Analisi Matematica 2 - Quaderno appunti definitivo 2017/2018

Richiami su ℝⁿ (Cap 10)

X = (x₁,...,x_n) ∈ ℝⁿ

ℝⁿ è un spazio vettoriale, cioè: X ⋅ Y = (x₁y₁,...,x_ny_n)

Se λ∈ℝ è scalare, allora λ X = (λx₁,...,λx_n)

Prodotto scalare: < X, Y > = X ⋅ Y := _i=1ⁿ∑ x_i ⋅ y_i, X, Y ∈ ℝ

Norma euclidea di X ∈ ℝⁿ, || X ||= ^1/2(X ⋅ X) = √_i=1ⁿ∑ x_i²

Fatti

• X ⋅ Y = ||x||||y|| ⋅ cos(φ) se X, Y ≠ 0
• X ⋅ Y = 0 ⇔ cos(φ) = 0 ⇔ φ = ^π/₂ ovvero X è ortogonale a Y
• (1) ⇒ | < X, Y > | ≤ || X || ⋅ || Y || (Cauchy-Schwarz)
• Disuguaglianza Triangolare: || X + Y || ≤ || X || + || Y || (∀X, Y ∈ ℝⁿ)

Dimostrazione: || X - Y ||² = [X + Y] ⋅ [X - Y] = X ⋅ (X + Y) + Y ⋅ (X - Y) = X ⋅ X + X ⋅ Y + Y ⋅ X - Y ⋅ Y = || X ||² + 2X ⋅ Y + || Y ||² ≤ || X ||² + 2 || X || || Y || + || Y ||² = (|| X || + || Y ||)² ⇒ (T)

Altra Forma di Cauchy-Schwarz

| < X, Y > | ≤ ^1/2 (|| X ||² + || Y ||²)

Dimostrazione. ∀a,b∈ℝ ⇒ a*b ≤ (a+b)²/₂ perché è equivalente a 0≤ a²+b²-2ab = (a-b)² vero ∀a,b

Applico (C.S) e ( * ) | < X, Y > | ≤ || X || || Y || ≤ ^1/2(|| X ||² + || Y ||²)

Richiami su ℝⁿ (Cap 10)

X = (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ

ℝⁿ è uno spazio vettoriale, cioè: x ⋅ y = (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n)

Se λ ∈ ℝ è scalare, allora λx = (λx₁, ..., λx_n)

Prodotto scalare: <x, y> = x ⋅ y := ∑_i=1ⁿx_i y_i ∈ ℝ

Norma euclidea di x ∈ ℝⁿ, ‖X‖ = (x ⋅ x)^½ = √(∑_i=1ⁿ x_i²)

Fatti

• X ⋅ y⁽²⁾ = ‖x‖ ‖y‖ ⋅ cos(φ) se x, y ≠ 0
• x ⋅ y = 0 ⇔ cos(φ) = 0 ⇔ φ = π/2 ovvero x è ortogonale a y
• (1) ⇒ |x ⋅ y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (Cauchy-Schwarz)
• Disuguaglianza Triangolare: ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (∀ x,y ∈ ℝⁿ)

Dimostrazione: ‖x - y‖² = (x + y) ⋅ (x - y) = x ⋅ (x + y) + y ⋅ (x - y) = x ⋅ x + y ⋅ x + x ⋅ y + y ⋅ y = ‖x‖² + 2x ⋅ y + ‖y‖² ≤ ‖x‖² + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖² = ‖x‖² + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖² = (‖x‖ + ‖y‖)² ⇒ (T)

Altra Forma di Cauchy-Schwarz

|x ⋅ y| ≤ ‖x‖² + ‖y‖²

Dimostrazione. ∀ a,b ∈ ℝ ⇒ ab ≤^(*) (a² + b²)/2 perché è equivalente a 0 ≤ a² + b² - 2ab = (a - b)² vero ∀ a,b

Applico (C.S.) con (*) |x ⋅ y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ ≤ ‖x‖^(x) ≤ (‖x‖² + ‖y‖²)/2

Distanza euclidea in Rⁿ

d(x,y) = ||x-y||

Diseguaglianza triangolare: d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y)   ∀ x,y,z ∈ Rⁿ

Topologia

Intorno (sferico) di x ∈ Rⁿ dato r > 0 intorno di x   B_r(x) = B(x,r) := { y ∈ Rⁿ : d(x,y) < r }

Sfera di centro x e raggio r   S_r(x) := { y ∈ Rⁿ : ||x-y|| = r }

Definizioni

Punto di accumulazione

x ∈ Rⁿ è punto di accumulazione di E se ∀ ε > 0 ∃ y ∈ E, y ≠ x : ||x-y|| < ε

Punto isolato

x ∈ E è punto isolato se non è di accumulazione per E, cioè ∃ ε > 0 : ∀ y ∈ E, y ≠ x ho ||x-y|| ≥ ε

Punto interno

⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ è interno a se ∃ε>0: B_ε(x)⊆ (⇒ x ∈ )

L'interno di = Ȇ = {x : x interno ad } Ȇ ⊆

Punto esterno

⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ è esterno ad se è interno a C = C_ = {x∈ℝⁿ: x ∉ } cioè x ∈ (C_)

Punto di frontiera

⊆ℝⁿ, x∈ℝⁿ è di frontiera per se x ∉ Ȇ e x ∉ (C_), ovvero non è né interno né esterno ad .

Punti di frontiera di =: