Calcolo delle probabilità (Appunti schematici)

Probabilità: concezione della probabilità

1. Classica —> P(E) = # casi favorevoli_______________# casi possibili

2. Frequentista —> P(E) = # successi_________# prove

3. Soggettivista —> P (E) = punatatas ________posta

Teoria degli insiemi

Ω = insieme di riferimento A,B Ω⊆

1. Unione —> (A B) = { ω : ω∈A V ω∈B}∪ ∈

2. Intersezione —> ( A B) = { ω : ω∈A ω∈B }∩ ∈ ∧

3. Differenza —> (A - B) = { ω : ω∈A ω∉B}∈ ∧

4. Comlemento —> (A) = {ω : ω∉A} e (B) = {ω : ω∉B} ∈ ∈

Leggi di De Morgan

Insiemi disgiunti o incompatibili

• (A B) = (A B) - (A B) = ∪ ∩ ∩

• (A B) = (A B)∩ ∪

Spazio probabilistico (Ω, β, P)

• Ω—> spazio campionario, contiene tutti gli eventi possibili

• β—> σ-Algebra, contiene tutti gli eventi di interesse, ha 3 proprietà:

1. Ω β∈

2. A∈β∀A∈β

3. β UAn∈β∀UAn ⊆

• P—> misura di probabilità, è una funzione P : β—> R ha 3 proprietà (Kolmogorov):

1. P(Ω) = 1

2. P(A) ≥ ∀A∈β

3. β P(UAn) = ∑ P (An)∀UAn ⊆

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Formule elementari del calcolo delle probabilità

• A= (A B) (A B), allora (A B) (A B) = ∩ ∪ ∩ ∩ ∩ ∩ P(A) = P(A B) + P(A B)∩ ∩

• P(A-B) = P(A∩ B) = P(A) - P(A B)∩

• Se A=Ω P(B)= P(Ω-B)= P(Ω) - P(Ω∩B) = 1 - P(B)

• 1 = P(Ω)= P()= 1- P()=

• Proprietà di monotonia —> B P(B) ≤ P(A)⊆A

• (A B)= (A-B) (B) e (A-B) (B)= ∪ ∪ ∩

• P(A B)= P(A-B) + P(B)= P(A) - P(A-B) + P(B)=∪= P(A B) +P(A B)= P(A) + P(B)∪ ∩

• Disuguaglianza di Boole —> P(A B) ≤ P(A)+P(B)∪

• Disuguaglianza di Bonferroni —> P(A ≥ P(A)+P(B) -∪B)

Spazio probabilistico classico

β=P(Ω), P: β->R, U{wi}=Ω —> : {ωi} —> p con p costante

Principio equiprobabilità

∀i p1 = P(Ω) = P(U wi) = ∑P(wi) =∑p = np (p = 1/n)

P(A)= P(Uw)= ∑P(w) = ∑1/n = #A #A=n #Ω

Calcolo combinatorio

1. Permutazione

(n oggetti, sequenza ordinata)

• Con ripetizione: Pn= n (n-1) (n-2)…= n!

• Senza ripetizione: Pn= n!r1! r2!

2. Disposizione

(n oggetti, dei quali verranno presi k (k ≤ n), sequenza ordinata di k oggetti scelti)

• Con ripetizione: Dn,k= n (n-1) (n-2)…= n!(n-k)!

• Senza ripetizione: Dn,k = n!

3. Combinazione

(n oggetti, dei quali verranno presi k (k ≤ n), sequenza non ordinata di k oggetti scelti)( )n

• Con ripetizione: Cn,k = n! k=k(n-k)!( )n+k+1

• Senza ripetizione: Cn,k= k

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Indipendenza e incompatibilità

1. Indipendenza

(il verificarsi di un evento non modifica la probabilità di verificarsi del secondo evento)

• A⊥B <—> P(A B) = P(A) P(B)∩

• A⊥B —> A⊥B P(A B)= P(A) - P(A B) = P(A) - P(A) P(B)= P(A) P(B)∩ ∩

Indipendenza di 3 eventi

(A,B,C)

P(A B)= P(A) P(B)∩

P(A C)= P(A) P(C)∩

P(B C)= P(B) P(C)∩

P(A B C)= P(A) P(B) P(C)∩ ∩

2. Incompatibilità

(il verificarsi di un evento esclude il verificarsi dell’altro)

P(A B) = ∩

NB: L’indipendenza esclude l’incompatibilità, e viceversa, solo se: P(A) > e P(B) >

Probabilità condizionata

B P(B) > ∀A, ∈ß

P(A/B) = P(A B) —> se A⊥B allora —> P(A/B) = P(A) P(B) = P(A)∩P(B) P(B)

Legge probabilità composta

P(A B) = P(A/B) P(B) —> rispetta i 3 assiomi di Kolmogorov∩

1. P(Ω/B) = P(Ω =1∩B)P(B)

2. P(A)= P(A B) ≥ ∩P(B)

3. P(U An) = ∑P (An B) =∑ P(An)∩P(B)

Legge delle alternative

E∈ß {Cn}⊆ß E⊆UCn

Dimostrazione:

• E⊆UCn E= E (UCn) = U (E/Cn)

• P(E) =∑ P(E/Cn) P(Cn) ∩

• P(E) = P( U (E Cn))= ∑ P(E Cn) = ∑(P (E/Cn) P(Cn)∩ ∩

Teorema di Bayes

Dimostrazione:

