Calcolo delle probabilità (Appunti schematici)

FUNZIONE DI PROBABILITA’

{

1/n se x∈Sx—> (1…n)

- fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

- 2 Importanti nozioni: a) ∑ x= n (n+1)

2

2

b) ∑ x = n (n+1) (2n+1)

6

VALORE ATTESO (g: R—>R):

DIMOSTRAZIONE:

E(x)= n+1

2 - E(x)= ∑ x fx(x)= ∑x 1/n= 1/n∑x =

=1/n∑ n(n+1) = 1 n(n+1) = (n+1)

n

2 2 2

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

– 1

2

Var(x) = n -

12 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x) 2 2

2

x fx(x) – (n+1) 1/n∑ n(n+1)( n+1) – (n+1)

2

= = =

2 6 4

2 2 2

1 n(n+1)( n+1) – (n+1) 4n +2n+4n+2-3n –6n–3

2 =

= n 6 4 12

2

= n -1

12

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

xt xt xt t nt

Gx(t)= ∑ E(e ) = ∑ e = 1/n ∑ e = e (1-e )

x∈Sx n n( -e )

t

1 Pagina 6

2.BINOMIALE (X~Binom(n,σ))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

n

{

( ) x n–x

σ σ

(1– ) se x∈Sx—>{0…n}

x

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

VALORE ATTESO (g: R—>R):

E(x)= nσ

VARIANZA DIMOSTRAZIONE:

Var(x)= nσ (1-σ) - Var(x) = Var(∑ Xi)= ∑Var(Xi)=

=∑σ(1–σ)= nσ(1-σ)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

t n DIMOSTRAZIONE:

Gx(t)= ∑ (σe +1–σ) n

x∈Sx ( )

- E(ext)=∑ etx n-x=

Gx(t)= (1–σ)

n

( )

(σet)x(1–σ) σet+1–σ)n

n-x=

=∑ (

3.BERNOULLI (X~Bern(σ))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

1-x

{ x

σ σ

(1– ) se x∈Sx—>{0,1}

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

MOMENTO r-ESIMO (g: R—>R):

r

E(x )= σ

VARIANZA DIMOSTRAZIONE:

Var(x)= σ (1-σ) - 2 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x) = σ– σ = (1–σ)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

t

Gx(t)= ∑ σe +1–σ DIMOSTRAZIONE:

x∈Sx E(etx)=∑ etx

- x 1-x=

Gx(t)= σ (1–σ)

t

–σ+e σ

= 1 Pagina 7

4. POISSON (X~Pois( ))

⋌

FUNZIONE DI PROBABILITA’

{ x

e-⋌ se x∈Sx—>N

⋌

x!

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

n -x

NB: a) limx ( -x/n) e

=

1

∞

->

n

x x

e

b)∑ =

n!

VALORE ATTESO (g: R—>R):

DIMOSTRAZIONE:

E(x)= ⋌ - -⋌ x -⋌

E(x) =∑xƒx(x)= ∑ x e e (1-x)

= ∑ = ⋌

⋌ ⋌

(

x! 1-x)!

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

Var(x) = ⋌ - 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

t-1 )

e-

Gx(t)= ⋌(e DIMOSTRAZIONE:

E(etx)=∑

- tx -⋌ x

Gx(t)= e e =

⋌

x!

t-1

x )

e-

-⋌ t

e ∑(⋌e ) ⋌(e

= =

x!

Teorema : (Legge degli eventi rari)

CONVERGENZA IN DISTRIBUZIONE DI BINOMIALE A POISSON

X~Binom(n,σ) dove σ = ⋌

n

Consideriamo una successione S1, S2,...,Sn,... di numeri aleatori con distribuzione binomiale con lo stesso

valore atteso , cioè Sn ~ Bin(n, pn) con n*pn = . In questo modo ad ogni prova la probabilità di

⋌ ⋌

successo pn al crescere di n diventa sempre più piccola e i successi diventano eventi rari. Si ha:

e-

x

lim P (Sn = x)= N

x

⋌

⋌

∞ ∀ ∈ 0

n

-> x!

