Appunti misure meccaniche e termiche

Misure meccaniche e termiche

Concetti fondamentali della misurazione

Misurazione è il processo mediante il quale si quantifica una grandezza fisica. Misura è il risultato di tale processo. L'incertezza di misura può essere causata da diversi fattori:

• Interferenza dello strumento di misura sul fenomeno fisico che si vuol misurare (errore di inserzione).
• Livello di approssimazione del modello.
• Grandezze di disturbo non identificate.

L’assegnazione dell’incertezza serve a delimitare un intorno entro cui il parametro misurato può variare. Una misura è definita da un’informazione costituita da un numero, un’incertezza e un’unità di misura assegnati a identificare un parametro in un determinato stato del sistema.

Durante una misurazione, è necessario considerare i fenomeni principali e secondari. I fenomeni principali sono costituiti prettamente dalla misura dell’oggetto mentre i fenomeni secondari o di disturbo sono grandezze di interferenza che dipendono dall’ambiente di misura: temperatura, umidità relativa dell’aria e stato di sollecitazione (trazione o compressione). Poiché non è possibile operare in un ambiente isolato dal resto del mondo, le grandezze di disturbo possono influenzare la misura introducendo delle interferenze sulla grandezza principale.

Trasduttori elementari

Il trasduttore elementare è un elemento il cui ingresso è sensibile a uno o più parametri e la cui uscita è una grandezza correlata al parametro di ingresso. Un trasduttore elementare è simboleggiato da un blocco che rappresenta la relazione lineare che lega l’uscita all’ingresso o funzione di trasferimento. Nel caso di uno strumento per misure statiche, la sua funzione di trasferimento può essere rappresentata dal solo fattore K.

Ingressi desiderati e di disturbo degli strumenti di misura

Idealmente, uno strumento di misura deve avere elevata sensibilità alla variazione della grandezza fisica che deve rilevare (ingresso desiderato) e sensibilità nulla per tutte le grandezze che non sono desiderate, ovvero ingressi di disturbo. Gli ingressi di disturbo si dividono in due tipologie:

• Ingressi modificatori: variano il valore dell’uscita variando la legge fisica che lega l’ingresso all’uscita.
• Ingressi interferenti: variano solo l’uscita, cioè anche se l’ingresso desiderato non varia, si ha una variazione di uscita pari a Δ ≠ 0.

Compatibilità delle misure

La compatibilità delle misure è una condizione che si verifica quando le fasce di valore assegnato in diverse occasioni come misure dello stesso parametro nello stesso stato hanno almeno un elemento in comune. Perché diverse misure siano compatibili, è necessario e sufficiente che esista un elemento comune a tutte le fasce di valore: un insieme di misure che soddisfa questa condizione si dice mutuamente compatibile. Il concetto di compatibilità delle misure sostituisce il concetto di uguaglianza fra le misure.

Date tre misure tutte con incertezza disposte come in figura: , , ± solo 1-3 e 2-3 sono mutamente compatibili e 1-2 non sono compatibili perché non ci sono elementi comuni nei loro intervalli. Risulta evidente che la compatibilità non è una proprietà transitiva come l’uguaglianza.

Sistemi di unità di misura

Una unità di misura è un termine di riferimento, adottato per convenzione, per confrontare una grandezza con altre dello stesso tipo. Un sistema di unità di misura è un insieme organico di definizioni di unità di misura pertinenti a grandezze di specie diverse tra di loro collegate.

Il campione è il termine di riferimento nell’ambito delle grandezze della stessa specie. Esso costituisce l’unità di misura. Il campione deve essere preciso, accessibile, riproducibile e invariabile. La tendenza attuale è di riferirli alle proprietà atomiche della materia.

