Appunti di Scienza delle costruzioni - Quaderno 5

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI ENNA “KORE”

Facoltà di Ingegneria ed Architettura

Corso di Laurea in Ingegneria Civile ed Ambientale (L7) – Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale (L9)

APPUNTI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI (QUADERNO 5)

A.A. 2020-2021

A cura dell’allievo ingegnere: Calogero Frangiamore

Docente del corso: Prof. Ing. Giacomo Navarra

Ora del 07/04/2021

Ieri abbiamo visto cosa accade sul cubo di Cauchy, in particolare, abbiamo visto che i risultanti delle forze di agenti sull' elemento che si può e di dƒ, dn - d

Su un elementi del cubo di Cauchy agiscono le forze di volume l, mentre sulle superfici esterne del cubo agiscono delle forze di superficie.

Abbiamo visto che: t_n = ^lim  & _ΔA→0 & ΔF = t_m                    ΔA Al variare del punto materiale e delle equazioni della sezione nel vettore t_n cambia.

Abbiamo visto che: un volume parallelepipedo del cubo di Cauchy è il quale ha dimensioni dx₁, dx₂, dx₃. Su ciascuna faccia del cubo agisce una tensione t_m, scrivere con 3 componenti SPECIFICI.

Queste sono 3 componenti, che si per scegliere in un tensore doppia affini (?).

C sono tre queste tensioni del tensore τ_ij, tensioni normali e tangenziali:

t_ij ( i = j ) = NORMALI t_ij ( i ≠ j ) = TANGENZIALI.

I spostamenti (e così via) - Questo è lo scopo del blocco centrale del corso.

La descrizione dello stato si trova al variare delle grandezze che misurano il carico.

Con le equazioni di equilibrio, noi non riusciti a determinare delle relazioni che descrivono le variazioni di stato si hanno al variare del punto X₁, X₂, X₃.

Andando ad assegnare ζ₁₁, ζ₁₂, ζ₁₃, ecc. (tutti gli componenti principali del tensore) con funzioni del punto X₁, X₂, X₃ nello spazio 3D,

∇ · T + b = 0

(∇ P E V)

Tutti questi bivari, però, lo abbiamo fatto con un S.R. che chiamerò adesso modo arbitrario (sistema di riferimento greco). X₁, X₂, X₃. A questo punto noi ci rischiamo a noi anche che abbia degli altri X o altre tensioni diverse.

Oltre che al punto p (X₁, X₂, X₃), anche delle tensioni delle direzioni delle giaciture delle prime π che stiamo considerando, c'è un modo «per conoscere» il modo arbitrario, una volta che si conosce in un certo ambiente? (X₁, X₂, X₃), è noto delle tensioni ζ₁₁, ζ₁₂, ζ₁₃ (ovviamente tutti le componenti principali di tensioni)?

Infatti, se non esistesse un modo per risolvere questo problema delle giaciture delle tenze delle stabilizazioni esiste S.R. rispetto di altre (S.R. speciale) per poter lavorare curve nel momento in qui le linee di modo delle tensioni (riferito ad altre S.R.), potrebbe, il S.R. speciale precedentemente scelto il che è molto complicato!

Fortunatamente, esiste un modo per passare delle tensioni che agisce su 3 piani mutuamente ortogonali ed una tensione che agisce su un piano di giaciture generano la soluzione del problema è fornito dal teorema di Cauchy.

Quindi quello che noi vogliamo fare è studiare la variazione dello sforzo tensione Ts al variare della direzione della normale su «sulla superficie considerato».

Sempre con riferimento alla figura C, per le misure di _1A2 e _dAm riferiamo alle misure dei cateti del triangolo rettangolo si pone nel piano della sezione, dimostrato con regolamento PB = PA. Anzi poniamo che sul piano x₁ x₃.

_{PB = dA1PA = dA2AB = dAm} (ipotenusa)

Sapendo che: _{PB = dA1 · cos(α)PA = dA2 = dAm · cos(β)}Così in un triangolo rettangolo.

Sappiamo che:cos(α) = m₂cos(β) = m₂

Possiamo scrivere che:_{dA1 = dAm · m2dA2 = dAm · m3}

Si può dimostrare, tramite gli angoli solidi, che queste stesse cose vale pure per gli elementi in 3D. In generale, quindi, riferimento alla figura di 3 pag. prima:

1. dA₁ = dA_m · cos(α) = dA_m · m₁
2. dA₂ = dA_m · cos(β) = dA_m · m₂
3. dA₃ = dA_m · cos(γ) = dA_m · m₃

dA_i = dA_m · m_i (i = 1, 1, 3)

In particolare, con riferimento alla figura D di 3 pagine prima, possiamo affermare che:

• cos(α) = m₁ cos(β) = m₂ cos(γ) = m₃

Dove:α = angolo tra _{m2 e x1}β = angolo tra _{m2 e x2}γ = angolo tra _{m2 e x3}

A questo punto, a partire delle relazioni ricavate possiamo scrivere l’equazione di equilibrio alla trazione, come:-t₁ dA_m · m₂ - t₂ dA_m · m₂ - t₃ dA_m · m₂ + t_m dA_m = Ø

Una retta ne ssr di assiemi all’interno

Rispeto al S.R. _nxa noi conosciamo il vettore_m.

Sappiamo che:

_mn = -_ms (IER)

Evvero se un vettore _mn ha per direzioneun’_x quindi di segno ha vettuto con _n (a)_mn cioè si proporziona e _m per misuradel parametro a)

E inoltre vettorialmente noi possiamo dire che, essendo_mn e _mns le componenti di _mson, abbiamo:

_mn = _mns + _mns

_mns = -_mn + _mns

Ora sostituiremo :

_mns = _mn

_mn = _mns

_mns = -(_mn - _mns)

Calcoliamo:

det(_T = |

| t₁₁ t₁₂ t₁₃

| t₂₁ t₂₂ t₂₃

| t₃₁ t₃₂ t₃₃

= t₁₁ t₂₂ t₃₃ + t₁₂ t₂₃ t₃₁ + t₁₃ t₂₁ t₃₂

+ t₁₃ t₁₂ t₂₃ - ( t₁₁ t₂₂ + t₂₁ ( t₁₂ t₃₃))

= t₁₁ t₂₂ t₃₃ + t₁₃ t₂₁ t₃₂

Mettomo che det( _T ) è ricavato al termine 3 dell'equer.

det(_T - λ_I ) = - λ³ + I₁ λ² + I₂ λ + I₃

L'equazione si chiama "SECOLARE" perché per la prima volta il problema di autovettori è stato affrontato e risolto per lo studio di alcuni materiali precedura di alcuni problemi batteri

dei calcoli in secolari (per gli ammanti SECOLI)

per questa separazione "SECOLARE".

La risoluzione dei polomini caratteristici p(λ) (mi sono l'questione secolare) possono ricavare gli AUTOVALORI λ.

In particolare, gli autovettori m sono le SOLUZIONI del nostro problema preciso:

Per trovare gli autovettori m dopo avere trovato gli autovalori λ.

Lo stato soddisfa gli autovalori trovi nel polinomio gli autovalori di prima sono nel sistema di equazioni:

( _T - I _I ) m = 0

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