NB: B(n, ∞ P( ) ,

> n->

⋌)- ⋌

n

cioè sotto certe condizioni (n ’grande’ e p ’piccolo’ ) la distribuzione Binomiale si può approssimare con la

distribuzione di Poisson. Pagina 8

5. GEOMETRICA (X~Geom(σ))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

x

{

σ (1–σ) se x∈Sx—>N

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

NB: se la serie geometrica è convergente, allora sarà = 1

Teorema: ASSENZA DI MEMORIA

DIMOSTRAZIONE:

P(X≥m+n | X≥ n) = P(X≥m) - P(X≥m+n | X≥n)= P(X≥ m+n X≥n) P(X≥ m+n)

∩ = =

P(X≥n) P(X≥n)

m+n m

σ) σ) P(X≥m)

= (1– (1–

= =

n

(1–σ)

VALORE ATTESO (g: R—>R):

E(X)= 1– σ σ)

DIMOSTRAZIONE: —> (1– e y= (x+1)

=

σ - ∑ x

x x x

E(x) =∑xƒx(x)= ∑x σ∑x 1-

σ (1-σ) (1-σ)

= = =

x x x x+1 x y

=∑ x – ∑x =∑ x – ∑x =∑ x – ∑(y-1) = 1-

σ

σ

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

Var(x) = 1– σ

σ -

2 2 2

Var(x)=E(x ) - E(x)

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

σ

Gx(t)= t

1-(1-σ)e

6. IPERGEOMETRICA (X~Ipergeom(n, N, k))

FUNZIONE DI PROBABILITA’

{

( )( )

k N–k se x∈Sx : max {o,n – N+k} ≤ x ≤ min {n,k}

x n–x

( )

N

n

fx(x)= P(X=x)= 0 altrimenti

VALORE ATTESO:

E(x)= nσ DIMOSTRAZIONE:

- E(x) =E (∑xi)= ∑E(xi) = ∑σ= nσ

VARIANZA:

nσ (1-σ) N–n

Var(x) = N–1 Pagina 9

VARIABILI CASUALI CONTINUE

fx(x) ≥ funzione di densità

—>

∃ x ∞

∫

∫

Fx(x) = fx(t) dt —> fx(t) dt= 1

-

-∞ ∞

La funzione di densità è legata alla funzione di ripartizione:

1

F (x)= fx(x)

VALORE ATTESO (g: R—>R)

∞

∫

E(g(x))= g(x) f(x) dx —-> L’integrale è convergente (<∞) in valore assoluto

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI

Si deriva la funzione, e si valuta in zero; l’ordine del momento è pari all’ordine di derivazione:

∞ tx

Gx(t)= ∫e fx(x) dx

PARTICOLARI VARIABILI CASUALI CONTINUE

1. Uniforme continua (Rettangolare)

2. Gamma

: a) Esponenziale negativa

b) Chi-quadrato

3.Normale

: a) Normale standard

b) Normale generale Pagina 10

1. UNIFORME CONTINUA (X~UC(a,b))

FUNZIONE DI RIPARTIZIONE(probabilità)

∫

k 1 k-a

- F(k)= P(X≤x)= P(a ≤X≤ k)= dx=

b-a b-a

a

FUNZIONE DI DENSITA’

∫

k 1 se x∈Sx=(a,b)

b–a

- 1

fx(x) = F x(x)= a 0 altrimenti

α

QUANTILE DI ORDINE

Fx(x )= x a x =(b-a)

α —> α+a

+ =

α

α α

b–a

-mediana di ordine x 0,5

Fx( )= (b-a) = a b

α+a —>x +

0,5 (0,5) 2

VALORE ATTESO:

DIMOSTRAZIONE:

E(x)= a+b -

2 E(x) =E((b-a)X+a) = (b–a)E(x)+a = b-a +a = a+b

2 2

VARIANZA: DIMOSTRAZIONE:

2

)

Var(x) = (b–a

12 - 2 2

Var(x)=((b-a)x +a) = (b–a) Var(x) = (b–a)

