Appunti di algebra e geometria

II. %E0E.IM#N-:EIFtEEEEf

:*

AIMÉE %EB.IQ#AE

IERI

insiemi

DEGLI

TEORIA

RAPPRESENTAZIONE { } )

elementi ( ordine

l'

di 3,7

insieme a 1 conta

Elencare non

me

• = , { }

/

Definire caratterizza insieme

elementi

proprietà di

che gli 3

una me ×

• × >

all'

appartiene

l' insieme A

elemento

EA a

• a →

A IN

B di

elementi

te

di Z dire

IN meno

B elemento

ogni ha

che

posso Z

ma non

c-

a

c-

• → →

0 { } vuoto

insieme

• →

= numerici

principali insiemi :

}

{ naturali NATURALI

3

2

1

IN numeri

0 →

= , .

.

, .

,

{ negativi

} IN

numeri INTERI

Z 2 -1 1

0 +

→

-

= . .

. . ,

. , .

, Razionali

Q periodici

} decimali

{ £ infiniti

d. Z

IN

%

:& + +

= →

.

.

.

,

, infiniti

{ Reali

periodici (irrazionali

Q

152

IR decimati

} )

IN 2-

non

1g

0 +

+

it +

→

= .

. .

,

, ,

.

. . { i.

}

E Reali

' DEIR 1 complessi

ib ↳

a.

a +

→

= + -

,

operazioni insiemi

TRA } {

{ {

/ } }

B 78,9

AUB a 2,37 B

A

c- ✗

0

✗ c-

×

= = = {

{

an / } }

EA AMB

B }

{ 8,9 7

AUB

EB 3,7

2

E ✗

× ✗ = =

= , ,

È

{ }

Ai B A lxta

B ¢13

✗ ✗

e

- =

= la b)

B {

A } elementi

beb insiemi

il

A dei

insieme

| ha coppie due

nuovo

c- come

✗ le

a →

i

= ,

&

1 { }

{

}

{ AXB

} (

) (

(

)

(

B 3,4 )

a 1,2

prodotto 1,3 2,4

2,3

1,4 )

= :

= , A

, B Bia

, =/

✗

→

}

" (

cartesiano B )

13,1

A ( ) 14,2

3,2)

)

{ 4,1 perché

✗ = ORDINE

no parentesi l'

se conta

te

, , ,

associo ordinate

punto nel piano

ogni

A due y

✗ e

y •

- ✗

"

IR IR

IR IR

×

✗

= . .

.

-

IR n

ripetuto

volte SÌ

? Ragiono

0 B

a B

se devo AO =p

avere assurdo

per

✗ = .

{ } ?

{

}

{ } NO

B. perché

a

A

se 3 di

2,5 EB B

e-

A

2,5 allora sottoinsieme

elemento non in

in

e e

= = , infatti 2¢13 5¢13 ?}

e

applicazioni a B

→

: a

di di

associa elemento

ad elemento B

ogni solo

legge in

che un

PROCESSO DI INDUZIONE in numeri

proprietà considerazione proprietà

i

sia Pcn)

pura soddisfatta

naturali

prende

che N

da

= .

.

1) 0

P vale per

2) -11

P P

vale vale

n

per n

per

si IN

tre

era

allora P

che vale

Pcn) Ipotesi induttiva

ns o

= ,

070 0k per n

vero

n-11 n 70

>

+170

n

somma di Gauss

esempio :

2 (

1 )

n

n n -11

+ + + =

.

. . 2

1¥ 1

n 1

= = verifico MN )

lo per

sia

che

suppongo n

per

sia vera .

)

1) )

1 (

( ( -12

n -11 n

n

-1 n

+ +

+ =

. .

. 2 è vera

che •

ipotesi induttiva so

per In )

) (

( )

n n n

-11 -11

-11

= +

2

)

ritratti ( n " )

(n+Djn In -11

+ = +

funzione

1) insiemi funzione

Dati B

a relazione insiemi

i

B ogni

tra elemento

a

è

ama ad

due

una che

una

e e

, insieme

dell' dell'

a elemento B

insieme solo

associa uno e in .

a

f B

→

: l'

indicare EA

all'

la

(a) b elemento

che funzione

scriviamo associa

se elemento

A f

f

c- a

per

a =

,

EB

b.

