Appunti completi del corso "Misure meccaniche e termiche"

Norma UNI 4546 (1984-2018) - Misure e Misurazioni Termini e Definizioni

Una misura è un'informazione costituita da 3 elementi essenziali:

- numero

- incertezza

- unità di misura

Per rendere univoca la misura bisogna considerare anche lo stato del sistema,

quindi le condizioni in cui avviene la misura.

Incertezza: intorno del valore di riferimento(ovvero il numero)

numero

- inc. + inc. Questo modello è stato superato perché implicava l'esistenza

di un "valore vero" di misura.

Prima: misura = numero + errore di misura Ma c'è una differenza tra modello e realtà fisica, che viene

Adesso: misura = intervallo di incertezza detta "incertezza intrinseca o definizionale"

In questo modo è stato eliminato il concetto di un "valore vero"

più un "errore di misura"

Taratura

Valore nominale, ovvero il valore ideale, stampato sul pezzo che stiamo usando per tarare lo strumento.

Solo durante le operazioni di taratura, parleremo comunque di errori di misura, poiché gli scostamenti dal

valore nominale sono dovuti proprio allo strumento in questo caso.

Errore = (valore misurato) - (valore nominale)

Misurazione valore di riferimento

Siccome le misure sono intervalli di incertezza, non ha senso dire

che due misure sono uguali, perché non sono più numeri. - inc. + inc.

Possiamo solo dire che due misure sono "compatibili" se hanno

un intervallo di sovrapposizione.

La compatibilità non è transitiva: 1 compatibile con 2

2 compatibile con 3

1 NON compatibile con 3

La "misura" è il risultato della "misurazione", che quindi è l'azione di effettuare una misura.

Il "misurando" è l'oggetto della misurazione

ISO: mondiale

CEN: europea

UNI: italiana Vocabolario

ISO GUIDE 99 (2008) - VIM UNI-CEI 70099 (2010)

Internazionale

Metrologia una misura è costituita da un intervallo di valori assegnati al misurando

+

qualsiasi altra informazione

Misura = Measurement Result

Misurazione = Measurement

Statistica e probabilità per il calcolo dell'incertezza

Anche se vengono effettuate migliaia di misurazioni, non è comunque possibile prevedere quale sarà la misura successiva.

hanno delle caratteristiche di regolarità su più osservazioni,

Variabili aleatorie: ma di cui non si può predire la singola osservazione.

Parametri per definire l'incertezza, dandogli un significato in termini di probabilità

- Media: sommatoria delle differenze tra le singole osservazioni e la media,

- Varianza: al quadrato, fratto il numero di osservazioni.

è stato definito per riportare la varianza all'unità di misura del nostro misurando

- Scarto Tipo:

(Deviazione Standard)

Frequenza Cumulata Frequenza Relativa Cumulata

Ovvero il numero di osservazioni al In percentuale

di sotto dei valori corrispondenti.

Istogramma delle Frequenze Istogramma delle Frequenze Relative

Ovvero quanti valori sono compresi

nei vari intervalli di temperatura.

Il difetto di questa rappresentazione è che se si cambia

la suddivisione in intervalli, cambia anche la frequenza.

Per ovviare a questo problema si divide la frequenza ottenuta per l'ampiezza dell'intervallo.

hanno come possibile uscita dei valori discreti, cioè dei valori con un numero di cifre pari alla sensibilità

Variabili Aleatorie Discrete: dello strumento di misura, quindi NON può assumere TUTTI i valori (per esempio con il metro si

possono misurare solo valori con una precisione di un millimetro, tipo non si può trovare 34,2 mm)

variabile aleatoria

misura

Al contrario una variabile reale si dice "continua", e noi useremo questo tipo di variabili,

perché le funzioni che studieremo sono continue, e poi adatteremo a variabili discrete.

numero di volte che si è ottenuta la misura x (definizione frequentista)

Probabilità: numero delle misurazioni totali

Probabilità Cumulata:

probabilità che si verifichino

osservazioni minori del valore x

Però questo grafico non permette di vedere dove i dati sono concentrati.

dati compresi tra x1 e x2

larghezza dell'intervallo

per avere un'informazione localizzata, riduciamo l'intervallo:

Densità di probabilità:

variabili discrete (va bene la sommatoria) variabili continue (integrali)

Media:

Varianza:

Distribuzione di Gauss Nel mondo reale ci sono delle "grandezze di disturbo", che

forniscono misure molto diverse dal valore reale.

Si osserva che la distribuzione dei risultati è di tipo "gaussiano".

La gaussiana dipende però sia da σ che da μ, allora si può riscrivere sostituendo con la variabile z:

Il vantaggio è che questa funzione è unica.

Gaussiana Normalizzata

- La media diventa 0

- Lo scarto tipo diventa 1

Utilizzando questa si trovano i valori di z,

Le due aree sono uguali, poiché la gaussiana è simmetrica. ma per ricavare x basta utilizzare la

relazione di sostituzione conoscendo μ e σ

In corrispondenza di μ, poiché la gaussiana è simmetrica,

l'area vale il 50% del totale.

L'area totale sottesa dalla gaussiana è uguale a 1, ovvero equivale al 100% delle probabilità.

Ora vogliamo trovare quel Δ affinché l'intervallo di probabilità sia di un valore prefissato, per esempio del 95%.

Ma questa area può essere anche vista come 1 - l'area della coda

di destra, che però è uguale a quella della coda di sinistra, quindi:

Valori ricorrenti:

La conoscenza di F o f ci consente di determinare l'incertezza con un significato ben preciso:

Nel 99,7% dei casi una qualsiasi misura successiva

si troverà dentro questo intervallo.