12

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

e

tx ta

–d

T≠ 0 —> Gx(t)= DIMOSTRAZIONE:

t(b-a) b

∫ b

e 1 e e

[ ]

tx ta tx tx ta

–d –d

- dx =

Gx(t)= E(e )=

tx =

b-a b-a b-a t b–a

( ) Pagina 11

2.GAMMA (X~Gamma(α,σ))

FUNZIONE DI DENSITA’

{ σ x e

(α–1) ( σx) se x∈Sx —> ]0;+∞[

–

α

( )

fx(x) = altrimenti

０

FUNZIONE GAMMA

∫ (α-1) -t

t e α —> L’integrazione darà un valore finito, poichè l’integrale è convergente

>

α

０

dt

( )= ∀

- 4 proprietà: 1) (1)= 1

2) α! ~ n!

α+1 (n+1)

= =

( ) √

3) )=

(1/2

Teorema : CAMBIAMENTO DI SCALA

X~Gamma(α,σ) σ

c —> y=cy ~> ~Gamma(α, /c) y ∞

> Y —> ] [

0

０ ;+

∈Sx

NB: 1

( )

∫ 1 1 1

=ƒ x e (F(ƒ )) F (ƒ x x

ƒ(t) dt = ) ƒ

( ) (x) ( ) ( )

VALORE ATTESO:

E(x) α DIMOSTRAZIONE:

= σ ∫x

- E(x) = ƒ (x) dx

x

VARIANZA:

Var(x) = α DIMOSTRAZIONE:

σ

2 - 2

Var(x) = E(x ) – E(x)

2

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

０

T< α

σ

Gx(t)= ( )

σ-t Pagina 12

A. ESPONENZIALE NEGATIVA (X~Expneg(σ))

α 1

=

NB:

-

FUNZIONE DI DENSITA’ ∞

{ (–σx)

σ e se x∈Sx —> ]0 [

;+

fx(x) = altrimenti

０

VALORE ATTESO:

E(x) 1

= DIMOSTRAZIONE:

σ ∫x

- E(x) = ƒ (x) dx

x

VARIANZA:

Var(x) = 1 DIMOSTRAZIONE:

σ

2 - 2

Var(x) = E(x ) – E(x)

2

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

０

T< σ

Gx(t)= σ-t

Teorema : ASSENZA DI MEMORIA

DIMOSTRAZIONE:

t u | X≥ t) = P(X≥ u)

P(X ≥ + - t u | X≥ t)= t u , X≥ t) P(X ≥ t u)

= =

P(X ≥ P(X ≥

０

t,u + + +

>

∀ P(X≥ t) P(X≥ t)

σx

∞

+ -

∫ P(X≥ u)

σe dx

= =

QUANTILE DI ORDINE α ∫σe σxdx

-

t

x α

[ ]

σx

– –σx –σx

∞ α

+ ∫ 1-e

σe dx e

- =

=

–σx α

1-e = α <—> x = –log (1– α)

α σ Pagina 13

2

B. CHI-QUADRATO( X~X )

g

α g/2 e σ= 1/2

=

NB:

-

FUNZIONE DI DENSITA’

1 x e

(( )–1)

{ (-x/2)

g/

2 se x∈Sx —> ]0;+∞[

2

g/2

2 ( )

fx(x) = altrimenti

０

VALORE ATTESO: DIMOSTRAZIONE:

E(x) = g/2 g

=

1/2 ∫x

- E(x) = ƒ (x) dx

x

VARIANZA:

Var(x) = g/2 2g

= DIMOSTRAZIONE:

1/4 - 2

Var(x) = E(x ) – E(x)

2

FUNZIONE GENERATRICE DEI MOMENTI:

０

T< –g/ –g/

1/2

( )

Gx(t)= 2 2

= (1-2t)

-t

1/2

3.NORMALE 2

E’ caratterizzata dai due suoi parametri, media µ e varianza σ ; Il supporto è l’intero asse reale.

A. NORMALE STANDARD (Z~ N (0,1))

０

µ e σ 2

= = 1

FUNZIONE DI DENSITA’: NB:

-

z

φ

z(z)= e E’ una funzione pari, dunque simmetrica:

– se z∈R

1 2

√ π φ z(z)= φ

z(–z) e φ

z(–z)= 1– φ

z(z)

2

- :

Distribuzione gaussi