Sistema internazionale

Il sistema internazionale è composto da 7 unità di misura:

• L lunghezza metro [m]
• M massa chilogrammo [kg]
• T tempo secondo [s]
• I intensità di corrente elettrica ampère [A]
• Θ temperatura termodinamica kelvin [K]
• N quantità di materia mole [mol]
• J intensità luminosa candela [cd]

Ricorrendo al sistema internazionale, è possibile definire l’unità di una qualsiasi grandezza derivata attraverso espressioni del tipo: [] [] [] []= Dove a, b, c sono le dimensioni della grandezza derivata.

Fondamenti di analisi statistica

L’esecuzione di una misura richiede un confronto tra una quantità incognita e una nota. Nessun risultato è esente da errore. L’errore è la deviazione o scarto tra la grandezza misurata e il valore di misura atteso. Qualsiasi misura è soggetta a limitazioni: inaccuratezze e imprecisioni che vanno indicate insieme al valore della misura.

Accuratezza: grado di approssimazione della quantità misurata al valore atteso. Precisione: indicazione numerica dell’approssimazione di un insieme ripetuto di misure della stessa quantità al valore medio dell’insieme delle misure. Indica pertanto il grado di scostamento dei risultati delle misure tra loro.

Esempio dell’arciere: Nel primo caso (arciere lontano e in piedi) il valore medio al valore medio teorico ma i valori sono sparsi quindi non precisi. Nel secondo caso (arciere seduto e più vicino) ho valori precisi molto vicini tra di loro ma lontani dal valore medio teorico quindi poco accurati. Nel terzo caso (arciere molto vicino al bersaglio) invece ho valori accurati e precisi dove ho valori sempre uguali a sé stessi e valore medio vicino a quello teorico.

Classificazione degli errori

• Errori grossolani: sono dovuti a imperizia o distrazioni dell’operatore. Possono essere eliminati ripetendo l’esperimento.
• Errori sistematici: si ripetono con lo stesso segno e ampiezza ripetendo la misura con la stessa strumentazione in condizioni ambientali e operative immutate. Sono dovuti a non corretta taratura o a difetti costruttivi degli strumenti. Influenzano l’accuratezza della misura. Per evidenziare la loro entità i risultati della misura vanno confrontati con i risultati ottenuti usando strumenti o metodi più accurati.
• Errori accidentali o random: permangono anche quando sono stati eliminati gli errori grossolani e quelli sistematici. Sono dovuti a imprevedibili fluttuazioni delle condizioni operative, strumentali e ambientali.

Gli errori sistematici possono essere eliminati ripetendo la taratura dello strumento. Gli errori accidentali possono essere quantificati mediante la taratura e rappresentati dall’incertezza calcolata durante l’operazione di taratura. Essendo di carattere aleatorio, possono essere trattati solo con metodi statistici.

La riduzione degli errori sistematici migliora l’accuratezza, il valore misurato si avvicina al valore atteso. Quanto più gli errori accidentali sono piccoli tanto più la misura è precisa.

Determinazione dell’incertezza mediante misure ripetute

Dato un campione statistico di n elementi ottenuto in maniera casuale, la migliore approssimazione o il valore più probabile del campione è rappresentata dalla media aritmetica dei valori assunti dagli n elementi: 1 = ̅ = . La media rappresenta la stima del valore atteso e la differenza tra il valor medio e il valore atteso è detta bias, o indice di inaccuratezza della misura.

Per determinare la precisione della misura si considera la dispersione dei dati intorno al valor medio. La deviazione dell’i-sima misura xi dal valor medio vale: = − ̅. Essa è detta anche residuo.

Deviazione standard

La deviazione standard rappresenta la migliore misura della dispersione. È definita in termini dei quadrati delle deviazioni dalla media: 1 1= = ( − ̅ )−1 −1. La deviazione standard è indice dell’imprecisione della misura.

La varianza è il quadrato della deviazione standard o scarto quadratico medio: 1 = ( − ̅ )−1. Si divide per perché, in riferimento agli n valori del campione, si può pensare che gli n gradi di libertà (−1) del sistema si riducono di una unità perché ne è già stata calcolata la media.

