Analisi Matematica 2 - Quaderno appunti definitivo 2017/2018

25 Settembre

Richiami su ℝⁿ (Cap 10)

X = (x₁,...,x_n) ∈ ℝⁿ

ℝⁿ è spazio vettoriale, cioè: X ⋅ Y = (x₁y₁,...,x_ny_n)

se λ∈ℝ è scalare invece λ X = (λx₁,...,λx_n)

prodotto scalare: < X, Y > = X ⋅ Y := _i=1ⁿ∑ x_i ⋅ y_i, X, Y ∈ ℝ

norma euclidea di X ∈ ℝⁿ, || X ||= ^1/2(X ⋅ X) = √_i=1ⁿ∑ x_i²

Fatti: X ⋅ Y = ||x||||y|| ⋅ cos(φ)

se X, Y ≠ 0 , X ⋅ Y = 0 ⇔ cos(φ) = 0 ⇔ φ = ^π/₂

ovvero X è ortogonale a Y

(1) ⇒ | < X, Y > | ≤ || X || ⋅ || Y || Cauchy-Schwarz (C.S)

Disuguaglianza Triangolare

|| X + Y || ≤ || X || + || Y || (T)

∀X, Y ∈ ℝⁿ

dimostrazione.

|| X - Y ||² = [X + Y] ⋅ [X - Y] = X ⋅ (X + Y) + Y ⋅ (X - Y) = X ⋅ X + X ⋅ Y + Y ⋅ X - Y ⋅ Y

= || X ||² + 2X ⋅ Y + || Y ||² ≤ || X ||² + 2 || X || || Y || + || Y ||² = (|| X || + || Y ||)² ⇒ (T)

Altra Forma di Cauchy-Schwarz

| < X, Y > | ≤ ^1/2 (|| X ||² + || Y ||²) (C.S.2)

dimostrazione. ∀a,b∈ℝ ⇒ a*b ≤ (a+b)²/₂

perché è equivalente a 0≤ a²+b²-2ab = (a-b)² vero ∀a,b

Applico (C.S) e ( * )

| < X, Y > | ≤ || X || || Y || ≤ ^1/2(|| X ||² + || Y ||²)

25 Settembre

Richiami su ℝⁿ (Cap 10)

X = (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ

ℝⁿ è spazio vettoriale, cioè: x ⋅ y = (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n)

se λ ∈ ℝ è scalare invece λx = (λx₁, ..., λx_n)

prodotto scalare: <x, y> = x ⋅ y := ∑_i=1ⁿx_i y_i ∈ ℝ

norma euclidea di x ∈ ℝⁿ, ‖X‖ = (x ⋅ x)^½ = √(∑_i=1ⁿ x_i²)

Fatti: X ⋅ y⁽²⁾ = ‖x‖ ‖y‖ ⋅ cos(φ)

se x, y ≠ 0, x ⋅ y = 0 ⇔ cos(φ) = 0 ⇔ φ = π/2

ovvero x è ortogonale a y

(1) ⇒ |x ⋅ y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ Cauchy-Schwarz (C.S.)

Disuguaglianza Triangolare ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (T)

∀ x,y ∈ ℝⁿ

dimostrazione.

‖x - y‖² = (x + y) ⋅ (x - y) = x ⋅ (x + y) + y ⋅ (x - y) = x ⋅ x + y ⋅ x + x ⋅ y + y ⋅ y

= ‖x‖² + 2x ⋅ y + ‖y‖² ≤ ‖x‖² + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖² = ‖x‖² + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖² = (‖x‖ + ‖y‖)² ⇒ (T)

Altra Forma di Cauchy-Schwarz:

|x ⋅ y| ≤ ‖x‖² + ‖y‖²

dimostrazione. ∀ a,b ∈ ℝ ⇒ ab ≤^(*) (a² + b²)/2

perché è equivalente a 0 ≤ a² + b² - 2ab = (a - b)² vero ∀ a,b

Applico (C.S.) con (*)

|x ⋅ y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ ≤ ‖x‖^(x) ≤ (‖x‖² + ‖y‖²)/2

distanza euclidea in Rⁿ

d(x,y) = ||x-y||

diseguaglianza triangolare

d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)   ∀ x,y,z ∈ Rⁿ

Topologia

Intorno (sferico) di x ∈ Rⁿ

dato r > 0 intorno di x   B_r(x) = B(x,r) := { y ∈ Rⁿ : d(x,y) < r }

Sfera di centro x e raggio r   S_r(x) := { y ∈ Rⁿ : ||x-y|| = r }

Definizione (punto di accumulazione)

x ∈ Rⁿ è punto di accumulazione di E se ∀ ε > 0 ∃ y ∈ E, y ≠ x : ||x-y|| < ε

Definizione (punto isolato)

x ∈ E è punto isolato se non è di accumulazione per E, cioè

∃ ε > 0 : ∀ y ∈ E, y ≠ x ho ||x-y|| ≥ ε

26 Settembre

Definizione (punto interno)

⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ è interno a se ∃ε>0: B_ε(x)⊆ (⇒ x ∈ )

L'interno di = Ȇ = {x : x interno ad }

Ȇ ⊆

Definizione (punto esterno)

⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ è esterno ad se è interno a C = C_ = {x∈ℝⁿ: x ∉ }

cioè x ∈ (C_)

Definizione (punto di frontiera)

⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ è di frontiera per se x ∉ Ȇ e x ∉ (C_), ovvero non è né interno né esterno ad .

Punti di frontiera di =: