Probabilità - Appunti schematici

PROBABILITA’

CONCEZIONE DELLA PROBABILITÀ

1) CLASSICA —> P(E) = # CASI FAVOREVOLI

_______________

# CASI POSSIBILI

2) FREQUENTISTA —> P(E) = # SUCCESSI

_________

#PROVE

3) SOGGETTIVISTA —> P (E) = PUNATATA

s ________

POSTA

TEORIA DEGLI INSIEMI

Ω = insieme di riferimento A,B Ω

⊆

1) UNIONE —> (A B) = { ω : ω∈A V ω∈B}

∪ ∈

2) INTERSEZIONE —> ( A B) = { ω : ω∈A ω∈B }

∩ ∈ ∧

3) DIFFERENZA —> (A - B) = { ω : ω∈A ω∉B}

∈ ∧

4) COMLEMENTO —> (A) = {ω : ω∉A} e (B) = {ω : ω∉B}

∈ ∈

LEGGI DI DE MORGAN INSIEMI DISGIUNTI o INCOMPATIBILI

- (A B) = (A B) - (A B) =

∪ ∩ ∩

- (A B) = (A B)

∩ ∪

SPAZIO PROBABILISTICO (Ω, β, P)

- Ω—> spazio campionario, contiene tutti gli eventi possibili

- β—> σ-Algebra, contiene tutti gli eventi di interesse,

ha 3 Proprietà: 1) Ω β

∈

2) A∈β

∀A∈β

3) β UAn∈β

∀UAn ⊆

- P—> misura di probabilità, è una funzione P : β—> R

ha 3 Proprietà (Kolmogorov) : 1) P(Ω) = 1

2) P(A) ≥

∀A∈β

3) β P(UAn) = ∑ P (An)

∀UAn ⊆ Pagina 1

FORMULE ELEMENTARI DEL CALCOLO DELLE PROBABILITA’

- A= (A B) (A B), allora (A B) (A B) =

∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩

P(A) = P(A B) + P(A B)

∩ ∩

- P(A-B) = P(A∩ B) = P(A) - P(A B)

∩

- se A=Ω

P(B)= P(Ω-B)= P(Ω) - P(Ω∩B) = 1 - P(B)

- 1 = P(Ω)= P()= 1- P()=

- proprietà di monotonia —> B P(B) ≤ P(A)

⊆A

- (A B)= (A-B) (B) e (A-B) (B)=

∪ ∪ ∩

- P(A B) = P(A-B) + P(B)= P(A) - P(A-B) + P(B)= ~> P(A u B)= P(A) + P(B) - P(A B)

∪ ∩

= P(A B) +P(A B)= P(A) + P(B)

∪ ∩

- Disuguaglianza di boole—> P(A B) ≤ P(A)+P(B)

∪

- Disuguaglianza di Bonferroni—> P(A ≥ P(A)+P(B) -

∪B)

SPAZIO PROBABILISTICO CLASSICO

β=P(Ω), P: β->R, U{wi}=Ω —> : {ωi} —> p con p costante

PRINCIPIO EQUIPROPABILITA’ ∀ip

1 = P(Ω) = P(U wi) = ∑P(wi) =∑p = np (p = 1/n)

P(A)= P(Uw)= ∑P(w) = ∑1/n = #A #A

=

n #Ω

CALCOLO COMBINATORIO

1. PERMUTAZIONE (n oggetti, sequenza ordinata)

-con ripetizione: Pn= n (n-1) (n-2)…= n!

-senza ripetizione: Pn= n!

r1! r2!

2. DISPOSIZIONE ( n oggetti, dei quali verranno presi k (k ≤ n) , sequenza ordinata di k oggetti scelti)

-con ripetizione: Dn,k= n (n-1) (n-2)…= n!

(n-k)!

-senza ripetizione: Dn,k = n!

3. COMBINAZIONE(

n oggetti, dei quali verranno presi k (k ≤ n) , sequenza non ordinata di k oggetti scelti)

( )

n

-con ripetizione: Cn,k = n! k

=

k(n-k)!

( )

n+k+1

-senza ripetizione: Cn,k= k Pagina 2

INDIPENDENZA E INCOMPATIBILITA

1. INDIPENDENZA ( il verificarsi di un evento non modifica la probabilità di verificarsi del secondo evento)

- A⊥B <—> P(A B) = P(A) P(B)

∩

- A⊥B —> A⊥B

P(A B)= P(A) - P(A B) = P(A) - P(A) P(B)= P(A) P(B)

∩ ∩

Indipendenza di 3 eventi:

- (A,B,C)

P(A B)= P(A) P(B)

∩

P(A C)= P(A) P(C)

∩

P(B C)= P(B) P(C)

∩

P(A B C)= P(A) P(B) P(C)

∩ ∩

2. INCOMPATIBILITA’ (il verificarsi di un evento esclude il verificarsi dell’altro)

- P(A B) =

∩

- P(A u B) = P(A) +P(B) - P(A B) = P(A)+ P(B) ~> se 0 ≤ P(A u B) ≥ NO INCOMPATIBILITA’

1 —>

∩

NB: L’indipendenza esclude l’incompatibilità, e viceversa, solo se: P(A) > e P(B) >

PROBABILITA’ CONDIZIONATA

B P(B) >

∀A, ∈ß

P(A/B) = P(A B) —> se A⊥B allora—> P(A/B) = P(A) P(B) = P(A)

∩

P(B) P(B)

LEGGE PROBABILITA’ COMPOSTA

P(A B) = P(A/B) P(B) —> rispetta i 3 assiomi di kolmogorov

∩ 1) P(Ω/B) = P(Ω = 1

∩B)

P(B)

2) P(A)= P(A B) ≥

∩

P(B)

3) P(U An) = ∑P (An B) =∑ P(An)

∩

P(B)

LEGGE DELLE ALTERNATIVE

- E∈ß {Cn}⊆ß E⊆UCn DIMOSTRAZIONE:

- E⊆UCn E= E (UCn) = U (E Cn)

P(E) =∑ P(E/Cn) P(Cn) ∩ ∩

- P(E) = P( U (E Cn))= ∑ P(E Cn) = ∑(P (E/Cn) P(Cn)

∩ ∩

TEOREMA DI BAYES DIMOSTRAZIONE:

- E∈ß {Cn}⊆ß E⊆UCn - P(Cm/E)= P(Cm E) = P(E/Cm) P(Cm)

- P(E) > ∩

P(E) P(E/Cn) P(Cn)

P(Cm/E)= P(E/Cm) P(Cm)

P(E/Cn) P(Cn) Pagina 3

CONCETTO DI VARIABILE CASUALE

(Ω, ß, P) —-> (R,ß1, P)

] – ∞; X]

- ß1={A: A è σ-Algebra di Borel R, ] – ∞; X]∈A}

∀x ∈

VARIABILE CASUALE (è una funzione ‘ponte’ tra il ‘vecchio ed il nuovo’ spazio probabilistico)

–1

X: Ω—> R B1 : X (B1)

∀ ∈ß1 ∈ß

contro immagine di X

Controimmagine: Insieme di tutti gli elementi w∈Ω T.C. X(w) assuma valori in ß1

–1

X (B1)= { w∈Ω : X(w) Ω

∈B1} ⊆

FUNZIONE DI PROBABILITA’ : –1

Px : ß1 —>R B1 Px (B1) =X (B1)

∀ ∈ß1 ∈ß

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE: Fx: R—> [0;1]

–1

Fx(x)= P(X≤ x) = Px (] – ∞, X]) = Px (X (] – ∞, X]))

- 4 Proprietà: 1) lim Fx(x)=

x –∞

2) lim Fx(x)=

x ∞

+

3) è continua a destra se lim Fx(x)= Fx(x )

x x Fx(a)≤Fx(b)

4) è una funzione crescente con a≤b:

QUANTILE DI ORDINE α

x—> variabile casuale P(x< x P(x x

x è un quantile con α (0,1)—> ) ≤ α ≤ )

