Probabilità - Appunti schematici

PARTICOLARI VARIABILI CASUALI DISCRETE

1. Uniforme discreta

2. Binomiale

3. Bernoulli

4. Poisson

5. Geometrica

6. Ipergeometrica

1. UNIFORME DISCRETA (X~UD(n))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

{

1/n se x∈Sx—> (1…n)

- fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

- 2 Importanti nozioni: a) ∑ x= n (n+1)

2

2

b) ∑ x = n (n+1) (2n+1)

6

VALORE ATTESO (g: R—>R):

DIMOSTRAZIONE:

E(x)= n+1

2 - E(x)= ∑ x fx(x)= ∑x 1/n= 1/n∑x =

=1/n∑ n(n+1) = 1 n(n+1) = (n+1)

n

2 2 2

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

– 1

2

Var(x) = n -

12 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x) 2 2

2

x fx(x) – (n+1) 1/n∑ n(n+1)( n+1) – (n+1)

2

= = =

2 6 4

2 2 2

1 n(n+1)( n+1) – (n+1) 4n +2n+4n+2-3n –6n–3

2 =

= n 6 4 12

2

= n -1

12

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

xt xt xt t nt

Gx(t)= ∑ E(e ) = ∑ e = 1/n ∑ e = e (1-e )

x∈Sx n n( -e )

t

1 Pagina 6

2.BINOMIALE (X~Binom(n,σ)) s

—> omma di variabili bernoulliane, dove: • n= estrazioni con R

σ

• = probbilità di successo

FUNZIONE DI PROBABILITA’

n

{

( ) x n–x

σ σ

(1– ) se x∈Sx—>{0…n}

x

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

VALORE ATTESO (g: R—>R):

E(x)= nσ

VARIANZA DIMOSTRAZIONE:

Var(x)= nσ (1-σ) - Var(x) = Var(∑ Xi)= ∑Var(Xi)=

=∑σ(1–σ)= nσ(1-σ)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

DIMOSTRAZIONE:

t n

Gx(t)= ∑ (σe +1–σ) n

x∈Sx ( )

- E(ext)=∑ etx n-x=

Gx(t)= (1–σ)

x

n

( ) t x t n

n-x

(σe ) (1–σ) σe +1–σ)

=∑ x = (

3.BERNOULLI (X~Bern(σ)) —> probabilita’ di successo in una sola estrazione

FUNZIONE DI PROBABILITA’

1-x

{ x

σ σ

(1– ) se x∈Sx—>{0,1}

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

MOMENTO r-ESIMO (g: R—>R):

r

E(x )= σ

VARIANZA DIMOSTRAZIONE:

Var(x)= σ (1-σ) - 2 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x) = σ– σ = (1–σ)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

t

Gx(t)= ∑ σe +1–σ DIMOSTRAZIONE:

x∈Sx E(etx)=∑ etx

- x 1-x=

Gx(t)= σ (1–σ)

t

–σ+e σ

= 1 Pagina 7

4. POISSON (X~Pois( ))

⋌

FUNZIONE DI PROBABILITA’

{ x

e-⋌ se x∈Sx—>N

⋌

x!

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

n -x

NB: a) limx ( -x/n) e

=

1

∞

->

n

x x

e

b)∑ =

n!

VALORE ATTESO (g: R—>R):

DIMOSTRAZIONE:

E(x)= ⋌ - -⋌ x -⋌

E(x) =∑xƒx(x)= ∑ x e e (1-x)

= ∑ = ⋌

⋌ ⋌

(

x! 1-x)!

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

Var(x) = ⋌ - 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

t-1 )

e-

Gx(t)= ⋌(e DIMOSTRAZIONE:

E(etx)=∑

- tx -⋌ x

Gx(t)= e e =

⋌

x!

t-1

x )

e-

-⋌ t

e ∑(⋌e ) ⋌(e

= =

x!

Teorema : (Legge degli eventi rari)

CONVERGENZA IN DISTRIBUZIONE DI BINOMIALE A POISSON

X~Binom(n,σ) dove σ = ⋌

n

Consideriamo una successione S1, S2,...,Sn,... di numeri aleatori con distribuzione binomiale con lo stesso

valore atteso , cioè Sn ~ Bin(n, pn) con n*pn = . In questo modo ad ogni prova la probabilità di

⋌ ⋌

successo pn al crescere di n diventa sempre più piccola e i successi diventano eventi rari. Si ha:

e-

x

lim P (Sn = x)= N

x

⋌

⋌

∞ ∀ ∈ 0

n

-> x!

NB: B(n, ∞ P( ) ,

> n->

⋌)- ⋌

n

cioè sotto certe condizioni (n ’grande’ e p ’piccolo’ ) la distribuzione Binomiale si può approssimare con la

distribuzione di Poisson. Pagina 8

5. GEOMETRICA (X~Geom(σ))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

x

{

σ (1–σ) se x∈Sx—>N

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

NB: se la serie geometrica è convergente, allora sarà = 1

Teorema: ASSENZA DI MEMORIA

DIMOSTRAZIONE:

P(X≥m+n | X≥ n) = P(X≥m) - P(X≥m+n | X≥n)= P(X≥ m+n X≥n) P(X≥ m+n)

∩ = =

P(X≥n) P(X≥n)

m+n m

σ) σ) P(X≥m)

= (1– (1–

= =

n

(1–σ)

VALORE ATTESO (g: R—>R):

E(X)= 1– σ σ)

DIMOSTRAZIONE: —> (1– e y= (x+1)

=