2) insiemi f AXB

funzione

a B

Dati del fc

sottoinsieme cartesiano

da a B prodotto

due è

una in

a

, Ùall

7 !

A BEB

tale ( b) Ef

fa Che a

che c- , .

IN Q )

f fcn

R R

p G-

: →

- : =

"

) do

plx an I

la n

+

× ✗ + →

= . ,

.

. 3

ao

p =

( ¥ ER

)

p ao ✗

× = COMPOSTA

Funzione A

f Bsc

B funzione

definisce

Date finzione la f

funzioni si

f go

composta C

a

alle → →

:

: :

, ,

B ( )

già

a C g

a →

b-

a- c

•

-

9°F

IMMAGINE l'

di

B insieme

immagine

dice

a

funzione

Data si &

una g →

: }

/

{ b (a)

B

(g) aea

7 b

j

In c- : =

=

IMMAGINE

CONTRO '

f- }

{

insieme

sottoinsieme

Data l' )

Alfio

(c)

a dato B

f B C

funzione EC

ma → in c-

c-

e a

: =

,

{ }

1,2

' (c)

f- =

{ }

5,6

C =

Funzione iniettiva ÷

•

• •

Ad codominio freccia •

•

a •

del arriva

ogni massimo

elemento ↳

una •

)

fla )

flare

di da → =

: ,

suriettiva

funzione •• s :

ha almeno

del freccia

per elemento codominio

ogni una 00

.

quindi immaginati

B a

è •

fla )

) flai di Al

ma =/ 2

. = Biunivoca

Funzione (obiettiva

) :]

suriettiva

se :

iniettiva

è sia che

) -

gcaz

(a)

ai g.

da

=/ •

→ =/ •

)

SCX y

=

ES . IR

f IR

: → 29

2×+2 292 +2

2

✗ → + =

, iniettiva

)

fla )

flora f

ai a →

= >

-

. .

e- suriettiva ?

BÉR 3- ER

a

)

fla La b-

La

b

-12 2

=

=

=

b-ffcbj-I.bg/b-2-)=2(b-Z-i-

io = suriettiva

f

b

b-

2 +2

2 →

=

=

OPERAZIONI anch' funzioni

sono esse

→

R' → R

somma 8 IN IN

IN

3+5

es ✗ →

:

: =

.

RIE ( 3,8) 8

→ ( Ro

operazione 2×2

sottrazione Z

è )

non Q

1N

' su

in → o

: .

È È

Q ☒

insieme

divisione mai 0

)

divisione possibile

tranne (

la per senza

0

è

c'

se → =

: = È A'

definire operazioni

possibile A

è come

le →

ALGEBRICA (

*

STRUMA definita

funzione ) algebrica

A.

da Axa A la coppia struttura

* chiama

si

→ → .

QÌ

) ( :)

(

( )

N Z

es +

: , - ,

,

{ / }

Rif

C continua

f R →

:

=

l' ALGEBRICHE

diventa Di

STUDIO strutture

algebra

( )

libro U

p . )

l' ( {

insieme } in cui 1+1=0

0,1 è campo

in

+ ×

, ,

VETTORIALI

SPAZI

( R ) vettoriale

spazio

-1 →

.

,

,

( perché Q

Rx ④

Q ) no NO

→

+ →

. ,

, .

,

(È È '

è commutativo vettoriale

) la

la moltiplicazione spazio

anche

R

soma

con

+ → con →

. .

, , .

(

qpt

Q )

Xp ✗ ya

+ y pt

Q ,

a q

, '

V02

numeri

( reali R

ogni

P coppia associo

Xp ai un

yp) a vettore →

,

→ numeri

ogni ai

spazio reali

dimensioni

stessa nello

la terra

accade 3

a

cosa a

:

> V03 Rs

associo vettore

in →

! !

è corrispondenza algebrica

c' una " necessario

" "

R

È

V0 è

esiste

esiste

R perché tempo

però c' coordinata

ad la

esempio

lavorare

ma non con .