Rappresentazione dei dati appartenenti al campione

Il metodo più importante per rappresentare graficamente gli elementi appartenenti a un campione si basa sull’utilizzo della frequenza delle letture, cioè il numero di volte che la generica lettura si ripete all’interno delle n letture. Si definisce frequenza relativa: = Nel caso in cui tutte le letture fossero diverse le une dalle altre, la frequenza relativa sarebbe uguale per tutte le letture, ovvero Per evitare questo rischio, conviene raggruppare sottoinsiemi di letture in classi di appartenenza. Si definisce un certo numero di intervalli tra il valore minimo e il valore massimo misurati (non necessariamente della stessa ampiezza) che definiscono le diverse classi di appartenenza. La frequenza relativa è allora rappresentata dal numero delle letture che cadono in ogni classe diviso n.

Definizione di probabilità

La probabilità che un elemento del campione si trovi all’interno dell’intervallo i-esimo che definisce la classe, è definita come: = lim →

Distribuzione di probabilità

La distribuzione di probabilità è l’andamento delle probabilità in funzione delle K classi d’appartenenza. La rappresentazione della distribuzione di probabilità può essere fatta o con l’istogramma delle frequenze o con il poligono delle frequenze, cioè mediante K punti discreti.

Funzione densità di probabilità

Nei diagrammi mostrati, è stata riportata come ordinata la frequenza percentuale, tuttavia, spesso è più utile ricorrere ad una nuova funzione detta densità di probabilità. Nel caso di un numero infinito di dati, come classi di appartenenza, si potrebbero scegliere intervalli infinitesimi. In tal modo si avrebbe un numero infinito di classi aventi ciascuna un numero finito di dati. I dati pertanto non saranno più rappresentati da un istogramma o da un poligono ma da una curva continua detta funzione densità di probabilità definita come il rapporto fra la frequenza percentuale e l’ampiezza delle classi d’appartenenza. = () = lim ΔΔ →

Funzione di densità di distribuzione normale o gaussiana

Se le misure sono sufficientemente numerose e tendono ad un valore centrale finito e se la variabilità delle misure dipende da molte cause ciascuna di esse avente una tendenza debole a scostare il risultato dal suo valore atteso di quantità positive o negative con uguale probabilità, la funzione di densità di distribuzione di probabilità può essere rappresentata dalla legge di Gauss: ( )1() = √2

Essa è definita dai parametri caratterizzanti il campione statistico: il suo valor medio e la sua deviazione standard, indice dell’incertezza della misura. La forma della curva è controllata da che definisce la larghezza della campana, mentre fissa la posizione della curva lungo l’asse delle ascisse. L’area sottesa dalla curva è la probabilità di trovare un elemento x in tutto il campo di esistenza del campione e pertanto vale 1. Integrando la curva tra e si ottiene il valore 0.683, ovvero la probabilità che la lettura cada tra è del 68.3%. La probabilità che la lettura cada tra è del 95.4%. La probabilità che la lettura cada tra è del 99.9%. I numeri reali 1, 2, 3 si chiamano livelli di confidenza o fattori copertura.

Incertezza estesa

Il 99.7% delle letture cade ad una distanza dal valor medio di ±3 incertezza estesa (deviazione standard x fattore di copertura).

Incertezza: il numero da associare alla misura sarà il valore medio della distribuzione di densità di probabilità e l'incertezza relativa, che è la deviazione standard della distribuzione di densità di probabilità. Se moltiplicata per k (fattore di copertura), si parla di incertezza estesa. In realtà, l’incertezza deve essere data come incertezza sulla media che rappresenta il valore stimato e no come dispersione dei dati intorno alla media. Si può dimostrare che la deviazione standard della media vale: () = √. Pertanto, l’incertezza diminuisce all’aumentare del numero di dati esaminati, ovvero tanto più il campione si avvicina all’universo ().

