Analisi Matematica 2 - Quaderno appunti definitivo 2017/2018

25 Settembre

Richiami su ℝⁿ (Cap 10) X = (x₁, ..., x_n) ∈ ℝⁿ

ℝⁿ è spazio vettoriale, cioè: x + y = (x₁ + y₁, ..., x_n + y_n)

Se λ ∈ ℝ è scalare, invece λx = (λx₁, ..., λx_n)

prodotto scalare: < x, y > = x · y = ∑_i=1ⁿ x_i · y_i ∈ ℝ

norma euclidea di x ∈ ℝⁿ, ||X|| = (x · x)^½ = ( ∑_i=1ⁿ x_i² )^½

Fatti: X · Y = ||X|| · ||Y|| · cos(φ) se X, Y ≠ 0, X' · Y = 0 ⇔ cos(φ) = 0 ⇔ φ = π/2 ovvero X è ortogonale a Y

(1) ⇒ |X · Y| ≤ ||X|| · ||Y|| Cauchy-Schwarz (C.S)

Disuguaglianza Triangolare ||X + Y|| ≤ ||X|| + ||Y|| (T) ∀ X, Y ∈ ℝⁿ

dimostrazione. ||X - Y||² = (X + Y) · (X - Y) = X · (X - Y) + Y · (X - Y) = X · X + X · Y + Y · X - Y · Y = ||X||² + 2X · Y + ||Y||² ≤ ||X||² + 2||X|| ||Y|| + ||Y||² = (||X|| + ||Y||)² ⇒ (T)

Altra forma di Cauchy-Schwarz: |X · Y| ≤ (X · X)^½ (Y · Y)^½ (C.S.2)

dimostrazione. ∀a,b ∈ ℝ ⇒ ab ≤ (a² + b²)/2 perché è equivalente a 0 ≤ a² + b² - 2ab = (a - b)² vero ∀a,b Applico (C.S) e (★)

|X · Y| ≤ ||X|| · ||Y|| ≤ (||X||² + ||Y||²)/2

distanza euclidea in Rⁿ

d(x,y)=‖x-y‖

disuguaglianza triangolare d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) ∀ x,y,z ∈ Rⁿ

Topologia

Intorno (sferico) di x ∈ Rⁿ

dato r>0 intorno di X ∈ B_r(x) = B(x,r) := { y ∈ Rⁿ : d(x,y) < r } = { y ∈ Rⁿ : ‖x-y‖ < r } = { y ∈ Rⁿ : ∑_i=1ⁿ (x_i - y_i)² < r² }

Sfera di centro x e raggio r S_r(x) = { y ∈ Rⁿ : ‖x-y‖ = r }

Definizione (punto di accumulazione)

E ⊆ Rⁿ è punto di accumulazione di E se ∀ ε > 0 ∃ y ∈ E, y ≠ x : ‖x-y‖ < ε x ∈ Rⁿ cioè ∀ ε > 0 E ∩ (B_ε(x) \ {x}) ≠ ∅

Definizione (punto isolato)

x ∈ E è punto isolato se non è di accumulazione per E, cioè

∃ ε > 0 : ∀ y ∈ E, y ≠ x ho ‖x-y‖ ≥ ε, ovvero ∃ ε > 0 : E ∩ (B_ε(x) \ {x}) = ∅

27 Settembre

Esempio. B = {o(n) ; n ∈ N}

p.ti di accumulazione?

∞ è di accumulazione perché B è illimitato.

Ogni punto di B è isolato.

Nessun punto di accumulazione in R².

Esempio. B = {(x,y) ; x < 0, y < 0}

→ p.ti di accumulazione?

∞ è di accumulazione perché B è illimitato

Br[(x₀,y₀)] ⊆ B ⇒ B = B̅

⇒ B̅ = {(x,y) ; x ≤ 0, y ≤ 0} sono di accumulazione

⇒ B̅ = {(x,y) ; x ≤ 0, y ≥ 0}.

Dimostrazione. (proposizione e lezione di ieri)

(2) A_j j=1, ..., m aperti ⇒

x ∈ B ⇒ x ∈ ∩ A_T ∀_j

A_j aperto ⇒ ∃r₀ > 0 ; B_r₀(x) ⊆ A_T r* = min{r_j j=1...m} > 0

B_r*(x) = B_rj(x) ⊆ A_T ∀_j ⇒ B_r*(x) ⊆ ∩_j=1^m A_j

(3) B_i chiusi i ∈ I ⇒

cioè C(∩ B_i è aperto.

Formula di demorgan: C[(∩ B_i) = ∪(C B_i) è aperto.

