Appunti quaderno di Analisi I

Quantificatori

• ∀ "per ogni"
• ∃ "esiste"
• ∃! "esiste un unico"
• → "implica"
• ↔ "equivale"
• :/ "tale che"
• ∗ "risulta"
• ∈ "appartiene"
• ∉ "non appartiene"
• ⊆ "incluso"

Teoria degli insiemi

I: insieme = famiglia di elementi

Punti = elementi degli insiemi

x ∈ I: "x appartiene ad I"

A ⊆ I: "A è incluso in I, A è un sottoinsieme di I"

∀x ∈ A: x ∈ I

∅ ⊆ I: "il vuoto è un sottoinsieme di qualunque insieme"

A, I insiemi A &sub I

"A si dice sottoinsieme proprio di I se A ⊆ I e A ≠ I

↔ quindi se (∀x ∈ A: x ∈ I) ∨ (∃x ∈ I: x ∉ A)

Operazioni tra insiemi

I insieme A, B, C, I

• Unione A ∪ B = {x ∈ I | x ∈ A oppure x ∈ B}
• Intersezione A ∩ B = {x ∈ I | x ∈ A e x ∈ B}
• Complementare C_I A = {x ∈ I | x ∉ A}
• Differenza B - A = {x ∈ B | x ∉ A}

Proprietà:

• insieme A, B, C I

ACB ⇔ (CB ⊆ CA)Dim: Sia ACB tesi: CB ⊆ CAx ∈ CB ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ CASia CB ⊆ CATesi: ACBx ∈ A ⇒ x ∈ B ⇒ x ∈ CB ⇒ x ∈ B

• CI = I ⇔ CI = ∅

ACA = AACA = ∅A ∪ CA = I

• insieme A, B, C I

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) L'unione è associativa(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) L'intersezione è associativa(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) L'unione è distributiva rispetto all'intersezione inclusaDim: Tesi A ∪ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) Sia x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⟹ x ∈ Cx ∈ A ∪ B {x ∈ A ∪ B} {x ∈ C} {x ∈ C}x ∈ A x ∉ A

• C (A ∩ B) = CA ∪ CB

A, B, C, E (A ∪ B) {CA ∩ CB}x ∈ C (A ∪ B) ⟹ x ∈ A (A ∪ B) ⟹ x ∉ A e x ∉ B ⟹ x ∈ CA, x ∈ CB

C∈ = Δ∪B

SUPPONIAMO C ∈ A → C∈√2 → √2-C > 0

ED ANCHE 1/√2-C > 0

PRENDO m∈ℕ TALE CHE m > 1 / √2-C →

∨m(√2-C) → √2-C > 1 / m DUNQUE C+1 / m < √2 ED

APPARTIENE AD A DATO CHE C < ⊆b ALLORA Q = C + 1 / m

NON PUÒ ESSERE MINORE(L) DI C

FUNZIONI

Siano A e B due insiemi generici, una funzione : A→B è una

applicazione che ad ogni elemento di A fa corrispondere un solo

elemento di B

in B possono esserci elementi non uniti

DEFINIZIONE:

A, B insiemi AxB = {(x,y) x∈A, y∈B}

INSIEME PRODOTTO DI A⊂B

A = B = ℝ → ℝxℝ = ℝ²

DEFINIZIONE:

A, B insiemi : A→B

g() = {(x,(x)) x∈A} ⊂ A x B

IL GRAFICO DI (x)

Se A, B ⊂ ℝ : A→B g ⊂ AxB ⊂ ℝ²

ESISTE UN SOTTOINSIEME

ESEMPI:

: ℝ→ℝ

x → 2x + 1

SEQUENZA DI PUNTI

: ℤ→ℤ

x → 2x

: ℝ→ℝ

x ∉ ℤ

x ∈ ℤ

Lo dim: f^-1 o f = id_A cioè ∀x∈A (f^-1 o f)(x) = id_A(x) cioè ∀x∈A f^-1(f(x)) = x

x∈A pongo f(x)=y

f^-1(y) = l'unico punto di Z ⊂ A t.c. f(z)=y

Allora x = z perché iniettiva quindi f^-1(y) = x

f^-1 o f: A → A

f^-1 o f: f(A) → f(A)

Funzione inversa:

f: ℝ → ℝ

x → 2x+1

2x+1=y

2x=y-1

x = y/2 - 1/2 → Inversa

y = 1/2 x + 1/2

f: [0,+∞) → [0,+∞)

x → x²

x² = y

x = 1/√y

y = √x

Il grafico dell'inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice del 1º e 3º quadrante rispetto alla funzione di partenza