, .

5

R

lo stesso per . . .

GENERATORI ( )

30

p .

( ) ( )

2,1

1,1

• )

( ) (

) 2,1

b

Y 1,1

(

X a +

=

, I

( b)

a

Zb

a +

+ , {

{ b coppie

le

b ottenere

a -12 posso

y

× ×

=

= - → .

→

b Zy

at y a ×

= -

=

( (

) )

4,6 6,9

• ) ( b)

( 6,9 Gb

b.

) ( 60 9

) 014,6 ha

y

× +

+

+

= =

, ,

{ ×iÌ

Gb °

ha

× + =

= → di coppia

quindi

y la

Gb

6A questa

Comb

sola §

y essere

può non

+ ×

2-

= Y .

,

= × bene

va di ?

perone

&

di migliori

sistemi i vettori

ai ' quelli

R

i non

tutti generatori i

2 devono

sono coppie

con essere

Fra e

tra multipli

loro generatori INDIPENDENTI

Vettori linearmente

minimale ?

come sistema

capire di

ho

se in → .

DEFINIZIONI esempio

UN

FARE DI

? ) )

( ( )

N

Q ( è

Q

÷ (

lo

Non )

+ Q

× (

; ÷ ;-)

N

,

; , ;

. ,

9 ( sia Axa

) cui

ALGEBRICA la definita

Struttura un'

in ovvero A

è

coppia funzione

A operazione da ad

che

una

*

*

: , ,

COMMUTATIVO proprietà

( soddisfa seguenti

GRUPPO struttura algebrica )

A le

che

: * :

,

è associativa c)

l' ( b)

(

operazione b

→ a

a

→ c

# # *

*

- =

" b

commutativa b a

a

→ * #

=

l'

esiste di

elemento neutro *

- ' di

inverso

e

Esiste *

- )

voi perché (

? l' e-

Non

rispetto

inverso

è

è

(

)

( c'

)

( lo alla

R gruppi

) N R

somma lo

non

non

sono

: c. ×

+

+ + ; ;

; ,

, ) è

lo (

A *

(

CAMPO )

R

struttura ma

in cui

: + :

× ×

;

, ,

& commutativo

( )

A è gruppo

in

-1

-

e- ,

io associativa

→

è

( )

R ×

-

-1 × commutativa

;

, →

, "

(Q ) (

+ × b) bxc

distributiva C

rispetto a a

a C

, , +

+ → + ✗

=

è

lo

non l' elemento di

esiste neutro

( ) ×

Z ×

+ -

,

, rispetto

l'

esiste inverso a ×

-

SPAZIO vettoriale di

di

commutativo

)

( R

moltiplicazione elementi

anche z per

dotato

v gruppo

è opera

in

+

: , . .

a

vettoriale

V sei

spazio

è uno

WEV seguenti

soddisfi proprietà

(

tv )

U-x-c.IR che le

-1W

v ✗ va wx

→

e :

+

- =

, V B)

(

tv ✗ pv

PER

E ✗

×

e V v

→ + +

- =

, reali

V )

( numeri

PER ( piu Pv

fa ✗ ✗

tv c- e →

- =

,

V

tu IV

E 9

V

→

- = > '

COIIR

]

! "

R

R )

R )

} R

[

{ (

( [ ]

] vettoriali

R

derivabili

font

! R

↳

continue spazi

0 sono

pura

× ; ;

; ;

; ;

. . .

. .

V V

LINEARE

COMBINAZIONE di

sia vettoriale ogni

di

spazio Si

elementi dice lineare

va voi va

b.

va Vs

uno vs

con

e

: .

, .

. , .

. . .

R

tipo

del t

V2

da

espressione As

V as dove Ma

ai

da Us

+

a .

.

. .

. ,

. VEV

GCV

GENERATORI Sist

sistema combinazione

Di di come

ogni scrivere

insieme è deto può

gener si

se

un

: . . G

VEV

G R

elementi

lineare tali

di £

degli che

va

esistono

scelto U

da Va

Via

£ .az as

vs

va Vs Ma as +

→ e -

= , -

.

.

