Appunti per orale di analisi matematica 1 e 2

Name: Appunti per orale di analisi matematica 1 e 2
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Author: veronica_29

Revisionato il 29/06/2026

di veronica_29

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Appunti di Analisi matematica basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Bisconti dell’università degli Studi di Firenze - Unifi, facoltà di …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bisconti Luca

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2021-2022

85 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Teorema dell'unicità del limite

Se il limite per x che tende a α del rapporto f(x) è unico

Ipotesi

α - x₀ ∈ R
lim per x che tende a α f(x) = e₁, lim per x che tende a α f(x) = e₂, e₁ ≠ e₂

Contraddizione. Limite sia finito

Fissiamo ε < |e₁ - e₂| / 2

Definizione di unità

∃ δ₁ > 0: 0 < |x - x₀| < δ₁ → x ε X, |f(x) - e₁| < ε
∃ δ₂ > 0: 0 < |x - x₀| < δ₂ → x ε X, |f(x) - e₂| < ε

Prendiamo δ = min { δ₁, δ₂ }: 0 < |x - x₀| < δ

Dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto |f(x) - e₁| < ε |f(x) - e₂| < ε ⇒ |f(x) - e₁ + f(x) - e₂| < 2ε

|f(x) - e₁| < ε |f(x) - e₂| < ε

ε > |e₁ - e₂| / 2

Teorema di permanenza del segno

Dalla definizione di limite scelto un ε > 0 abbiamo

|f(x) - e| < ε → -ε < f(x) - e < ε + eù fissato ε = |e| otteniamo:

|e| - |ε| < f(x) < ε + |e|

Se:

ε > 0 → e - ε < f(x) < ε + e < 0 < f(x) < 2ε f(x) > 0
ε < 0 → e + ε < f(x) < ε - ε < 2ε ∃ f(x) < 0 f(x) < 0

"Se lim per x che tende a x₀ f(x) = e, e ≠ 0, allora ∃ un intorno I detto escluso di x₀ in cui f(x) e e sono > 0 o < 0."

Teorema dell'unicità del limite

Se il limite per x che tende a α di f(x) è l, allora è unico.

Ipotesi

α - x₀ ∈ R.
lim f(x) = l₁, lim f(x) = l₂ con l₁ ≠ l₂.
Limite sia finito.

[fissiamo] ε 1 - l₂| / 2

Definizione di limite

∀ε ∃δ>0: 00| 1 ⇒ x ∈ X |f(x) - l₁|
∀ε ∃δ>0: 00| 2 ⇒ x ∈ X |f(x) - l₂|

[Prendiamo] δ = min {δ₁, δ₂} : 00| Dalla disuguaglianza triangolare del valore assoluto: |f(x) - l_ε|

Dalla disuguaglianza triangolare nel valore assoluto sappiamo che il valore assoluto della somma di due numeri reali è minore o uguale alla somma dei moduli: |l_ε - l_ε| = |f(x) - l₁| + |f(x) - l₂| ≤ |f(x) - l₁| + |f(x) - l₂| ε > |l₁ - l_ε|

Teorema di permanenza del segno

Data la definizione di limite scelto un ε>0 abbiamo: |f(x) - l| l - ε Eguagliando a ε = |l| otteniamo:

|l - ε| Se:

ε > 0 => l - ε 0 0 ε 0

"Se il limite per x che tende a x₀ di f(x) = l, l≠0, allora esiste un intorno I detto escluso da punto x₀, in cui f(x) e l sono entrambi positivi o entrambi negativi."

Teorema dei carabinieri o del confronto

Siano f, g, R⁺ → R, α punto di accumulazione per X. Supponiamo f(x) ≤ g(x) ≤ R(x) in un intorno di α elim f(x) = lim g(x) = ℓ oppure lim g(x) = ℓ.

Partendo dalla definizione: ∃ ℰ₀ ∃ ℰ₁>0: 00| ≤ δ₁|f(x) - ℓ| ∃ ℰ₂>0: 0 0| ≤ δ₂, |R(x) - ℓ| Prendiamo δ = min {δ₁, δ₂} per tale δ vengono entrambele condizioni trovate per f(x) e R(x).

Quindi tornando all'ip. dato teorema f(x) ≤ g(x) ≤ R(x)ℓ - ℰ

Pertanto se X∈ I(x₀), 00| ≤ δ valeℓ - ℰ si traduce in lim_x→x₀ f(x) = ℓ.

Teorema di esistenza del limite x funzioni monotone

f(x) funzione monotona in (α, β), ∃ lim_x→α⁺ f(x), ∃ lim_x→β⁻ f(x)

Se crescente ➔ lim_x→α⁺ f(x) = inf f(x) lim_x→β⁻ f(x) = sup f(x)
Se decrescente ➔ lim_x→α⁺ f(x) = sup f(x) lim_x→β⁻ f(x) = inf f(x)

Continuità funzione

lim_x→x₀ f(x) = f(x₀) x₀ ∈ Df(x)

Discontinuità

1° specie ➔ lim_x→x₀^- f(x) ≠ lim_x→x₀⁺

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