Verifica iniettività e/o surgettività: f: [0,1] → [0,+∞)

x → x / 1-x

x / 1-x = y ⇔ x=y-yx ⇔ x+yx=y ⇔ x(1+y)=y ⇔ x=y / 1+y

Se x = y / 1+y ∈ [0;1] allora è bigettiva

Se la x esiste allora f(x) è surgettiva, se è unica è iniettiva

a, b ∈ ℝ e a, b > 0 allora a ≤ b ⇔ a² ≤ b²

DIM:

|x₁ + x₂|² = (x₁)² + 2x₁x₂ + (x₂)² = |x₁|² + 2x₁x₂ + |x₂|² ≤ |x₁|² + 2|x₁||x₂| + |x₂|² = (|x₁| + |x₂|)²

|x₁ + x₂|² ≤ (|x₁| + |x₂|)² ⇒ |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|

5) |x₁ + |x₂|| ≤ |x₁ - x₂|

DIM:

|x₁| = |x₁ - x₂ + x₂| ≤ |x₁ - x₂| + |x₂|

|x₁| - |x₂| ≤ |x₁ - x₂|

|x₂| = |x₂ - x₁ + x₁| ≤ |x₂ - x₁| + |x₁|

|x₂| - |x₁| ≤ |x₁ - x₂|

|x₁| - |x₂| ≤ |x₁ - x₂|

ES:

r ∈ ℝ |x| = r

r ≥ 0 MAI

se r = 0 x = 0

r ≤ 0 x = ±r

r ∈ ℝ |x| ≤ r

r ≥ 0 MAI

r = 0 MAI

r > 0 -r < x < r

DEFINIZIONE:

f: ℝ → ℝ

SI DICE PARI ⇔ f(x) = f(-x)

SIMMETRICA RISPETTO ASSE y

SI DICE DISPARI ⇔ f(x) = -f(x)

SIMMETRICA RISPETTO L'ORIGINE

POTENZA:

n ∈ ℕ f: ℝ → ℝ

x → x^m

se n DISPARI

TUTTE BIGETTIVE

tan x = [_-π^/2, π_/2] → [-i, i]

tan^-1 x = arctan x = [-i, i] → [-π_/2, π_/2]

cos x = [0, π] → [-i, i]

cos^-1 x = arccos x = [-i, i] → [0, π]

tg x = (-π_/2, π_/2) → ℝ

tg^-1 x = arctg x = ℝ → (-π_/2, π_/2)

arcsen x < La

• a ≤ π_/2 -1 ≤ x ≤ 1
• a ≤ π_/2 xα ]
• -π_/2 ≤ a < π_/2 -1 ≤ x < a ma

arccos x < La

• a ≤ π -1 ≤ x ≤ 1
• a ≤ 0 xα ]
• 0 ≤ a ≤ π cosa x La = 1 < x

arctg x < La

• ∀x ∈ ℝ
• ma
• u = -π_/2 ≤ a < π_/2 x < tga

Caratterizzazione dell'estremo inferiore

A ⊆ ℝ A ≠ ∅ A limitato inferiormente

l = inf A ⇔ l ≤ a ∀ a ∈ A - l è un minorante

∀ ε ℜ ∃ a ∈ A t.c. a < l + ε

l è il massimo dei minoranti

Definizione:

A ⊆ ℝ A ≠ ∅

sup A = + ∞ ⇔ A non è limitato superiormente

∀ M ∃ a ∈ A t.c. a > M

inf A = - ∞ ⇔ A non è limitato inferiormente

∀ M ∃ a ∈ A t.c. a < - M

Osservazione:

Ogni sottoinsieme di numeri naturali non vuoto ha un minimo

(perché i numeri naturali vanno da 0 a + ∞)

Dim:

A ⊆ ℕ A ≠ ∅ Sia m ∈ A

{1, 2, 3, ... n₀} ∩ A è finito Sia &overline;m = min{1, 2, 3, ...} ∩ A

Dico che &overline;m = min A perché &overline;m ∈ A

m ∈ A ⇒ m ∈ {1, 2, 3, ...} ∩ A ⇔ m ≥ &overline;m

m ∈ A ⇒ m ≥ &overline;m

Osservazione:

Ogni sottoinsieme di numeri naturali limitato superiormente ammette un massimo

Dim:

A ⊆ ℕ A ≠ ∅ A limitato superiormente

∃ L &in ℜ t.c. a ≤ L ∀ a ∈ A

Sia N ∈ ℕ N ≥ L a ≤ N ∀ a ∈ A A ⊆ {1, 2, 3, ... N}