimmagine della variabile casuale X, cioè l’insieme di tutti gli elementi ω Ω

−1 ∈

1

tali per cui X(ω) assume valori (ha immagine) in B .

1

Una variabile casuale induce sullo spazio misurabile (R, B ) una nuova misura di probabilità, detta

1

distribuzione di X, che denotiamo con P .

X

Chiameremo allora (Ω, B, P) spazio di partenza e (R, B , P ) spazio di arrivo.

1 X

Le informazioni contenute in P si possono ulteriormente sintetizzare attraverso la funzione di ripartizione

X

F (·). La funzione di ripartizione FX : R → [0, 1] è definita come:

X

Sia data X variabile casuale. Diremo che x è quantile di ordine α (0,1) se è vera la disuguaglianza:

∈

α

Data una variabile casuale X con funzione di ripartizione F (x) si definisce funzione generatrice dei

X

momenti di X G (t) = E(e ). Essa esiste ogni volta che il precedente valore atteso esiste finito in un intorno di

tX

X

t = 0. I momenti di una variabile casuale si ottengono seguendo questa procedura: si deriva la funzione e la si

valuta in zero. L’ordine del momento è pari all’ordine di derivazione. Avremo quindi:

G’ (t) = E(e X) G’ (0) = E(X)

tX →

X X

G’’ (t) = E(e X ) G’’ X(0) = E(X )…

tX 2 2

→

X

Sia X variabile casuale che ammette funzione generatrice dei momenti G (t). Definiamo Y = a + bX.

X

Allora, Y ammette funzione generatrice dei momenti: G (t) = e G (bt)

at

Y X

Una variabile casuale è completamente caratterizzata o dalla sua funzione di probabilità / densità, o

dalla sua funzione di ripartizione oppure dalla sua funzione generatrice dei momenti. In altre parole

basta esplicitare una delle tre entità appena citate per definire univocamente una variabile casuale.

Per completare la definizione è necessario sempre accompagnare le funzioni suddette con il supporto.