Appunti per esame di Dinamica delle strutture

Domande esame 28/09/2020

Introduzione

G-di D-Studio Lsingoloadstrutture:

Caso statico

1.1) Partiamo dal caso statico: M{Ému massa :)pit con, acellevazione a:K M della linearecherigidezza molla comportamentoK ha: )plt) ④" scomponiamo sistema µil : ,← ←→fsfs esforzadove fs statica:

• a) ( ) fsltl' )tEquilibrio Attraverso pstatico OTTIENEsi =: -EQ DEL
• b) htt)nel .INsostituiamo Ksistema =p: moto- soloMollafs .^funzionamento di fsfs TKU: =K) Le④ SMORZAMENTOAGGIUNGIAMO UNO
• i1 ±Mi ÷État ¥¥ dpltt sqy.fffifamo.is ④È È, ]- -Noi la smorzamentousiamo smorzamento lineare viscoso

Ddipendente dal tempopltt-fslti-f.lt)Equilibrio :statica delEQUAZIONEtilt )Ulti LtKsostituiamo →c. smorza=p MollaMoto +-: =↳Ottenere PER linearmente TORE .daldipendentetempofa ^ tifa c-> alii. derivata rispetto tempoderivata rispetto allo spazion' = .>ciE) ( )dila legge

Caso dinamico

Passiamo fifona CASO AL dinamico usok- m tuna= % Dplt) E' miei= Fi =)= ( perché effettigli inerzialic non)trascurabilisono .vnùlttEquilibrio fsltt fatti)pH: =--Dinamico EQUAZIONEMOTODELLtMilt tciilt) KUIH ))SOSTITUIAMO =p didinamico→+: costatiMtMassacondizioni posizione{ inizialello)(4 KtElastica→ teo . notainiziali del .: smorzamentotilt "iniziali) reni:→ csistema viscoso .29

Dato il seguente sistema: K M ){ hoMIO =, mùtku¥ o ic-- )iilo cio=E) Risolviamo lequesta SMORZATENONVIBRAZIONIequazione LIBEREconquindi )( pitto c O; - .NormalizziamoE) dividendo tutto miperiii. In { Nolanconuso Lilo io) =chiamiamo FREQUENZA '§Wm: =NATURALEii. estquindi wni Aulhuso: pongo = -, esponenziale↳ definisco )alt formain derivandolosoluzione così come larimanemi formastessa .est siwniA 1=0 s'( wniricavo da si i wnso cui→ + ±. =,èiwnteiwmtt AzAi doveulti numerosei un= . complessooppure:It wmt )) (U )(sinAn Wintdi cos+ soluzione→ del= . SISTEMAMIO .imponendo leGli} ricavoA, inizialicondizioniOr , di) )MIO costo )10ai tari Azeliosin →=Lilt ) Wnntl( lwmtWu )a Arwen sincos= - -..cito io 1Wh) ciodiA Wm →=-= , ottengosoluzione delnet sistemaare AzSOSTITUENDO :ultt-ifm.sinlwm.tt "Èticostuituo ma- → .vibrazioniCONLIBERE SMORZANONGraficamente =: te ." Oscilla All' infinito traµn A A abbiaperchéA- none-|) le dissipazioniconsideratoUo .✓ ¥✓ )A. -01oucoslxttbsincx lx) sin-A- alibi D=- )?tantA-+ a+ ti periodo naturale→ 1in A- '(hit )CnfrequenzaSi definisce Infu: =ciclica ( )VIBRAZIONI SMORZATELIBERE LINEAREviscoso i {miei ci uld noKU 0 i+-1 =c. . titolanoii wm.ci29 noi+ o+ u- =.definiamo 29 fa c-di"§ c- faWm GaiRapporto: Wmoppure 2M> ;→ ; -Zmiwm " {smorzamento ce ' K.hr2=" dicoefficiente I2k¥Sl ": criticosmorzamento§ W( "1L ( SISTEMA sotto oscillazioniSMORZATOcri DIMINUIRE→ AVANNO-, §( ESPONENZIALECCRI →CRITICAMENTE SMORZATO DECADIMENTOSistema1== , Sistemag) ESPONENZIALEsmorzato decadimentosovra>C cari →1 - ., )( GE 5%941 QUINDI SISTEMA SMORZATOVEDIAMO CASO sotto :il -, est) AUlfI )assumiamo Forma soluzionedellauna : = -E) sostituiamo i est (A- )Wwf52+29 dove incognitaseis 0Wm + =- ,)'( gIi gr§ Un 1-= - -, Ftotteniamo èiwnfittaèswmtpan eiiwni: 1- )1- .µ I= ,. frequenzaWD : smorzatanaturale'allora 92 delfrequenza12 Wd 1- naturalese wd sistemaWm con→.= smorzamento .Otteniamo la gwmtSOLUZIONE - ( )qisinlwd.tt/tQiCoslWd.t )ultiGenerale =Lsistemadel dila cosenicombinazione linearesotto smorzato seni: e- .condizioni titolatoinizialile Qaedaimponiamo ULO ) no trovarepere• % ultxèswntogni )la laz.wdsinlwd.ttwd.coslwd.tt- -,M ioLilo notaig.) WdWan --= =-io Shin hoA. + -= WD'1 ' tn su "g.\ devee g ampiezza:, t- - -- 9 attori- - =- - - _ . . !9 )ui-iliio-Y.mu 'i periodoin naturale- nel noncasoFintetI-| te- smorzatog., ii _/ I'| ie "T1- ' Td definito periodoseT =' come==t- t¥ d "end 9 smorzatonel1- casoWntf-- 02/10/2020descriveL' l'andamentof.± e deimi massimiinviluppo i allorisposta ÌÈÌMOspostamento }'decadimento µ ̵ { RapportoNÌ tra": {È{ 'eMOTODEL successivipicchi== =, ÌiszitgFÈ5=68 ( )semplificando fila IIIIIII.→ -:eatsin.sediscrittura " S ildopopermettemi calcolaredi il primodecadimento " jsÈj TI II.dopo eDECADIMENTO cicli : = =- -(S Fglog 2kg) di" permette dopocalcolaree mi= j decadimentocicliquanti ' unavrotot percentuale "di una .0,1119jsoesempio e: , ARMONICARISPOSTA A UN' ECCITAZIONE :E) (SISTEMI )SMORZATINON armonica/ Forzanteeccitazione:data l' Wt)miei frequenza( dovesinKUequazione po+ w'i = :, forzante{f-W nutellaUn entrare }non [ con→ %?per te; Lilo Ito)risonanzain = una "" periodoMolti) )LtMitSOLUZIONE Mp+: = la+ "complementare" soluzionesoluzione particolare "dove Mc ( (Qn )wnt)wnt -104cos sin= doveC- )Mp c( solo wtwilwt costante[sin se := ,,calcoliamo iip ? (c. )wtsinw= -Riscriviamo )l' miei lwtPo sinkwequazione- + ="dell' generaleequilibrio WI Pjii lwt)sinu+ =-Ù )( ( EWi( ) lwtisostituiamo sin hit sin- =: -Uguagliano equazionile :¥ EIII.