Appunti primo esonero (5)

Teorema in un flusso irrotazionale

Per teorema in un flusso irrotazionale, H è costante in tutte e tre le linee di corrente:

∇(z + _P⁄_δ + ^U2⁄_2g) = 0

H₃ = H₂ + z₂, cosi flusso rotorelando.

H₃ = H₂ + y

Infatti, non ci sono perdite e l'energia resta invariante:

z + _P⁄_δ + ^U2⁄_2g = cost

H indica il carico totale, cioè l'energia meccanica totale del fluido per unità di tempo:

• z: energia geometrica potenziale per unità di peso
• _P⁄_δ: potenziale
• ^U2⁄_2g: cinetica del fluido

∇ di conserve → Teorema di conservazione dell'energia meccanica totale

Flusso irrotazionale e rotazionale

Per merce o in un flusso irrotazionale, H è costante in tutte e tre le linee di corrente:

rot=0 quindi ∇(z + _P/_γ + v²/_2g) = 0

H₂ƒ‹H₂+z→ con flusso rotazionale

❦ H₃ƒ‹H₄ →

Infatti, non ci sono perdite e l’energia totale rimane invariante:

z + _P/_γ + v²/_2g = cost

H indica l'energia totale, cioè l’energia meccanica totale del fluido per unità di tempo:

• z: energia geometrica potenziale per unità di peso
• _P/_γ: potenziale
• v²/_2g: cinetica del fluido

∇δ conservo → Teorema di conservazione dell’energia meccanica totale

Strato limite di Prandtl

Strato limite: strato di fluido in cui gli effetti della viscosità risultano non trascurabili (rispetto agli effetti di inerzia). Dipendono da x:

• Flusso bidimensionale
• e = cost
• Forze di massa trascurabili
• Flusso stazionario

Pde ole N-S: Du/ Dt = ∇ (g) - 1/e ∇ p + 1 ∇ U

Sostituisco ∇ (g) = ∇ p

P = P_o, ∇ P = P_b = dp

Du/ Dt = -1/e dp + ∇ U non capute le forze di massa

Da qui iniziano le equazioni dello strato climitare:

(Faccio prima queste considerazioni) (x₁, x_o) → (x, y)

Equazione di continuità: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0

N-S su U: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0

Equazione viscorose naive

N-S su U: μ (∂² U/∂y²)

μ (∂² U/∂x² + ∂² U/∂y²) ~ N-S su U

Grandezze di scala

• U_∞: velocità indisturbata
• L: lunghezza del piano
• δ << L
• εU²_∞: pressione dinamica
• P_': pressione oli influenzatici

Variabili adimensionali

• U = _u⁄_u∞
• X = _x⁄_L
• P = _p⁄_εu²∞
• V = _v⁄_u∞
• Ѵ = _y⁄_L
• Δ = _δ⁄_L (Δ << 1, Δ << 1)

Ordine di grandezza

• U = O(1)
• Ѵ = O(Δ?)
• X = O(1)
• Ѵ = O(1?)

Nelle 1^e equazioni, sostituisco:

∂U⁄∂X + ∂Ѵ⁄∂U_∞ Ѵ = 0

1⁄Δ + ?⁄Δ = 0 ⇒ Ѵ(Δ) cosi ho lo stesso ordine di grandezza...

Equazioni successive

2^a equazione:

U ∂U⁄∂X + Ѵ ∂U⁄∂Ѵ = -1⁄ε ∂P⁄∂X + 1⁄Re (∂²U⁄∂X² + ∂²U⁄∂Ѵ²)

p^sop L^dopo

U ∂U⁄∂X + Ѵ ∂U⁄∂Ѵ - ∂P⁄∂X + 1⁄Re (∂²U⁄∂X² + ∂²U⁄∂Ѵ²)

1     = ? + (1⁄Δ + 1⁄Δ²) pressione

Teorema più didattico → A = G√(κe)

Dipende che Δ = ... ⇒ δ = ΔL

Qualitativamente Δ = cosh√(1/Re_α) = cosh√(μ/eω_α)

(o 1){δ = Cost √(μ²/eω_α) - eω_α↑, δ↓

Terza equazione

Penso alla 3^a equazione:

U ∂v/∂x + v ∂v/∂y - 1 U_∞ - 1/ϵ ∂P/∂y

U_∞ = 1/ϵ ∂P/∂y + 1/(Re∂v/∂x∂v/∂y = ∼∂P/∂U = (Δ)⁴ - (Δ){ = Δ²}

All'interno dello strato limite non posso applicare Bernoulli perché gli effetti delle rise. non sono trascurabili (im B - μ = 0 x HP), fuori si può applicare.

_z + ^P/_γ + ^u2/_2g = cost

x : -> Pe + ^u2/₂ = cost

^dPe/_dx -> -^ρu/_S ^du/_dx

Perché y=0, quindi confronto solo Pe per intera equazione dello strato limite -> le soluzioni delle due equazioni con i vari valori quadrati.