.

,

. .

, .

. .

! !

minimali

vogliamo insiemi V

INDIPENDENTI

VETORI LINEARMENTE vettori unica

vettoriale dicono linearm l'

si

va

i spazio

va uno indip

in

Us se

: .

.

, .

.

.

lineare

loro avviene

nullo

il

cui vettore

combinazione ottengo coefficienti 0

per con →

=

solo

da Ava Iz

Va V2

Ma Al

O

As 0

se

Us

+ = s =

.

.

.

,

.

.

. minimale !

di

l'

! indipendenti all'

linearmente insieme ai generatori

essere essere

garantisce equivalenti

seguenti

dimostrato ) affermazioni

Una (

volta 32 che le sono

p :

. DIMOSTRAZIONE P

indipendenti → 32

linearmente

Va sono

Us

Va

• .

.

, .

. rimanenti

è dei

combinazione lineare

dei

nessuno va va Us

• , .

.

. generatori

insiemi ai minimali

sono

quali

definire

posso gli : V ai

B

Base ai

insieme generatori linearmente

vettori

vettoriale

sia di uno B

spazio insieme

se

un anche

è un

: .

V

ai

indipendenti allora B è base

una

, .

! V !

{ basi

}

vettoriale ammette

ogni spazio =/ O

→ !

infinite

ti

! base ha

allora

ha

se ne

una

→ elementi !

di

lineare

di B

V

vettoriale Di

di

combinazione unica

espressione 34

M

è

l'

! spazio

allo → p

come

v

→ c- . . !

vettori possibile

vettoriale base

S V

insieme di

! spazio

Preso ai V

uhearm.inaip.in è

S sempre completare a una

uno

→ come , )

" (

canonica ) Q 0,1

vettori (

Base (

R )

0,40

spazio 9,0 0 0

nello i ln

0 la

e =

: ; ;

= =

, .

. .

. .

. .

. .

. .

.

, {

indicata

Rn

canonica

base

formano di con

una n

FTEOREMA '

V V

' Allora Be

B basi

corrispondenza

vettoriale B

di

B

sia spazio possono in

due essere

uno e messe

:

, .

,

cardinalità

biunivoca hanno

ossia stessa

,

Dimensione MV

dai

elementi all'

di spazio

di vettoriale

quali è uno

base

numero composta una n

→ =

: infinita (

MV [ ]

dimensione

basi IR

V di )

se esso ha

ha es

finito

con

non n ×

co

→ ao

: =

=

, !

! vettori

rdimv

Se di linearm V

il avere

dip

numero in

in che

né massimo posso

n

→ = .

, .

sottospazi V W

sia V

WCV

sottoinsieme è

spazio sottospazio di

vettoriale

si

vettoriale dice

uno suo uno

se

un

: ; V (

di )

vettoriale W

prodotto

rispetto somma

spazio +

a e -

,

.

sottospazio

è se

W solo

in :

A) Ov W Dimostrazione

E 39

P

→ .

2) EW

PER Buia

W V7

ltwi ✗

C- wa

Wz → +

, ,

, vettoriale

verificare è sottospazio

se sottoinsieme un

un l'

verifico elemento

include nullo

1. se ;

di elementi

2. verifico W W

la

che appartenga

due c-

somma w a

.ua

e

,

W

il R

scolare W

verifico e

che prodotto ✗ c-

W

3 a c-

con e

,

. ,

{ }

(f) '

W 2×-9=0

R

es c-

: = , (8)

(8) ?

? 1 2×-9=0

1 2×-9=0 c- W

c- W →

→ .

. )

) 210

210 )

) (

( O 0

O 0 4=0

0

4=0 ✗

0 e

✗ e - =

=

- =

= SÌ

SÌ 0=0

0=0 →

→

(

2 )

) (

Ya

W Wz Yz

X2

Xp

, =

=

. ,

, ?

oppuretwwf2.tw pwz ) W

C-

Ha Ma

Wi wz a) -1yd +

✗ a

+

+ = , ti

(

se ( +42

) )

ya

× y 2x

✗ y

✗

+ e

= o

→

a

, = =

- )

) ( È