28 Settembre

Proposizione. ‖x‖ - ‖y‖ ≤ ‖x - y‖ ∀ x, y ∈ ℝ^m

Dimostrazione. ‖x‖ = ‖(x-y) + y‖ ≤ ‖x - y‖ + ‖y‖

⇒ ‖x‖ - ‖y‖ ≤ ‖x - y‖    (‖a‖ ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b)

scambiando x e y ⇒ ‖y‖ - ‖x‖ ≤ ‖y - x‖ = ‖x - y‖ ◻

Proprietà delle funzioni continue

f, g : X̄ → ℝ^m continue in x_o ⇒ f + g ; f⋅g sono continue in X_o

f : X̄ → ℝ g : x̄ → ℝ^m continue in x_o ⇒ g∘f continua in x_o

f continua in x_o ⇔ f₁, ..., f_m continua in x_o

Successioni in ℝⁿ

f : ℕ → ℝⁿ ha senso lim_n X_n = lim_n X_k = (lim_n (x_k1), ..., lim_n (x_kn))

n ↦ f(n) = x_n

Definizione (succ. convergente)

(x_n)_v∈ℕ è convergente se ∃ lim_k x_k = l ∈ ℝⁿ e scrivo x_n → _n→∞ l

è divergente se lim_n X_n=∞

Esempio. x_n = (1/n ; 1/n²) ∈ ℝ² ⇒ lim_n x_n = (0, 0)

convergente ⇔ limitata

Teorema

f: ℝ² ➝ ℝ

(x₀, y₀) punto di accumulazione per X. Supponiamo che ∃ U intorno di (x₀, y₀) ⊆ X,

Allora:

1. lim_{(x,y) ➝ (x0, y0)} f(x,y) = l ⟺ lim_p➝0 sup_{θ ∈ [0,2π]} |f̌(p,θ) - l| = 0
2. lim_{(x,y) ➝ (x0, y0)} f(x,y) = +∞ ⟺ lim_p➝0 inf_{θ ∈ [0,2π]} f̌(p,θ) = +∞
3. lim_{(x,y) ➝ (x0, y0)} f(x,y) = -∞ ⟺ lim_p➝0 sup_{θ ∈ [0,2π]} f̌(p,θ) = -∞

Dimostrazione

1. (1) ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0 t.c. ||(x,y)-(x₀, y₀)|| < δ ⟹ |f(x,y) - l| < ε
2. ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0 t.c. se p ∈ (0, δ), θ ∈ [0,2π] ⟹ |f̌(p,θ) - l| < ε
3. ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0 t.c. se p ∈ (0, δ) ⟹ sup_{θ ∈ [0,2π]} |f̌(p,θ) - l| < ε
4. ⟺ ∀ε > 0, ∃δ > 0 t.c. se p ∈ (0, δ) ⟹ g ∈ [0, ε)
5. ⟺ lim_p➝0⁺ g(p) = 0 ⟺ lim_p➝0⁺ sup_{θ ∈ [0,2π]} |f̌(p,θ) - l| = 0

2. {x : f(x) > 0} = C {x : f(x) = 0} ⇒ chiuso

{x : f(x) ≠ 0} ⇒ chiuso

Esercizio 1. E = {x ∈ ℝⁿ : 0 < ||x|| < R}

Domanda: aperto? chiuso?

f(x) = ||x|| è una funzione continua

E = {x : f(x) > 0} ∪ {x : f(x) < R} è aperto

Esercizio 2. Dominio (g(x, y) = 1/log(x + y)) aperto? chiuso?

Calcolare inoltre le derivate parziali, punti di accumulazione ecc...

dom(g) = {(x, y) ∈ ℝ²: x + y > 0} ∩ {(x, y): x ⋅ y ≠ 1}

⇒ dom(g) è aperto.

PC il resto.

Esercizio: Studiare il segno di \( f(x,y) = x^2 - y^2 - 1 \) con il disegno.

\(\{ (x,y) : f(x,y) = 0 \} : x^2 - y^2 = 1\)

\(|y| = \sqrt{x^2 - 1} \quad |x| \geq 1\)

\(x^2 = R_1 \cup \cancel{R_2} \cup R_3 \cup \cancel{Y}\)

\(R_i\) è connesso \(\forall i\)

\(\Rightarrow f\) ha segno costante in ciascuna \(R_i\).

• \([ -2,0 ) \in R_2, \, f(-2,0) = 4 - 0 - 1 = 3 > 0\)
• \(\rightarrow f > 0 \text{ in Tutto } R_1\)
• \([ 0,0 ) \in R_2, \, f(0,0) = 0 - 0 - 1 = -1 < 0\)
• \(\rightarrow f < 0 \text{ in Tutto } R_2\)
• \([ 2,0 ) \in R_3, \, f(2,0) = 4 - 0 - 1 = 3 > 0\)
• \(\rightarrow f > 0 \text{ in Tutto } R_3\)