Appunti di Dinamica delle strutture 2023/2024

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Abbiamo trovato la soluzione: Nei sistemi reali, dove è sempre presente una quantità di smorzamento,

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Posso definire: Il moto è amplificato rispetto a quello statico , quindi oscilla di più rispetto a Po/k, ma si muove

completamente in fase con la forzante. Invece:

Cioè se la pulsazione della forzante è più veloce di quella propria dell'oscillatore il coefficiente di

amplificazione dinamica è negativo, quindi il moto è amplificato ma è in opposizione di fase, quindi

forzante ed oscillatore vanno in opposizione.

Se dunque la forzante spinge verso dx l'oscillatore si muove verso sx e viceversa.

Il punto in cui lo spostamento è molto grande si chiama RISONANZA. Nel caso in cui non ci sia

smorzamento la curva [ il moto ] va all'infinito prima positivo e poi negativo.

Per noi questo punto è di grande interesse.

Esiste un macchinario, la vibrodina , che ha due masse eccentriche che girano in contro fase, genera una

forza netta che oscilla : se la poniamo in sommità di un edificio e mettiamo in rotazione le masse

eccentriche , possiamo far vibrare tutto l'edificio; questo accade perché quando , dopo aver aumentato il

moto della vibrodina, la pulsazione della vibrodina di eguaglia alla pulsazione dell'edificio:

nonostante la forzante imposta sia piccola.

Se guardiamo a dx:

ma Sono due scalari

Dove l'integrale particolare e quello generale sono:

[ cioè alla risonanza]

Ora : Ampiezza del moto

Vale per qualsiasi forzante armonica [

seno/ coseno ]

Quindi :

In un sistema a 100 gdl ci sarà una matrice di trasferimento 100x100 .

Guardiamo ora:

Qui dobbiamo fare però una premessa: Cioè si ammette che la risposta sia ritardata/anticipata

rispetto alla forzante

In un primo intervallo di tempo :

Cioè di quanto si amplifica rispetto allo

spostamento max che avrei applicando quella

forza in statica

Se ad esempio: Coefficiente di amplificazione

dinamico massimo per un sistema

smorzato

•Sono tabulati i valori di ' csi ' da usare in base al tipo di materiale [ ex. Per l'acciaio ]

Il grafico a sx lo abbiamo già commentato: il moto non esplode a meno che 'csi' non sia nullo, al crescere di 'csi' abbiamo che Dmax

scende .

•Terminiamo ora con :

Questo grafico ci dice : Quanto il moto si amplifica

Questo grafico ci dice :Quanto la risposta è sfasata rispetto alla forzante

10/10/2023

Facciamo le ultime considerazioni sull'oscillatore con forzante periodica armonica ,che è la base del corso di dinamica.

Cioè ci dà dei risultati con i quali costruisco ad esempio anche la risposta ad una forzante periodica non armonica.

Se prendiamo ad esempio:

Vediamo che sulla curva si mettono in evidenza alcuni punti:

Si definisce PULSAZIONE NEUTRA 'OMEGA' [ o rapporto di pulsazione neutra 'rn' ] il valore di 'r' per il quale :

Ricordando che : Rapporto di pulsazione neutra

È una proprietà propria del sistema

Invece :

È la forzante

Quindi se r=1 queste quantità sono uguali .

Se r > 1 allora esiste un punto in cui :

Pulsa più veloce rispetto a :

E il coefficiente di amplificazione è pari ad 1, cioè il sistema oscilla e lo spostamento max è pari a quello che avrei in

statica .

Poi si definisce :

Pulsazione di risonanza: quella per cui il moto è massimo [ amplificazione massima ].

Cioè prendo la funzione : [ curva rossa ]

Ne faccio la derivata, la pongo uguale a zero e calcolo la ' r ' :

Quindi quando mi trovo :

So che ho il max della curva rossa.

•Un parametro molto utile in dinamica è IL FATTORE DI QUALITÀ, che è il valore massimo della curva.

Quindi scrivo l'equazione di D e invece di mettere dentro ' r ' si mette 'rr'.

Quindi mi dice quanto, quell'oscillatore soggetto ad una forzante armonica , amplifica lo spostamento statico.

C'è da sottolineare che nell'ottica usata fino ad ora , il fatto che le curve salgano , è un aspetto negativo, perché per

come lo abbiamo visto noi ,in sostanza abbiamo un edificio, c'è un sisma che lo fa vibrare, e chiaramente io non

voglio che lo spostamento si amplifichi.

Però in altri contesti si progettano dei dispositivi anche per amplificare il moto. Per questo Q è chiamato fattore di

qualità, perché se lo vediamo in relazione all'edificio Q è una qualità negativa,invece in altri contesti è un beneficio.

• Sempre su questa curva :

Nota la ' rr ' si evidenziano:

-r1 e r2 che sono le pulsazioni di MEZZA POTENZA.

Per trovarle,una volta che ho il fattore di qualità, lo divido per la radice di 2, e mi trovo una linea che taglia la curva in 2

punti [r1 e r2 ]. Trovo così la forma chiusa di r1 e r2.

Si chiamano PULSAZIONI DI MEZZA POTENZA, perché la potenza del sistema va in funzione di spostamento al

quadrato [ Q al quadrato] e quindi trovo Q al quadrato diviso 2.

Sono utili perché in funzione di questi 2 valori sperimentalmente si riesce a determinare l'indice di smorzamento del

sistema.

