Appunti di algebra e geometria

Spazio vettoriale e base

Mèl'! spazio allo → pcomev→ c- . . !vettori possibilevettoriale baseS Vinsieme di! spazioPreso ai Vuhearm.inaip.in èS sempre completare a unauno→ come , )" (canonica ) Q 0,1vettori (Base (R )0,40spazio 9,0 0 0nello i ln0 lae =: ; ;= =, .. .. .. .. .. .., {indicataRncanonicabaseformano di conuna nFTEOREMA 'V V' Allora BeB basicorrispondenzavettoriale BdiBsia spazio possono indue essereuno e messe:, .,cardinalitàbiunivoca hannoossia stessa,Dimensione MVdaielementi all'di spaziodi vettorialequali è unobasenumero composta una n→ =: infinita (MV [ ]dimensionebasi IRV di )se esso haha esfinitoconnon n ×co→ ao: ==, !! vettorirdimvSe di linearm Vil averedipnumero inin chené massimo posson→ = ., .sottospazi V Wsia VWCVsottoinsieme èspazio sottospazio divettorialesivettoriale diceuno suo unoseun: ; V (di )vettoriale Wprodottorispetto sommaspazio +a e -,.sottospazioè seW soloin :A) Ov WDimostrazione: 1) Per verificare se un insieme è un sottospazio vettoriale, devo controllare due cose: a) che l'insieme includa l'elemento nullo (0) b) che l'insieme sia chiuso rispetto alla somma e al prodotto per uno scalare 2) Verifico che l'insieme W sia un sottospazio vettoriale: a) Per la somma: W + W = W b) Per il prodotto per uno scalare: c * W = W 3) Verifico che l'insieme Wlache appartenga a C: a) Per la somma: Wlache + Wlache = Wlache b) Per il prodotto per uno scalare: c * Wlache = Wlache 4) Verifico che l'insieme Wverifico eche appartenga a C: a) Per la somma: Wverifico + Wverifico = Wverifico b) Per il prodotto per uno scalare: c * Wverifico = Wverifico 5) Verifico che l'insieme { }(f) appartenga a C: a) Per la somma: { }(f) + { }(f) = { }(f) b) Per il prodotto per uno scalare: c * { }(f) = { }(f) 6) Verifico che l'insieme W 2×-9=0 appartenga a C: a) Per la somma: W 2×-9=0 + W 2×-9=0 = W 2×-9=0 b) Per il prodotto per uno scalare: c * W 2×-9=0 = W 2×-9=0 7) Verifico che l'insieme c- Wc- W →→ .. appartenga a C: a) Per la somma: c- Wc- W →→ .. + c- Wc- W →→ .. = c- Wc- W →→ .. b) Per il prodotto per uno scalare: c * c- Wc- W →→ .. = c- Wc- W →→ .. 8) Verifico che l'insieme 210210 appartenga a C: a) Per la somma: 210210 + 210210 = 210210 b) Per il prodotto per uno scalare: c * 210210 = 210210 9) Verifico che l'insieme (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == appartenga a C: a) Per la somma: (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == + (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == = (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == b) Per il prodotto per uno scalare: c * (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == = (( O 0O 0 4=004=0 ✗0 e✗ e - ==- == 10) Verifico che l'insieme SÌSÌ 0=00=0 →→(2 )) (YaW Wz YzX2Xp, ==. ,, ?oppuretwwf2.tw pwz ) WC-Ha MaWi wz a) -1yd +✗ a++ = , ti(se ( +42) )ya× y 2x✗ y✗+ e= o→a, = =- )) ( ÈÈ( WzWi(2 ( )a) y ya✗× ++ o, ,- =Ya2 2×2 Y 2=0+× - -, ( )1+13×2 ByzPWE ✗✗ dya4W2×1-9=>+2%-92--0 + +,, \ µcheso o= si+00 o= 24×1+213×2 pyz2×-9=0 ¥3 ( )W Yi☒ → -=,. , → Tu 5R✗ c- Ha So cheSO -0)Yi che✗ (Wi ) ✗✗ =pyaXi= = ,, perchè WW2×-9=0 Wat( e2 appartenga a C: a) Per la somma: SÌSÌ 0=00=0 →→(2 )) (YaW Wz YzX2Xp, ==. ,, ?oppuretwwf2.tw pwz ) WC-Ha MaWi wz a) -1yd +✗ a++ = , ti(se ( +42) )ya× y 2x✗ y✗+ e= o→a, = =- )) ( ÈÈ( WzWi(2 ( )a) y ya✗× ++ o, ,- =Ya2 2×2 Y 2=0+× - -, ( )1+13×2 ByzPWE ✗✗ dya4W2×1-9=>+2%-92--0 + +,, \ µcheso o= si+00 o= 24×1+213×2 pyz2×-9=0 ¥3 ( )W Yi☒ → -=,. , → Tu 5R✗ c- Ha So cheSO -0)Yi che✗ (Wi ) ✗✗ =pyaXi= = ,, perchè WW2×-9=0 Wat( e2 + SÌSÌ 0=00=0 →→(2 )) (YaW Wz YzX2Xp, ==. ,, ?oppuretwwf2.tw pwz ) WC-Ha MaWi wz a) -1yd +✗ a++ = , ti(se ( +42) )ya× y 2x✗ y✗+ e= o→a, = =- )) ( ÈÈ( WzWi(2 ( )a) y ya✗× ++ o, ,- =Ya2 2×2 Y 2=0+× - -, ( )1+13×2 ByzPWE ✗✗ dya4W2×1-9=>+2%-92--0 + +,, \ µcheso o= si+00 o= 24×1+213×2 pyz2×-9=0 ¥3 ( )W Yi☒ → -=,. , → Tu 5R✗ c- Ha So cheSO -0)Yi che✗ (Wi ) ✗✗ =pyaXi= = ,, perchè WW2×-9=0 Wat( e2 11)