α ≤ α

α ∈ Pagina 4

VARIABILI CASUALI DISCRETE

-P(x=x) > —> x Sx

∈

-P(x Sx) = 1

∈

FUNZIONE DI PROBABILITA’ :

Fx(x)= P(x=x)

- 2 caratteristiche: a) Fx(x)= P(x=x) ≥

b) Fx(x)= P(x=x) =P(x Sx) = 1

∈

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE:

Fx(x)= P(X≤ x)= ∑ P(X=k) =∑ Fx(k)

VALORE ATTESO (g: R—>R)

E(g(x))= ∑ g(x) f(x)

x∈Sx

- Se si avesse una serie, questa dovrà essere convergente:

∑ | g(x) f(x) |= ∑ g(x) f(x) < ∞

x∈Sx

- Proprietà linearità: DIMOSTRAZIONE:

E(ax+b) = a E(x) +b - E(ax+b)= ∑ (ax+b) f(x) = a ∑

xf(x)+b ∑ fx(x)

x∈Sx

= a ∑

xf(x) +b= a E(x) +b

VARIANZA

µx=E(x) DIMOSTRAZIONE:

E[(x–µx)2] (x–µx)2

Var(x)= = ∑ fx(x) (x–µx)2 (x2–2xµx+µx2)

-Var(x)= ∑ fx(x) =∑ fx(x)=

x∈Sx

(x2 E(x)2

Var(x)= E ) – =∑x2 xfx(x)+µ2x

fx(x) –2µx∑ ∑ fx(x)=

=E(x2) 2E(x)2 +E(x)2 E(x2) E(x)2

- = -

2

- Proprietà linearità : a Var(x)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI

tx

Gx(t)= ∑ e fx(x)

x∈Sx Pagina 5

PARTICOLARI VARIABILI CASUALI DISCRETE

1. Uniforme discreta

2. Binomiale

3. Bernoulli

4. Poisson

5. Geometrica

6. Ipergeometrica

1. UNIFORME DISCRETA (X~UD(n))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

{

1/n se x∈Sx—> (1…n)

- fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

- 2 Importanti nozioni: a) ∑ x= n (n+1)

2

2

b) ∑ x = n (n+1) (2n+1)

6

VALORE ATTESO (g: R—>R):

DIMOSTRAZIONE:

E(x)= n+1

2 - E(x)= ∑ x fx(x)= ∑x 1/n= 1/n∑x =

=1/n∑ n(n+1) = 1 n(n+1) = (n+1)

n

2 2 2

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

– 1

2

Var(x) = n -

12 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x) 2 2

2

x fx(x) – (n+1) 1/n∑ n(n+1)( n+1) – (n+1)

2

= = =

2 6 4

2 2 2

1 n(n+1)( n+1) – (n+1) 4n +2n+4n+2-3n –6n–3

2 =

= n 6 4 12

2

= n -1

12

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

xt xt xt t nt

Gx(t)= ∑ E(e ) = ∑ e = 1/n ∑ e = e (1-e )

x∈Sx n n( -e )

t

1 Pagina 6

2.BINOMIALE (X~Binom(n,σ)) s

—> omma di variabili bernoulliane, dove: • n= estrazioni con R

σ

• = probbilità di successo

FUNZIONE DI PROBABILITA’

n

{

( ) x n–x

σ σ

(1– ) se x∈Sx—>{0…n}

x

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

VALORE ATTESO (g: R—>R):

E(x)= nσ

VARIANZA DIMOSTRAZIONE:

Var(x)= nσ (1-σ) - Var(x) = Var(∑ Xi)= ∑Var(Xi)=

=∑σ(1–σ)= nσ(1-σ)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

DIMOSTRAZIONE:

t n

Gx(t)= ∑ (σe +1–σ) n

x∈Sx ( )

- E(ext)=∑ etx n-x=

Gx(t)= (1–σ)

x

n

( ) t x t n

n-x

(σe ) (1–σ) σe +1–σ)

=∑ x = (

3.BERNOULLI (X~Bern(σ)) —> probabilita’ di successo in una sola estrazione

FUNZIONE DI PROBABILITA’

1-x

{ x

σ σ

(1– ) s