Appunti riscritti di Automatica

AUTOMATICA

PROBLEMA DEL CONTROLLO

Si cerca un modello matematico del sistema numerici che costituisce detto SISTEMA DINAMICO.

Si hanno variabili indipendenti (cioè impulsi): variabili dipendenti (cioè uscite) e variabili di riferimento.

u(t) → y^o(t)

P

q(t) → y(t)

u, y e q sono SEGNALI cioè FUNZIONI DEL TEMPO

Si hanno 2 tipi di impulsi:

• VARIABILI DI CONTROLLO u(t) → le posso manipolare e controllare
• VARIABILI INCAUTE (DISTURBI) q(t) → non li posso controllare

y(t) → uscita

y^o(t) → segnale di riferimento

Pb del Controllo → Determina il valore di u(t) affinché y(t) segua un determinato stimolo a y^o(t) indipendentemente da q(t)

Ad esmpio → In un sistema di climatizzazione T_ext: un fenomeno T_int non le posso controllare → è un disturbo.

• CONTROLLO AD ANELLO APERTO

q_m → disturbi misurabili

q_n → disturbi non misurabili

Il sistema di controllo C riceve tutti gli y, q_n e genere u.

Questo tipo di controllo si base su una conoscenza perfetta del processo infatti non si lavora sufficienti sull'uscita.

Controllo ad anello chiuso (a retroazione)

Un sensore all'uscita riporta l'informazione e il controllore riporta il livello.

→ Il valore di y0 è quello voluto y1.

Vantaggio → non è necessaria una perfetta conoscenza del processo.

Progetto di un sistema di controllo

• Capire cosa è misurabile e quali scegliere sensori e attuatori
• Scelta del modello matematico (sistemi dinamici)
• Semplificazione del modello per renderlo trattabile
• Analisi delle proprietà del modello
• Definizione delle prestazioni desiderate
• Scelta del tipo di controllore
• Progetto di un controllore che soddisfi le specifiche, se non esiste se ne sceglie uno che soddisfi specifiche meno stringenti
• Simulazione del comportamento del sistema controllato

Esempio (Controllo livelli serbatoio)

S→ serve serbatoio chiuso

Misurando il volume dell'acqua (livello h) nel serbatoio, regolo lo scarico. Q entrante Q uscente.

Sotto lp β=cost. le cons. masse → dV/dt = Qi - Qu

→ SdSh/dt = Qi - Qux → Sdh/dt = Qi - Qu

SISTEMA MECCANICO

Costi colletti con un collegato elastico

Θ → costi elastico molto

β → coeff. culto vi elont elindndo delel velocità

z₁, z₂ → posizione costelli.

Si scopre M₁z̈₁ = F(t), z̈₁(t) = z̈₂(t)

Scoprei che rifcomi le veniatori in z₁ = z₂ la wella aia ri ipsi. Si lie:

• m₁z̈₁ + Θ z = F - β z̈₁ - Θ (z₁ - z₂)
• m₂z̈₂ = β z ̈₂ + Θ (z₁ - z₂)

Questo sistema è coscale e almoro → 3 sttati

Scalg lus skteti (scatto un univac)

• [ z₂(t) ] = x₁
• [ z₁(t) ] = x₂
• [ z₂(t) ] = x₃
• [ ż₁(t)] = x₄

→ toate questi ventoari son izoposi del capiche.

Vettaori di stato

• ẋ₁ = x₂
• ẋ₂ = ẍ₁ - [β/m₁ x₃ - Θ/m₁ (x₁ - x₂)]
• ẋ₃ = x₄
• ẋ₄ = -β/m₂ ẋ₃ + Θ/m₂ (x₃ - x₁)

my fifre vetrament X(t) = f (X(t),M(t))

Per rischare l'EDC cael celoten X(t)) dev con rovet

Si mote pk l'invite y(t) = x₃(t)

CLASSIFICAZIONE SISTEMI DINAMICI

MAPPE DI TRANSIZIONE GLOBALE

RAPPRESENTAZIONI

1/IO → ingresso/uscita

2 possibilità

P/S/IO → ingresso/stato/uscita

DETT FORMA ESPLICITA DI GLOBALE

→ quando possiamo esprimere lo stato

e il tempo t come

1. X(t) = φ(t, t₀, X(t₀), M(u), τ)

è corrente in esistemi bilineari causali

Viene detto

1. Y(t) = ψ(t, t₀, X(t₀), X(t), M(u), t)

MAPPA DI TRANSIZIONE GLOBALE dell’USCITA

Se siamo in grado di esprimere il sistema in forma esplicita si è già risolto il problema. Tuttavia nelle realtà molto spesso il sistema è rappresentato come PDO di cui X(t) è solo.

RHM φ → mappa di transizione globale dello stato

permette di passare da t₀ a t tramite.

PROPRIETÀ DI φ

1. φ(t₀,t₀,X(u),M(u,t)) ≡ X(u)

caso φ è una FUNZIONE CONTINUA e DERIVABILE

1. Considero un tempo sempre bi ', pari alle ex. diversi t_j

X(t-u)=avanzamento t-u

Vale che

1. φ(t_j,t₀,X(t₀),u(t)) ≡ φ(t_j,t₀,X(t₀),M(u(t)))

X(t)=la sequenza di

= φ(t_j+τ₀,φ(t_j-τ₀ X(u),M(u(t)),M(u(t))))

Rappresentazione Locale T/S/U

Esiste la rappresentazione esplicita o globale T(U) = D/T/S/U. Vediamo ora la rappresentazione locale o implicita.

L’esame del sistema è rappresentabile o da uno SD o da uno coppia di sistemi a tempo continuo e a tempo discreto in cui i concetti al contorno vengono trattati.

Per un sistema a tempo continuo (TC) e tempo discreto (TD) ho:

• TC x(t) = θ(t, x(t), u(t))
• TD x(t_k+1) =

RUM Delle rappresentazioni globali rapporti possiamo escludere la mappa di transizione locale dello stato dalla cultura nello spazio di fase unicamente sul periodo successivo, non d’altro niente x₀. Lo stato TC può non essere nel trend degli stati.

Per questo scopo le uscite si ha:

y_k(n) = h(t_k, x(t_k), u(t_k))

RUM:

• f =
• h = Mappa di uscita

RUM le leggi della funzione sono connesse con queste funzioni

SISTEMI ALGEBRAICAMENTE EQUIVALENTI

Considero per un sistema lineare il cambio di coordinate

Lineare z = T x con T ∈ R^n×n invertible (T^-1 x = T f valutato in 0 da DX

Esempio f(t) = sin(ωt) . u(t) -> f'(t) = ωcos(ωt)

L[f'(t)] = s — ωO = ½ . ωs² + ω²

Verifichiamo applicando la distribuzione sulla derivata:

L[₀ w cos(ωt)] = s — ω f² + ω²

Verificato

Esempio f₀(u) = cos(ωt) a(t)

L[f(t)] = s — 1s² + ω²

Verificato

L[∫ f(s) = a1 ω sin(ωt) - ω 2u+2

• INTEGRALE NEL DOMINIO DEL TEMPO

L[∫ f(t) = 1 F(s)