Appunti quaderno di Analisi I

Quantificatori:

• ∀ "per ogni"
• ∃ "esiste"
• ∃! "esiste un unico"
• ⇒ "implica"
• ⇔ "equivale"
• : "tale che"
• → "risulta"
• ∈ "appartiene"
• ∉ "non appartiene"
• ⊂ "incluso"

Teoria degli insiemi:

I   insieme   famiglia di elementipunti   elementi degli insiemi

x ∈ I : "x appartiene ad I"

A ⊂ I: "A è incluso in I, A è un sottoinsieme di I"L ⇔ ∀ x ∈ A : x ∈ I

∅ ⊂ I: "il vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme"

A, I insiemi A ⊂ IL'A si dice sottoinsieme proprio di I se A ⊂ I e A ≠ IL quindi se (∀ x ∈ A : x ∈ I) e (∃ x ∈ I: x ∉ A)

Operazioni tra insiemi:

I insiemi    A, B ⊂ I

• Unione A ∪ B = { x ∈ I | x ∈ A oppure x ∈ B }
• Intersezione A ∩ B = { x ∈ I | x ∈ A e x ∈ B }
• Complementare C_I A = { x ∈ I | x ∉ A }
• Differenza B - A = { x ∈ B | x ∉ A }

Quantificatori:

• "∀": "per ogni"
• "∃": "esiste"
• "∃!": "esiste un unico"
• "⇒": "implica"
• "⇔": "equivale"
• ":": "tale che"
• "∴": "risulta"
• "∈": "appartiene"
• "∉": "non appartiene"
• "⊂": "incluso"

Teoria degli insiemi:

I, insieme = famiglia di elementi

Punti = elementi degli insiemi

x ∈ I: "x appartiene ad I"

A ⊂ I: "A è incluso in I, A è un sottoinsieme di I"

A ⊂ I ⇔ ∀ x ∈ A: x ∈ I

Ø ⊂ I: "il vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme"

A, I insiemi A ⊂ I

A si dice sottoinsieme proprio di I se A ⊂ I e A ≠ I

Quindi se (∀ x ∈ A: x ∈ I) e (∃ x ∈ I: x ∉ A)

Operazioni tra insiemi:

I insieme A, B ⊂ I

• Unione A ∪ B = {x ∈ I | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B = {x ∈ I | x ∈ A e x ∈ B}
• Complementare C_I A = {x ∈ I | x ∉ A}
• Differenza B - A = {x ∈ B | x ∉ A}

PROPRIETA'

• INSIEME A, B, C, I
• A ⊂ B ⇔ (C_B ⊂ C_A)
• DIM: Si A ⊂ B
• Testi: C_B ⊂ C_A
• x ∈ C_B ⇒ x ∉ B ⇒ x ∉ A ⇒ x ∈ C_A
• Si C_B ⊂ C_A
• Testi: A ⊂ B
• x ∈ A ⇒ x ∉ C_A ⇒ x ∉ C_B ⇒ x ∈ B
• ∅ ⊂ I
• C_I = ∅
• C_C_A = A
• A ⊂ A = ∅
• A ∪ C_A = I
• INSIEME A, B, C ⊂ I
• (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• L'UNIONE É ASSOCIATIVA
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• L'INTERSEZIONE É ASSOCIATIVA
• (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
• L'UNIONE É DISTRIBUTIVA RISPETTO ALL'INTERS.
• DIM: Test. a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C)
• Sia x ∈ (A ∪ B) ∩ C
• x ∈ A ∪ B
• x ∈ C
• {x ∈ A
• {x ∈ B
• x ∈ C
• x ∈ A ∩ C
• x ∈ B ∩ C
• x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
• C(A ∪ B) = C_A ∩ C_B
• C(A ∩ B) = C_A ∪ C_B
• Testi: C(A ∪ B) ⊂ C_A ∩ C_B
• x ∈ C(A ∪ B)
• ⇒ x ∉ (A ∪ B)
• ⇒ x ∉ A e x ∉ B
• ⇒ x ∈ C_A e x ∈ C_B
• x ∈ C_A ∩ C_B

Numeri reali

• Assiomi delle operazioni (somma e prodotto) a, b, c ∈ ℜ
• 1) Proprietà associativa:
  • (a+b)+c = a+(b+c)
  • (a · b) · c = a · (b · c)
• 2) Proprietà commutativa:
  • a+b = b+a
  • a · b = b · a
• 3) Proprietà distributiva:
  • a(b+c) = ab + ac
• 4) Esistenza elementi neutri:
  • ∃ 0_ℜ : a + 0 = a   ∀ a ∈ ℜ
  • ∃ 1_ℜ : 1 · a = a   ∀ a ∈ ℜ
• 5) Esistenza dell'opposto: ∀ a ∈ ℜ ∃ (-a) tale che a + (-a) = 0
• 6) Esistenza inverso: ∀ a ≠ 0 ∃ a^-1 tale che a · (a^-1) = 1
  • a · a ≠ 0   ba = b · a^-1
• Regola di semplificazione: a + c = b + c ⇒ a = b
  • Dim: Sia a + c = b + c
  • a⁽²⁾ = a⁽³⁾ + 0 = a + ((c) + (-c))
  • = (a + c) + (-c) = (b + c) + (-c)⁽⁵⁾
  • = (b + 0) = b
• Regola di semplificazione del prodotto: a · c = b · c   se   c ≠ 0 ⇒ a = b
  • Dim: Sia a · c = b · c   e   c ≠ 0
  • a⁽⁴⁾ · c^-1HP = a · (c &mi