« vii. '- uni.w tre ^Dncos )(( ) ) wt(wnt)htt Wnt sin-1 ora sin= ( ,K 1- wyw »le inizialicondizioniImpongo :)ULO ho Quello=D= EÙHI ) = (( )wnt wttaawncoslwut )an sinnn cos+= - )lwiwn1-wlwn¥Èrilascio da = - . ( wlwn ?1- )laVediamo delritorisposta nostro sistema ..IT#np)sinlwiiti-f.a.fjp.sinIwttÈnhkuo.coslwntt.tl -c- -forzatavibrazione vibrazionenaturaleGraficamente :" n "! " "! -- -→ _-- → '_ un. e!,÷ ,+! '÷' e' -e -_ . . ,÷ =LIt) ( )staticasoluzione wtuse sin:( la K)molla massasenza Eampiezza della Ust =: ., K ANGOLOstatica FASEdisoluzione ÷lo )forzatavibrazione Ra lwtUseng -=: ..o, Tstazionariao fattore dicedi risposta mi→allo spostamentoARd^Rddove oppure == 2In wlwn( ) Usto- daRd ^ ;! It1- - ,li' l!/ 3) -/' 1 wlwn 1 wlwu! 'dove E 05/10/2020RISONANZA W unUn: == (C- )Andiamo ) tIt tWma ricercare cosup• - -: =particolarela soluzioneCalcolo le derivate nel iiplt lwutttempo )coscienti) C- sinc.:• - -eÙpltt C- )twusinlwnt ) (Wi( )wnt wntCun C-sin cos= -- - --! ( Watt( twit)-2C c.wntWn sin cos.- "{ " =pPola mieisoddisfo del imoto• tkueq imia = c. ù. iip- ==Drisolvendo iipltt ritrovoUplt) che 2ine c.con un: --2%7 ?¥(c. doveIt E usewn= =. - ,.Andiamo la Risposta OMOGENEA Particolarericercare + :• a Po( ()) )Wut)( t.gsanhtt wntcos Qasimwnt un+ .-= 2K { !le IIinizialicondizioniimponendoancoraricerco ;{ 4101--9=40 BEI4- ¥(a) cioda un da=D= - - += =La datail dasoluzione saràgenerale sistemaper :faÈulti ( II )tcoslwntlwn ()ht nuitNo )cos ; sin un. += - -- )(Disegnano il stilografico )Ideocondizioni 0Uriposo• a : >in )fa (MITZI ( coscientiwnt)wntsin -I!÷ # IÌ!normali sina.fm rtf )( (zitteziamo f- ): cos; → = - . 2ITLWntU = In- ~Usta !! "÷ " >i. .; i ±.. ; Tu EIPrendendo due che differenzapicchi èlasuccessivi trovasi KEIIlui lujlquindi - =.. K@ (1¥ Èj E)Jjenminimi E. minimon: con ;r= -= →. -. ., ,@ )lilàj Ij-1.Z.EE massimof e.massimi →;: con .= -= - ...,Ad diche volte altoN quelloB ciclo più'ogni massimo itsaràavro un- . precedente .) 06/10/2020It SMORZATIsistemi : ( {Equazione UIOKUOdel wt )viii. citmoto sinKU po con: = , titolatola altdadata )soluzione Molti impetisarà : =dove : Swat- )( )(f)(eLt wdt)soluzione di aan WdMc cos sin+- = -.: ,TRANSITORIO dove molto( )= wnwd vicinebe( ) (wtb wt)soluzione ) sinIt + cos- up: -= ,stazionaria ebz imponendo nellaleb inizialiricerchiamo condizioni91,04 ,,soluzione chetroviamo :, Endiventa (wnùtwnwsoluzione )ii wtgenerale→ -129: sin=( tuttba ba 1Whripltcon ) Wcos sinw= -- .iiplt < ( ba ? ( )) b Wtwhw nosin= cos--- -, ÉÌÌÌÌÌÈ{ Imettiamo sistema :[a : fumi: :[#( '[ ) le( )uywnwlwn1-È .tl" E) ! µMAI isinlntt(E)coslwatiaasinlwah .us/wh-29¥-1a.= '. -4¥14 12g( ÷ ,)± .Total Response→aNn invitiSteady state-2 f-µ esponse . ::SISTEMA CON WuWSMORZATO :=listebaco b; =, 29Imponiamo condizioni ritomld )le iniziali = >=-"ba04 q;= - =, 522 7-Ricaviamo ùlodiMLH ) )ULOpuntoquesto o=a un -w> ,} ""' (" ( )f.miti ; Watt(coslwattxe lwntsa )sin cos= -.gawdewnednlhzale-S~t-nl.ws{{A § lwnt )chiamiamo io a«= ,^ limiteGraficamente superiore: a ma inferiorelimiteA-RAPPORTO )2kgTRA ilI U _picco ampiezza e=e a: -Massima -Studiamo la stazionariarisposta→ :.sn/wt-d dove A-) bftb ?) RaMit Use := =-, D=A- bzRd )arctgl angolo fase^ di-== Ustica /f- LETAME ') asinitàn-lwlw.ir//T---------(aretg=Rdn ^Xix' ± 37 ° wlwh1 w%FORZANTECASI DI ILIMITI frequenzaforzante (lentamentela )allora bassa:Lse1) varia a« 'moltoperiodo grandeWu Artusi PolkRd 1a → =o,1=0)' Tndel t'2) (Variazione RdIIalloracaricorapida 1» « »: reaziote dinamica01=0(l' Ii!%-)A- Usaampiezza i. ,. lo trascurabiledue smorzamentoNei èNB casi .. gdaninamoltoIn 5Ra quindisensibile3) 1 a= è→ ÷{ "A4) ÷iv. wn > -→ .@ IL#= 12/10/2020STAZIONARIASOLUZIONEPotuto)Rd -0( usero)Mit dovewtsinUse ' == .o, d) FanRd coslwt d)RaPo E. lwtIn- cos- = --= ..a fattoreRv distazionariarisposta risposta=Èdove Rv Ravelocità dinamico velocita'in;con = .II. d)tilt Po '¥Ra (E) Rd )) sinlwt -0sinlwt- -= - -- = Ra fattore(Ra RvEntra diIndove ;= := accelerazionerisposta inRdCasi limite per : )gente( ÉÌORdmax IntendoRaEneaRt Leose se-1 se; oo;Un RnCasi limite :perRv RnRviinax ¥Enzo lese oseo ; se-;> oo→en .WnCasi Ralimite per : Raina RaRa fusaEumeo 1 eO →