Nelle applicazioni commerciali e industriali si preferisce dare l’incertezza come intervallo intorno al risultato della misura nel quale ci si aspetta sia compresa una gran parte della distribuzione dei valori che possono essere assunti dal misurando. Pertanto, essa vale: ∑ = ∙ () ( = 3). Con k fattore di copertura che dipende dal grado di confidenza della distribuzione. Come si è visto, per una distribuzione gaussiana:

• Il grado di confidenza del 68.3% vale = 1
• Il grado di confidenza del 95.4% vale = 2
• Il grado di confidenza del 99.9% vale = 3

Incertezza tipo di categoria B

Se non è possibile ripetere la misura, l’incertezza può essere stimata in base a tutte le informazioni disponibili:

• Misure precedenti
• Esperienza o conoscenze generali delle caratteristiche e proprietà di materiali e strumenti
• Specifiche tecniche del costruttore
• Dati di certificati di taratura
• Dati di manuali

In questi casi, la distribuzione di ampiezza si assume a priori ed è una distribuzione rettangolare (tutti i valori tra e sono ugualmente probabili). L’incertezza di categoria B si può calcolare come: = √3.

Caratteristiche degli strumenti di misura

Taratura: Le caratteristiche di uno strumento di misura sono la sintesi di un modello matematico che descrive il comportamento dello strumento e la relazione che lega ingresso ed uscita. Le caratteristiche possono essere statiche se sono legate alla risposta dello strumento a ingressi non variabili nel tempo, dinamiche se legate alla risposta dello strumento a ingressi tempo varianti.

I procedimenti per la determinazione delle proprietà metrologiche di uno strumento di misura sono:

• Analisi dei principi fisici alla base del funzionamento dello strumento mediante un modello matematico sintetico rappresentativo del suo comportamento. Una volta effettuato il modello esso va verificato mediante la taratura.

Taratura statica

I principali obbiettivi sono: ottenere sperimentalmente le relazioni ingresso-uscita (curva di taratura) e quantificare le prestazioni di uno strumento (calcolare il valore delle sue caratteristiche statiche). È eseguita ponendo lo strumento in un ambiente controllato in cui viene variato solo un ingresso in maniera quasi statica e gli altri mantenuti costanti. La taratura viene effettuata misurando l’uscita dello strumento e monitorando l’ingresso mediante uno strumento con un’incertezza inferiore di almeno un ordine di grandezza rispetto a quella dello strumento da tarare. Mediante taratura statica si determina la sensibilità statica dello strumento o coefficiente di taratura, la linearità, l’accuratezza, la sensibilità ai disturbi.

Esempio di taratura statica: dinamometro a molla. L’ingresso desiderato è la forza mentre l'uscita è lo spostamento. Un ingresso disturbo è la temperatura che agisce sul modulo elastico della molla e sulla dilatazione degli elementi meccanici. Pertanto, è un ingresso modificatore (vale la legge che lega forza e spostamento e = ) interferente (produce un'uscita diversa da zero anche se l'ingresso forza è nullo a causa dell’allungamento prodotto dalla dilatazione termica).

Analisi di regressione – metodo ai minimi quadrati

L’analisi di regressione serve a determinare la curva interpolante che meglio approssima una distribuzione di coppie di dati. Si supponga di aver acquisito N valori delle due variabili e e che esse sono legate da una relazione lineare = + . Per la generica coppia, la deviazione del valore di calcolato usando la retta e il valore misurato sarà: = + − . Il valore più probabile di m e b, ovvero quelli che permettano di individuare la retta che meglio approssima la distribuzione delle coppie di punti sperimentali, si ottengono minimizzando la quantità: ( ) = + − . Per minimizzare tale funzione, la sua derivata rispetto alle due incognite m e b deve essere uguagliata a 0. =0 =0. Si ottengono così due equazioni che forniscono i valori di m e b. L’analisi della regressione permette di determinare: (∑ )(∑ )∑ −= (∑ )∑ −(∑ )(∑ ) − (∑ )(∑ )= (∑ )∑ −. Una volta calcolato il valore di dalla retta così determinata si può determinare il suo scostamento dal valore medio.