La regione tra r1 e r2 è detta BANDA PASSANTE.

Facendo il punto :

Nelle:

Abbiamo trovato le soluzioni per ciascuna di queste soluzioni:

Funzione di trasferimento

Che è ciò che abbiamo nel seguente caso : Integrale particolare

Diventa un numero complesso

Cioè nel caso in cui ci sia lo smorzamento,ho la risposta dell'oscillatore forzato smorzato armonicamente,se lo

scrivo con un vestito diverso ,cioè prendendo una forzante pari a :

E poi facciamo sempre gli stessi passaggi, prendo un integrale particolare fatto così, quindi derivo 2 volte,

ipotizzando però che tra la forzante e la risposta ci sia uno sfasamento:

L'unica incognita è questa.

Nel caso invece che ci sia smorzamento, H diventa un numero complesso :

Quindi succede che la forzante è un numero reale, H è un numero complesso, la risposta sarà un numero

complesso.

Quindi ci sarà una parte reale ed una parte immaginaria di up[t], avrò qui di 2 funzioni.

Se ho il numero reale mi posso calcolare il modulo, che sarà l'ampiezza della risposta, e la fase [ sfasamento che

c'è tra la risposta e la forzante ].

Quindi fino ad ora abbiamo visto queste cose , e le limitazioni sono :

•Il sistema è lineare

•I coefficienti non cambiano nel tempo

•lo smorzamento è viscoso

Ora vediamo : CASO FORZANTE PERIODICA NON ARMONICA •Non armonica: non la posso

descrivere con una funzione

seno/coseno.

Prendiamo sempre il nostro oscillatore non smorzato:

E consideriamo una forzante fatta così:

Quindi è periodica ma non la possiamo descrivere con un seno o coseno .

Possiamo però conoscere il periodo :

E da qui calcolare :

Ci chiediamo qual è la risposta dell'oscillatore soggetto a questa forzante.

Ci viene in aiuto Fourier che ci dice che qualsiasi funzione periodica è uguale alla sommatoria di un set di funzioni

armoniche: Serie di Fourier

Chiaramente noi sappiamo che non possiamo fare una sommatoria di infiniti elementi, ma ne possiamo prendere '

n '.

Ora :

Se vale quanto detto da Fourier, se prendo la mia equazione del moto:

All'istante t = 0 l'equilibrio dinamico che ho è:

E posso quindi scrivere:

Ora poiché il nostro sistema è lineare posso scrivere :

Cioè la forzante la posso scomporre in tante ' p ' e per ciascuna di queste posso scrivere l'equazione del moto.

La risposta complessiva sarà:

Quindi io sto sfruttando sia il fatto che il sistema è lineare sia Fourier.

Ora :

P1, P2, .... P20 sono forzanti armoniche e quindi la risposta è data dalla somma di tante risposte fatte così:

[Chiaramente occorre che il sistema sia lineare]

Com'è fatta la generica armonica?

Questi coefficienti invece non sono noti.

Proviamo a calcolare quanto vale l'armonica:

Calcoliamo ora:

Quindi se mi calcolo quella complessiva:

Ora cosa faccio :

Esiste un'altra notazione nei testi :

In un caso abbiamo :

Nell'altro caso abbiamo:

Vediamo che la parte a dx è uguale, il coefficiente a0 invece cambia.

Nel primo caso a0 corre da 0 a infinito.

Nel secondo caso corre da 1 a infinito.

Quindi cambia solo la formula per calcolare:

Possiamo verificare che non cambia nulla tra le due.

Ora partiamo dalla seconda notazione:

Il nostro scopo è calcolare :

Ci viene sempre in aiuto Fourier che ci dice :

•Moltiplica p[t] per :

E integra tra 0 e T.

Ad esempio moltiplico per :

Quello che ottengo è che l'integrale del coseno da zero a T, quindi questa parte va vai.

Perché ho tanta area sopra quanta area sotto:

Andando avanti invece se ad ex. Metto n= 2 la pulsazione aumenta e quindi mi aspetto più cicli.

Ma se faccio l'integrale ottengo sempre zero.

Posso dire in realtà che :

Quindi solo quando ho il prodotto tra due funzioni uguali:

E integro sul periodo, ottengo un numero.

In tutti gli altri casi invece ho zero.

Tutti gli altri integrali spariscono.

Quindi io posso scrivere :

Ne segue che:

Ora se ripartissimo da capo e invece di moltiplicare tutto per :

Moltiplico tutto per:

Ho che tutto si annulla tranne l'integrale di b1,e da qui trovo:

Quindi sono quando la funzione trigonometrica è al quadrato l'integrale è non nullo perché non oscilla più intorno a zero

ma oscilla intorno a 0.5.

In realtà si vede che questa formula è ricorsiva, cioè:

Queste formule valgono per:

Quindi noi possiamo calcolare:

Ma manca :

Lo ottengo moltiplicando a sx e dx per :

Posso quindi scrivere : Tutti nulli

Che è proprio uguale a questa formula :

Per questo diciamo che la formula è ricorsiva.

Però quando ci metto :

•a0 ci dà una sorta di spostamento del punto / del valore rispetto al quale oscillano tutte le cosinusoidi/sinusoidi.

Quindi questo termini serve a portare l'oscillazione non intorno allo 0 ma intorno allo 0,5.

Sono quindi tutte shiftate verso l'alto di 0,5.

-Fino ad ora abbiamo visto in dettaglio come si trovano i coefficienti quando troviamo questa forma del