Appunti primo esonero (3)

EQUAZIONI DI NAVIER-STOKES

Patrious delle equazioni di Cauchy in forma indiciata

ρ _Dui/_Dt - efi_i + ∇?_i ⇔ ρ _Dui/_Dt - efi_i + ∂ris/∂x₃

∂ui/∂t + us ∂ui/∂x₃

ρ _Dui/_Dt = efi_i + ∂/∂xs [ - (p + λ∂uk/∂xk) δ_sj + 2 μ/2 (∂ui/∂xi + ∂us/∂xi)]

∂/∂xs (∂us/∂xi + ∂us/∂xi)

ρ _Dui/_Dt = efi_i - ∂p/∂xi + (λ + μ) ∂/∂xi + ∂uk/∂xk + μ ∂²ui/∂x₅²

∂uk/∂xk

∂/∂xk (∂uk/∂xk ∂u₃/∂xk) = ∂/∂xi ∂u₂/∂xk - ∂/∂xk

∇ _Dui/_Dt = efi_i - ∂p/∂xi + (λ + μ) ∂/∂xk ∂uk/∂xk + μ ∂²ui/∂x_{5 2}

L

Equazioni di Navier-Stokes

Partodus dell'equazione di Cauchy in forma indicada

e _{Dui / Dt} - efi + ∇ξ = e _{Dui / Dt} - efi + ∂xi / ∂x₃

∂ui / ∂t + 11 ∂ui / ∂xi

e(Dui / Dt) = efi - cp∂ / ∂xi(∂xi + λ)∂ui / ∂x_k + μ ^∂ui / ∂x²₅

Termine Viscoso

Non bisogna dimenticarlo formulando il fluido.

Se e = cost → ∇⋅u = 0

Per gas comprimibili → λ≈ -²/₃ μ

Considerazioni generali: sull'equ. di Navier-Stokes

Rendo i termini dimensionali utilizzando le corrette grandezze e calcolo il numero di Re.

Numero di Reynolds

Re = ^e@U@L/_μ = ^eUL/_μ = ^UL/_v

• < 1 prevale viscosità
• > 1, inercia

Flusso laminare: accade raramente (poca turbolenza).

Fluido circuito attraverso una porzione di moto (Inerzia) se si crea le moto del fluido nei contorni di eterno vortice.

La viscosità tende a stabilizzare il moto. L'inerzia tende a destabilizzante.

Fluido perfetto: elevato numero di Re

• Se non è uno studio di flusso con alto Re
• Prima si determinata il campo lontano dal corpo (Campo esterno)
• Dopo si studia l'imprassimità del corpo (Strato limite)

FLUSSI PARALLELI

(caso particolare dove posso avere analitica con Navier-Stokes)

Fluido Incomprimibile: ϱ = cost, V ⋅ u = 0 → div u = 0

Forze di massa, caso particolaref = - ∇ϕ + (- ∇g2 ϕ = g z)

Eq. di continuitàDϱ/Dt + ϱ Σ (u ·) , Dϱ = 0

Flussi Paralleli → lungo sulle linee di corrente → u1 ≠ 0, u2 = u3 = 0

Parte di queste eq. in forma indicare (ed esplicita)∂u/∂t + u1 ∂u1/∂x ₁ + ∂u _i /∂x _i = D 3 eq∂u/∂x ₁ = 0 div div ⋅ v = 0

Sviluppo: ∂u ₁ / ∂x ₁ = 0 = D2 ∂u ₂ / ∂x ₂ + ∂u ₂ / ∂x ₃ = 0

i = 1

u ₂ + u ₃ ∂u ₂ / ∂x ₂ ∂u ₂ / ∂x ₂

1. dϱ/ dt = 0 = D2 u ₁ + u ₂ + u ₂ ² + ϱg / ∂u ¹ -( ∂u ₁ ∂u ₁ ) = ∂u ₁ / ∂u ₁ / ∂x ₁

2. Sorry, some characters may be missing.

∂u₁=0

∂x₁

{

∂u_j - g ∂ { (z+ p ) }

∂t ∂x_i ( p_g p_g )

+ D ( ∂ ²u_j + ∂ ²u_j )

∂x₂² ∂x₃² )

h₀ = p₀ g

= - g ∂ (z + p )

∂x₂ (p )

= - g ∂ (z + p )

∂x₃ (p )

e.g. −(p)

z

e.g. −(p₀)

1 = z + (p₀ )

→

valterm pressioni

altre condizioni

PROPRIETÁ 1 (FLUSSO PARALLELO)

• (p non varia nel piano trasversale de moto, quindi da derivate oli si

rispetto x₂, x₃;

=0 )

quindi dai flussi, si deducono che è ddipende solo da x₁

{

∂n - ⇌ ⇌ (x₁ )

∂x_i

{ = ⇌

PROPRIETÁ 2.

( ⇌ - Q ⇌ v ⇌

∂u₁ - g ∂n ( ⇌ )

∂t ∂x₁ ( ⇌ ∂x₁ )

movimento non dip _da

tempo non dip da x_i

In corrispondenze:

⇌ = citato

Slide interessante e prefica di velocità

( ↑ ) testo numerico