Appunti Probabilità e statistica

1/3/2022

La parola viene da "Stato" e si occupa della raccolta e dell'analisi dei dati.

La statistica descrittiva guarda e rappresenta dati.

STATISTICA DESCRITTIVA

Popolazione: insieme di elementi (persone, persone che appartengono ad una categoria es. studenti, animali, oggetti...)

della popolazione si vuole studiare una

Variabile: caratteristica della popolazione che si vuole esaminare

• può essere
  • QUALITATIVE = qualità (no numeri)
  • QUANTITATIVE = valore numerico
  • DISCRETI: se possono assumere una quantità finita o numerabile di valori
  • es voti esame
  • CONTINUI: se possono assumere valori in un range continuo
  • es tempo di vita

Dati: Valori ottenuti nell'esperimento statistico

• VARIABILI QUALITATIVE -> dati appartengono a categorie
• VARIABILI QUANTITATIVE -> dati sono numeri

Un campione è un sottoinsieme della popolazione.

Obiettivo: raccogliere i dati di un campione della popolazione, analizzarli e dedurre informazioni sulla popolazione

È importante scegliere in modo opportuno il campione in modo più uniforme possibile per evitare BIAS ovvero distorsione delle informazioni dovuta a una cattiva scelta del campione.

La statistica descrittiva si occupa di rappresentare i dati raccolti usando tabelle e grafici e analizzarli utilizzando

grandezze che riassumono caratteristiche delle variabile in esame

RAPPRESENTAZIONE DI DATI

Tabella si rappresentano le frequenze dei valori assunti dai dati

• FREQUENZA ↳ raggruppo i dati in CLASSI
  • variabile qualitativa ↳ classi: categorie o gruppi di categorie
  • variabile quantitativa
    • DISCRETA ↳ classi = possibili valori
    • CONTINUA
• conto il numero di osservazioni che ricadono in una classe

Siano x₁, ..., x_n dati di un campione e v₁, ..., v_k i valori assunti (variabili qualitative → categorie, variabile quantitative → valori possibili) e f_j del numero x_i tale che x_i = v_j. f_j viene detta frequenza assoluta del valore v_j.

Definisco frequenza relativa del valore v_j il numero p_j = ^f_j/_n con n = ampiezza del campione.

∑j=1pj=1

∑j=1fj=n

OSS

p_j ∈ [0,1]

∑j=1pj=1

Si usa anche scrivere le p_j in percentuale: p_j perc = p_j * 100%

Misure di tendenza centrale

Moda

x₁, ..., x_n dati di un campione

v₁, ..., v_k valori possibili (variabili qualitative, variabili quantitative discrete)

f₁, ..., f_k frequenze assolute

Def Una moda è un valore v_j tale che f_j è massima (f_j > f_h ∀h)

Se tale valore è unico è la moda calcolata sui dati del campione (si può usare anche f_j).

Oss Tipicamente la moda viene utilizzata per variabili qualitative perché le misure di tendenza centrale che definiremo dopo hanno bene senso per misure quantitative.

Caso delle misure quantitative continue

x₁, ..., x_n dati

I₁, ..., I_k intervallo

f₁, ..., f_k frequenze assolute

d₁, ..., d_k densità di frequenze d_j = f_j/|I_j|

Def Una classe modale è una classe I_j tale che la densità di frequenza è massima: d_j > d_h ∀h

Se tale classe è unica si dice la classe modale.

Oss La definizione è la stessa se si usano le densità di frequenze relative perché queste sono proporzionali alle d_j:

d_j/n > d_h/n d_j > d_h

È molto sensibile rispetto a dati anomali

Quartili, Percentili, Decili e Quantili

x₁, ..., x_n dati ordinati x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ x_n

Immaginiamo di posizionare i dati su un righello

media

mediana

Def Quartile

Q₁ "primo quartile"

(n+1) ⋅ 1/4 = k₁ + r₁ con k₁ ∈ ℕ

r₁ ∈ {0, 1/4, 2/4, 3/4}

Q₁ = x_k₁ ⋅ (1 - r₁) + x_k₁+1 ⋅ r₁

Q₂ "secondo quartile"

(n+1) ⋅ 2/4 = k₂ + r₂ con k₂ ∈ ℕ

r₂ ∈ {0, 1/2}

Q₂ = x_k₂ ⋅ (1 - r₂) + x_k₂+1 ⋅ r₂

Q₂ è la mediana!

Q₃ "terzo quartile"

(n+1) ⋅ 3/4 = k₃ + r₃ con k₃ ∈ ℕ

r₃ ∈ {0, 1/4}

Q₃ = x_k₃ ⋅ (1 - r₃) + x_k₃+1 ⋅ r₃

Oss Il quartile inclusivo opera così:

Q_i^* = n-1/4 ⋅ i

Q₂^* = n-1/4 ⋅ 2

Q₃^* = n-1/4 ⋅ 3

Q₃ = 100 · ³/₄ = 75 → intervallo [ 15, 25 ]

Q₃ = 100·³/₄ = 60

Q₃ = 0,3947

38

Q₃ = 15 + 0,3947 ( 25 - 15 ) = 18,947

QUANTILI, PERCENTILI, DECILI

Considero α ∈ ( 0, 1 ). Il quantile di ordine α si calcola con la seguente procedura:

(n + 1)·α = k + r con k ∈ ℕ e r ∈ [0, 1)

q_α = x_k·(1 - r) + x_k+1·r

ES

n = 10 α = 6/7

(n + 1)·α = 11 · 6/7 = 9 + 0,42857

OSS

Il primo quartile Q₁ non è altro che il quantile di ordine 1/4 (α = 1/4), Q₂ di ordine 2/4, Q₃ di ordine 3/4.

Il j-esimo percentile p_j è il quantile di ordine j/100

Ad es. p₄₀ ha a sx circa il 40% dei dati del campione

L'h-esimo decile D_h è il quantile di ordine h/10

REGRESSIONE LINEARE

Un campione di dati è BIVARIATO se è composto da coppie di dati:

x₁, x₂, … x_n → stessa ampiezza

y₁, y₂, … y_n

L'obiettivo è cercare di capire se c'è una relazione tra i dati x_i e i dati y_i.

I dati di un campione bivariato si rappresentano in uno SCATTERPLOT (diagramma a dispersione)

Allo stesso modo _{⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯}=0

_{²=¹/n−1∑ⁿi=1(−⎯⎯⎯)/²=}

¹/n−1^{∑n_i=1(−⎯⎯⎯2₎=1/22=1}

Allo stesso modo _{⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯}=1 dovrei togliere la media ma non c'è la media perché è zero

o ≤ S²=1

¹/n−1_{∑ⁿi=1(−}

¹/n−1_{∑ⁿi=1−²(− ²)=}

posso inserire la media perché è 0

^⎯⎯⎯2

=^{2_{x⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯}−2Cov}

Cov ⎯

= Cov/

Quindi C_{ov ⎯⎯⎯⎯}=1−⎯⎯⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯=O_{v y−1 Cov O}

Quindi

r x⎯⎯≥0

O

²