Appunti primo esonero (3)

Equazioni di Navier-Stokes

Parte delle equazioni di Cauchy in forma indiciata

ρ _Dui/_Dt - efi_i + ∇?_i ⇔ ρ _Dui/_Dt - efi_i + ∂ris/∂x₃∂ui/∂t + us ∂ui/∂x₃

ρ _Dui/_Dt = efi_i + ∂/∂xs [ - (p + λ∂uk/∂xk) δ_sj + 2 μ/2 (∂ui/∂xi + ∂us/∂xi)]

∂/∂xs (∂us/∂xi + ∂us/∂xi)ρ _Dui/_Dt = efi_i - ∂p/∂xi + (λ + μ) ∂/∂xi + ∂uk/∂xk + μ ∂²ui/∂x₅²

∂uk/∂xk∂/∂xk (∂uk/∂xk ∂u₃/∂xk) = ∂/∂xi ∂u₂/∂xk - ∂/∂xk

∇ _Dui/_Dt = efi_i - ∂p/∂xi + (λ + μ) ∂/∂xk ∂uk/∂xk + μ ∂²ui/∂x₅²

Equazioni di Navier-Stokes e parte dell'equazione di Cauchy

e _{Dui / Dt} - efi + ∇ξ = e _{Dui / Dt} - efi + ∂xi / ∂x₃∂ui / ∂t + 11 ∂ui / ∂xie

(Dui / Dt) = efi - cp∂ / ∂xi(∂xi + λ)∂ui / ∂x_k + μ ^∂ui / ∂x²₅

Termine Viscoso

Non bisogna dimenticarlo formulando il fluido. Se e = cost → ∇⋅u = 0

Per gas comprimibili → λ≈ -²/₃ μ

Considerazioni generali sulle equazioni di Navier-Stokes

Rendo i termini dimensionali utilizzando le corrette grandezze e calcolo il numero di Re.

Numero di Reynolds

Re = ^e@U@L/_μ = ^eUL/_μ = ^UL/_v

• Se < 1 prevale viscosità
• Se > 1, inerzia

Flusso laminare: accade raramente (poca turbolenza).

Fluido circuito attraverso una porzione di moto (Inerzia) se si crea le moto del fluido nei contorni di eterno vortice.

La viscosità tende a stabilizzare il moto. L'inerzia tende a destabilizzare.

Fluido perfetto: elevato numero di Re

Se non è uno studio di flusso con alto Re Prima si determinata il campo lontano dal corpo (Campo esterno). Dopo si studia l'immediatezza del corpo (Strato limite)

Flussi paralleli

(Caso particolare dove posso avere analitica con Navier-Stokes)

Fluido incomprimibile: ϱ = cost, V ⋅ u = 0 → div u = 0

Forze di massa, caso particolare f = - ∇ϕ + (- ∇g2 ϕ = g z)

Equazione di continuità

Dϱ/Dt + ϱ Σ (u ·) , Dϱ = 0

Flussi Paralleli → lungo sulle linee di corrente → u1 ≠ 0, u2 = u3 = 0

Parte di queste eq. in forma indicare (ed esplicita) ∂u/∂t + u1 ∂u1/∂x₁ + ∂u _i/∂x_i = D 3 eq ∂u/∂x₁ = 0 div div ⋅ v = 0

Sviluppo

• ∂u₁ / ∂x₁ = 0 = D2
• ∂u₂ / ∂x₂ + ∂u₂ / ∂x₃ = 0
• i = 1 u₂ + u₃ ∂u₂ / ∂x₂ ∂u₂ / ∂x₂

1. dϱ/ dt = 0 = D2 u₁+ u₂ + u₂ ² + ϱg / ∂u ¹ -( ∂u₁ ∂u₁ ) = ∂u₁ / ∂u₁ / ∂x₁
2. ∂u₁=0∂x₁{∂u_j - g ∂{ (z+ p ) }∂t ∂x_i ( p_g p_g )+ D ( ∂ ²u_j + ∂ ²u_j )∂x₂² ∂x₃² )
3. h₀ = p₀ g = - g ∂ (z + p )∂x₂ (p ) = - g ∂ (z + p )∂x₃ (p ) e.g. −(p)ze.g. −(p₀) 1 = z + (p₀ ) →valterm pressioni altre condizioni

Proprietà

1 (Flusso parallelo):

• (p non varia nel piano trasversale de moto, quindi da derivate oli si rispetto x₂, x₃; =0 )
• quindi dai flussi, si deducono che è dipende solo da x₁

{∂n - ⇌ ⇌ (x₁ )∂x_i{ = ⇌ Proprietà 2.

• (⇌ - Q ⇌ v ⇌ ∂u₁ - g ∂n ( ⇌ ) ∂t ∂x₁ ( ⇌ ∂x₁ ) movimento non dip _da tempo non dip da x_i

In corrispondenze: ⇌ = citato Slide interessante e prefica di velocità ( ↑ ) testo numerico