Appunti per esame di Dinamica delle strutture

SMORZAMENTO E RISPOSTA PERIODICA

Una funzione periodica si ripete a intervalli regolari di tempo. La sua frequenza fondamentale è identificata dal periodo. Il suo sviluppo in serie di Fourier è dato da:

f(t) = a0 + Σ [aj*cos(jω0*t) + bj*sin(jω0*t)]

dove f.a. = ∫[f(t)*cos(jω0*t)dt] e f.b. = ∫[f(t)*sin(jω0*t)dt]

La soluzione per un sistema elastico è data da:

u(t) = a*cos(ω0*t) + b*sin(ω0*t)

dove a = K*(d/dt)[u(t)] e b = M*(d^2/dt^2)[u(t)]

La soluzione generale è data da:

u(t) = Σ [Aj*cos(jω0*t) + Bj*sin(jω0*t)]

Dove A = (1/ω0)*∫[u(t)*cos(jω0*t)dt] e B = (1/ω0)*∫[u(t)*sin(jω0*t)dt]

La risposta a un impulso unitario è data da:

u(t) = Σ [Pj*sin(jω0*t)]

Dove P = (1/ω0)*∫[u(t)*sin(jω0*t)dt]

perfplttdt l' finito( ) integrale siaunitario temposul1martelloMI -1 _2 S )( tDELTA% DIRAC T: -Impulso unitario>ti te t centrato TinE.00SSH-TIflhdt-f.IT )00- n pH LtNewton Mii2. diprincipio ): =µ pp tu| mtiltr ) Dù)ùltr)plttdt in= =--ti 1 )Sitl' plt di) tendeteta tiltimpulso )Tse è → -→ = ,unitario Milt)quindi -1imponendo dell'le { IT applicazione) 0 impulso" →=condizioni significa seguentileavereÙIT ) =Liniziali condizioni: .in tet{ 0Utah Ita ) = !" "Ine- )" sinlwa.lt.tt tst→ MWDfunzione di rispostaP d unitarioimpulso^ dell' PITJDTimpulsoampiezza"" •" httdatti ptttdta impulsorisposta all' : =nltt-ofpltt.fr/t-TIdTlintegralediconvow> )zione!T ftp.etwnit-ti.sincwah-hdt+ .MWDdiintegrale DUAMEL : ? " GENERICASOLUZIONE"§ è dtWaltpltMIA mejo ))() Tsin a impulsoQualsiasi- --=Risposta gradinoa :F ^ li )) (410 0 o==p - E>NON SMORZATOCASO :U

Del seguente soddisfare l'equazione del moto iniziale deve essere:

$$\frac{d^2x}{dt^2} = f(x,t)$$

Questi metodi principali caratterizzati da 3 caratteristiche:

1. CONVERGENZA: una soluzione approssimata deve tendere ad una soluzione esatta, cioè quanto più accurata è la mia approssimazione, più accurata sarà la soluzione.
2. ACCURATEZZA: dice quanto la soluzione approssimata è accurata rispetto alla soluzione esatta.
3. STABILITÀ: deve garantire la stabilità della soluzione.

1° METODO DELL'INTERPOLAZIONE: l'idea è di interpolare la soluzione esatta su un intervallo temporale definito con una forzante lineare.

LIMITAZIONI:

1. Vale solo per sistemi lineari.
2. Vale solo per sistemi con un numero sufficientemente piccolo di gradi di libertà.

Consideriamo $t_i$ e $t_{i+1}$: e

Di At Dtitte0 istanteE prima:P funzionela ditforzantemiascrivo come :)PIT DI T Dpipi Pin picon+ = -= ,Dtii L 1e lacostante lineareLa dadataèrisposta :1) vibrazioni Taolibere dovute )(ci inizialiconta perua e .Risposta forzante gradinotipo2) cohddi iniziali nullea con o.riposoa tipodi3) Risposta nelleinizialeforzante Loudconrampaa 0.a riposo .? pltt.ptPi ._ ...... . .. tu.;:Ì sti t( )SMORZATO elDuanCASO NON :§ulta It^ dt)lwnlt.ttsinUnM ? )1¥ ' ";una siii-Matt ) (?valeQuanto )effettisommandoulta questi 3 smorzatonon{ ) (PizlwntlwntMH ) )( )) wnt+Ui sin cosn-1 eLos -= dfi-lfi.siniwntiwn.DE+ i coslwnthpi-Y-sinlw.ttsia idf;= - + DtiKA calcolareinteressame Mian i e- →← coscwubti)(Dti)(iii.( wn) wndti ) ntesti ( sin pMiei mi -cos += n = ++ , KWuLI !la ! ) fa"sinDp -;÷A. BniI{ ApiCpi Dhitvita +t= ltxati A 'iii. D' d'C' apivi.ci ai ++ + pi== A' )dove ( B'Ati ( Ati)Wu unsin un- cos=: - - e;) )Ati(C'

wudti(D' 1II cossin un -= = DtiK -CASO SMORZATO :dtSu 5(" )A. Dt )e- ( )( cos wddtisin +wa -.921-B.C.D. DA. DpiIii (Mia pithit += - C'iii. ciit D'B 'A ' Apimi pit+= ., 20/10/2020CENTRALIDIFFERENZEMETODO DELLE :Dt attt t )l 1' l lll lti Tgtititno ti- lebasa derivateL' temporalimetodo e-idea manierailsicui approssimare insu di tirispetto all' tempoistantecentrata .Ù hits hit hitsIii 2mi hi= i+- -= -; atAt7.t tperapprossimazione perapprossimazionel'accetterala velocità zione .Dimostrazione : Life Uihim hilei hi ialta altaVelocità - ; -velocità -; =; ;tidestra di Dttidt disinistraÙiit citli hiUitnVelocita i' - --: ; == ZDEMedia 2 UÌlii 'Ùli hihitvita IAccelerazione - --: = =at Dt delsostituiamo motole internoall'dell'trovateequazioni equazione :Pimiti' Equazione cuidel moto Kait+ i =-t.lidi tempoistanteall' 1)§1)µle II ( kiliTI hittiti

Zhisostituiamo tuinostre +: -:* - ;- ,approssimazioni ÈVI. Èdove IetfRACCOLGOTI vita ==: , È .fr/ui-itffIaa-kfui:-( Ie:pTI TROVO METODO ESPLICITOhip: = →incognita vi. :n "io ii.Un h-2no-Parto -1)da (cio -noto →- = ,Zdt DELdel to@ miiotc.nol' vuotoeq poscrivo tku:- =. .Po Clioda ii. Kuo-cui ricavo -: = +Dtsostituendo trovo : ù ÙioDÌdt.iono += -, .VERIFICA