Appunti schematici + formulario di Calcolo delle probabilità

F. di probabilità di variabili casuali discrete

Uniforme discreta

Uniforme discreta:...

Binomiale

Binomiale:...

Bernoulli

Bernoulli:...

Poisson

Poisson:...

Geometrica

Geometrica:...

Ipergeometrica

Ipergeometrica:...

Trinomiale

Trinomiale:...

F. di densità di variabili casuali continue

Uniforme continua

Uniforme continua:...

Uniforme continua (intervallo qualsiasi)

Uniforme continua (intervallo qualsiasi):...

Gamma

Gamma:...

Esponenziale negativa

Esponenziale negativa:...

Gamma con α = 1

Chi-quadrato

Chi-quadrato: 1

Gamma con α = e θ =2 2

Normale standard

Normale standard:...

Normale generale

Normale generale:...

Concezioni della probabilità

Definizione classica

La probabilità P di un evento E, denotata con P(E), è data dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli all’evento d’interesse e il numero complessivo dei casi possibili:

• Casi favorevoli all’evento E
• P(E) = ...assumendo che i casi possibili siano tutti equiprobabili...
• Casi possibili

Definizione frequentista

Si supponga di considerare un esperimento dal risultato incerto che sia ripetibile (come il lancio di una moneta regolare) e si definisca come “successo” il verificarsi di uno specifico evento E prodotto dall’esperimento in questione (Es: croce). Se ripetiamo tale esperimento casuale un gran numero di volte, indicando con n il numero delle prove effettuate, e contiamo il numero di successi ottenuti, allora possiamo definire la frequenza relativa dei successi come un’approssimazione della probabilità dell’evento E, tanto migliore quanto più n è grande:

• Successi
• P(E) ≈ ...questa uguaglianza approssimata prende il nome di legge empirica dei grandi numeri...
• Prove

Spazio probabilistico e assiomi di Kolmogorov

Uno spazio probabilistico è una terna (Ω, B, P), dove:

• Ω, assunto non vuoto, è l’insieme di tutti i possibili risultati dell’esperimento casuale considerato
• B rappresenta la famiglia di tutti gli eventi d’interesse ed è una σ-algebra, ovvero un insieme di sottoinsiemi B P(Ω) che soddisfa tre proprietà:
  • Ω ∈ B
  • ∀A ∈ B, A⊇ ∅
  • ∀{A_n} ⊆ B, ⋃_n A_n ∈ B
• P è la misura di probabilità, ossia una funzione P : B → R che gode di tre importanti proprietà, dette assiomi di Kolmogorov:
  • P(Ω) = 1
  • ∀A ∈ B, P(A) ≥ 0
  • Sia {A_n} ⊆ B una sottofamiglia discreta e disgiunta, cioè tale che per i ≠ j si ha che A_i ∩ A_j = ∅. Allora: P(⋃_n A_n) = ∑_n P(A_n)

Partiamo da Ω, l’insieme dei possibili risultati del nostro esperimento casuale, che supponiamo consista nel lancio di una moneta regolare. Ω allora conterrà solo due elementi: “esce testa” ed “esce croce”: Ω = {T, C}. Potremmo fermarci qui, ma sicuramente non saremmo in grado di probabilizzare altri eventi oltre a {T} e {C}. Per esempio potremmo voler calcolare la probabilità che “esca testa E croce”, {T} ∩ {C} = ∅ o la prob...