1. d-✗xa y o ,→ - , =2 ✗ ✗ XY 0a =- a( )2✗ 0ya✗ a =- sì-0cheso = SÌWao c-0✗ → →= èdimostrarePer basta trovaresottospazioche! non esempioun unIVETORIsottospazio DAGENERATO dasottospaziodefinisce losivettorialeappartenenti spaltoDati Vsvoigeneratounova aVs spazio :. ., ... . / ER7 diVs tali tutte combinazionispazioP che è✗ leEV lo✗ yvs< va UssV V va> va<= = .., .... . ... ..lineari dei vs Us. . ..es :' 1)R (1) V2 0,1( 1,1un = -= ,,vediamo loqual è spazio generanoche : }{ } { ) Wx-PBra (✗Va va +13✗< voi +> ×= →=, , , lineainsiemeL' perchébase indipendentiW rmperè sonounadadato va va >< .,[[✗ 0o → 0= P✗p o-0+ = -. =p o✗p✗ o=-di MW 2=( )di Wverifico basees èse Ussanche va<: . ..(" (R ( )) 10,0 V3)1,1va 0,11,0Va 1,0 0-== = ,,, , }} {{ )Bra ( W8 P✗v2 +13 0rv✗ +v3 ×voi< ✗va +> →+ = -}= ,,,, ,{insieme generatoriL'

è baseVerificoWaiv. sepervai :, .( ) ✗Burt solo 8=0=p8✗ 0 se0,0V3va + = = :, }{{ basesoluzioni èp✗{ 8 Wnonp 0 V3✗ perviva+✗ unaHO a→= -= →→ -= ,✗o =P8=0✗ + -==PP no 8-Infatti Va WèVav3 baseVaVa peruna<→ >-= ,2di MW -. !! va èse èV2 ValevavaV A di Vsottospazi di allora sotto loV2 semprespazio ma nonsono→ , ,, VsottospazisottospaziSOMMA di voispazioTRA lo Vsva spaltodiVs sommauno: =.. .. .. ,VEV / Vi{ 7 }1i S V V2 Vsevi Va += = =, . .. , .. .MATRICI µ ① )① Ma Manqq aRm 2 3"a -..RSe elementi la£ matriceglicolonnerighematrice men tnmcon →e a a. • aan= « » .. .adiElementi esima colonnai esimasulla Lama "aisono riga eaime J Arin→ --> . a, }ma . . .MATRICE nulla aise 0: ] =, RM "Rmn ( è)! didefinita struttura MOSTRè DIla algebrical' commutativosommaIn operazione gruppo→ in→ →. + .si '+" "Rmn RMRMmatrici

MMSCAURIPRODOTO c-R ER fafa ERA. PERQualunque Bdove d.siano e✗ →:- . RM ?(lavettoriale SPAZIOALGEBRICAdi strutturaspazio vettorialeproprietàlevalgono )uno e- UNO→ + .,MATRICI : ( ① )Olga 92QUADRATE n M- = azza: an [ |• •bri ^^AnnoTRI principaleelementi " ^}lai. iposto diagonaledi sono:- Alza cazazz }TRIANGOLAREdiagonalela solose sotto 0 Altaho : " Èa }mama mbassaTRIANGOLAREsopra la diagonale solose 0ho :DIAGONALI bassaaltase quadrata Niang Trinny:- ., .,À diTRASPOSTA DI MATRICE A viceversarighehaUNA colonneleper e- :taSIMMETRICHE ase- = +Aanti asimmetriche se- =: - IRM "vettoridi Rmatricerighe visteesserecolonne comepossonouna ee →ERM " R (A)A spaziodati dalleRa vettoriRm èil <vettoriale Ra Rmrighe Delledefinitosottospazio→ e • → >= , .. ....RIGHE Di A ( (A) spazioilCa vettoriale definitoCn Casottospaziodalle ècolonnedatevettori Cn→• < >=. . ... .DicolonneDelle a!

lo spazio dimensione delle stesse righe ha colonne e nelle → "" IRMRM ' didi "FRA matrice PRODOTTO AMATRICI B di deve righe R colonne" numero numero essere →: × →==BA- ' B colonne righe avviene numero A righe prodotto colonne per Il numero avra✗ e . !! matrice 1×1 è moltiplicato matrice reale nx per una numerose axn → →) TÉ( () § 2.2+41=5 esempio 22 -1^-0=4 5 4I ): = → 00-2+1-11.1=-1 02+0 1)c- io=.µg =/(( a) )• esempio 1 0 0 2 3 ^) -2^: . a 1 9 20^ a^ 9 0 1- " ?" PROPRIETÀ Rmn "Aa MATRICI FRA RA B DEL PRODOTTO Ba BaAz C- RC EE: , ; ;, , ,)B) ( )( associativa A (A. BC • . -=.( ( distributiva)a) Ba Aa BBAn Aa+• +• = . - (R A)(B) B)(txt A.B✗a. ✗✗→• .= =.B0mn 0MtA- O• 0Mt= no =- ; PROPRIETÀ MATRICI QUADRATE : 9)( §"" IDENTITÀ( MATRICE) In neutro R elemento detta esiste Ia• . =,. proprietà commutativa vale Non la• di

matrice esiste inverso al 1 tale rispetto B-Non l'una B