• E∈ß {Cn}⊆ß E⊆UCn

• P(Cm/E)= P(Cm E) = P(E/Cm) P(Cm)- P(E) > ∩P(E) P(E/Cn) P(Cn)

• P(Cm/E)= P(E/Cm) P(Cm)P(E/Cn) P(Cn)

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Concetto di variabile casuale

(Ω, ß, P) —-> (R,ß1, P)] – ∞; X]

ß1={A: A è σ-Algebra di Borel R, ] – ∞; X]∈A}∀x ∈

Variabile casuale

(è una funzione ‘ponte’ tra il ‘vecchio ed il nuovo’ spazio probabilistico)

–1X: Ω—> R B1 : X (B1)∀ ∈ß1 ∈ß contro immagine di X

Controimmagine: Insieme di tutti gli elementi w∈Ω T.C. X(w) assuma valori in ß1

–1X (B1)= { w∈Ω : X(w) Ω∈B1} ⊆

Funzione di probabilità

–1Px : ß1 —>R B1 Px (B1) =X (B1)∀ ∈ß1 ∈ß

Funzione di ripartizione

Fx: R—> [0;1]

–1Fx(x)= P(X≤ x) = Px (] – ∞, X]) = Px (X (] – ∞, X]))

4 Proprietà:

1. lim Fx(x)= x –∞

2. lim Fx(x)= x ∞+

3. È continua a destra se lim Fx(x)= Fx(x )x x Fx(a)≤Fx(b)

4. È una funzione crescente con a≤b:

Quantile di ordine α

x—> variabile casuale P(x< x P(x xx è un quantile con α (0,1)—> ) ≤ α ≤ )α ≤ αα ∈

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Variabili casuali discrete

• P(x=x) > —> x Sx ∈

• P(x Sx) = 1∈

Funzione di probabilità

Fx(x)= P(x=x)

2 caratteristiche:

• Fx(x)= P(x=x) ≥

• Fx(x)= P(x=x) =P(x Sx) = 1∈

Funzione di ripartizione

Fx(x)= P(X≤ x)= ∑ P(X=k) =∑ Fx(k)

Valore atteso

(g: R—>R)

E(g(x))= ∑ g(x) f(x)x∈Sx

• Se si avesse una serie, questa dovrà essere convergente: ∑ | g(x) f(x) |= ∑ g(x) f(x) < ∞x∈Sx

• Proprietà linearità: Dimostrazione:

E(ax+b) = a E(x) +b

E(ax+b)= ∑ (ax+b) f(x) = a ∑xf(x)+b ∑ fx(x)x∈Sx

= a ∑xf(x) +b= a E(x) +b

Varianza

µx=E(x) Dimostrazione:

E[(x–µx)²] (x–µx)²Var(x)= = ∑ fx(x) (x–µx)² (x²–2xµx+µx²)

Var(x)= ∑ fx(x) =∑ fx(x)=x∈Sx(x² E(x)²Var(x)= E ) – =∑x² xfx(x)+µ²xfx(x) –2µx∑ ∑ fx(x)==E(x²) 2E(x)² +E(x)² E(x²) E(x)²- = -2

Proprietà linearità : a Var(x)

Funzione generatrice dei momenti

txGx(t)= ∑ e fx(x)x∈Sx

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Particolari variabili casuali discrete

1. Uniforme discreta

2. Binomiale

3. Bernoulli

4. Poisson

5. Geometrica

6. Ipergeometrica

1. Uniforme discreta (X~UD(n))

Funzione di probabilità

{1/n se x∈Sx—> (1…n)

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

2 Importanti nozioni:

• ∑ x= n (n+1)22

• ∑ x = n (n+1) (2n+1)6

Valore atteso

(g: R—>R): Dimostrazione:

E(x)= n+12

E(x)= ∑ x fx(x)= ∑x 1/n= 1/n∑x ==1/n∑ n(n+1) = 1 n(n+1) = (n+1)n2 2 2

Varianza

Dimostrazione:

– 12Var(x) = n -12 2 2

Var(x)=E(x²) - E(x) 2 22x fx(x) – (n+1) 1/n∑ n(n+1)( n+1) – (n+1)²= = =2 6 42 2 21 n(n+1)( n+1) – (n+1) 4n +2n+4n+2-3n –6n–32 == n 6 4 122= n -112

Funzione generatrice dei momenti

xt xt xt t ntGx(t)= ∑ E(e ) = ∑ e = 1/n ∑ e = e (1-e )x∈Sx n n( -e )t1

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2. Binomiale (X~Binom(n,σ))

Funzione di probabilità

n{( ) x n–xσ σ(1– ) se x∈Sx—>{0…n}xfx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

Valore atteso

(g: R—>R):

E(x)= nσ

Varianza

Dimostrazione:

Var(x)= nσ (1-σ)

Var(x) = Var(∑ Xi)= ∑Var(Xi)==∑σ(1–σ)= nσ(1-σ)

Funzione generatrice dei momenti

t n Dimostrazione:

Gx(t)= ∑ (σe +1–σ) nx∈Sx ( )

E(ext)=∑ etx n-x=Gx(t)= (1–σ)n( )(σet)x(1–σ) σet+1–σ)nn-x==∑ (

3. Bernoulli (X~Bern(σ))

Funzione di probabilità

1-x{ xσ σ(1– ) se x∈Sx—>{0,1}fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

Momento r-esimo

(g: R—>R):

rE(x )= σ

Varianza

Dimostrazione:

Var(x)= σ (1-σ) - 2