Procedimento inverso:

Si fa una misura sola, conoscendo però lo scarto tipo delle misure, e si ricava l'intervallo.

La media sarà compressa nell'intervallo con un "livello di confidenza" del

Quindi al 99,7% dei casi la media sarà compresa in quell'intervallo.

Esempio: Misura del diametro di un bullone da un righello.

Siccome la sensibilità è di 1 mm, tutte le misurazioni daranno come risultato 8,

quindi l'intervallo va da 7,5 a 8,5.

risoluzione

Media:

Varianza:

Scarto Tipo:

Analisi Campionaria

Campione: è una porzione di soggetti che viene misurato per caratterizzare un'intera popolazione.

più elementi n considero, più mi avvicino a μ

valore medio del campione

media di tutta la popolazione

Si possono prendere anche più campioni, in modo da considerare tutta la popolazione.

Se si prendono tutti i valori medi, si può fare il valore medio dei valori medi:

Quindi si può affermare che è "stimatore corretto" di

Le stesse considerazioni si possono fare per la varianza: bisogna aggiungere però un "- 1"

Quindi si può anche affermare che è "stimatore corretto" di

Ma quanto lontano è x medio da μ?

Stiamo osservando come sono sparse le medie di campioni fatti di n elementi

Quando n tende ad infinito, la gaussiana si stringe e tende ad

una retta verticale, quindi si trova che x medio coincide con μ.

Esempio:

Da una serie di misure si ottiene una media di:

Le misurazioni però sono effettuate con uno strumento che ha una sensibilità inferiore.

Allora per riportare la misura ad essere discreta posso dire che la misura è l'intervallo:

In questo caso però dobbiamo conoscere lo scarto o la varianza. perché in questo caso vogliamo

un livello di confidenza del 95%

Ma allora invece che mettere mettiamo la sua migliore stima, cioè

Passiamo alla gaussiana normalizzata:

quindi consideriamo: Utilizzando s invece che σ, otteniamo un'altra variabile di

sostituzione che chiamiamo t.

Se n è molto elevato si ottiene una gaussiana, più invece n diventa

piccolo (~10), la curva è schiacciata al centro, e sollevata ai lati.

Queste curve sono una famiglia, non è una curva unica(come la gaussiana): "funzioni t-student"

numero di gradi di libertà della funzione

Anche nel grafico delle F otteniamo più curve: Se vogliamo l'intervallo in cui è compreso il 95% delle misure,

dobbiamo cercare F pari al 2,5%

A pari livello di confidenza, t è maggiore di z:

Caso con due variabili aleatorie

Vogliamo considerare la quantità:

Varianza di x:

Varianza di y: Ci dice se le variazioni della x sono legate alle variazione delle y.

Covarianza:

Può essere anche negativa.

Esempio:

ci manca μy: se c'è y = -kx più una componente

aleatoria, invece che ottenere dei

punti allineati ad una retta, ottengo

Se la covarianza è nulla, le variabili sono statisticamente indipendenti una nuvola vicino alla retta.

La covarianza allora sarebbe un

Calcoliamo ora la varianza di z: po' più piccola rispetto a k.

La covarianza è diversa da zero

se c'è nuvola di punti.

se x e y sono indipendenti:

se x e y sono dipendenti:

Vediamo adesso quanto vale la varianza di y in funzione di x

Esempio:

Esempio:

Quando sommiamo tante variabili, la somma è sempre una distribuzione gaussiana

Criterio di esclusione (Chauvenet) Si escludono i valori che complessivamente hanno una probabilità

Perché per esempio quel punto lì potrebbe essere dovuto a qualcosa che

ha influenzato lo strumento di misurazione, o a un errore di lettura, e si

elimina perché altrimenti influenzerebbe significativamente la media.

Si usa 1/2n perché in questo modo la probabilità che compaia un valore

anomalo in una delle osservazioni è 1/2.

Per applicare il criterio di Chauvenet:

- si calcola la media

- si calcola la varianza

Si costruisce la Gaussiana con: Si determinano gli x che hanno una probabilità di verificarsi

inferiore a 1/2n.

Sono quelli troppo lontani rispetto alla media, quindi ne escludo

metà perché troppo grandi, e metà perché troppo piccoli

Quindi nel grafico della frequenza cumulata bisogna cercare le F(x) pari 1/4n, quindi si trovano xmin e xmax:

Supponiamo per esempio di aver fatto 100 misure:

Si eliminano tutti i punti minori di xmin, e maggiori di xmax:

se viene eliminato numero di elementi eliminati

A questo punto di trova una nuova media corretta:

L'applicazione di questo criterio parte dall' , quindi vale solo se i dati sono gaussiani.

Ipotesi di Distribuzione Gaussiana

Dobbiamo verificarlo, ci sono due metodi:

- metodo grafico

2

- Test del Χ

Metodo Grafico Se ipotizziamo che i dati siano Gaussiani, si può costruire un

istogramma delle frequenze relative.

Ciò che ci chiediamo è: che forma avrebbe quell'istogramma

se la distribuzione fosse gaussiana?

numero elementi favorevoli

Frequenza Relativa: è analoga alla definizione frequentistica di probabilità

Dai dati si ricavano:

Cerchiamo quindi la Gaussiana con:

Questa Guassiana avrà una F(x): F(x) è la probabilità di

avere valori più piccoli di...

Adesso si osserva quanti dati ci sono nella classe compresa tra x1 e x2,

e si calcola la probabilità di avere valori in questa classe:

Questa P1 è l'equivalente alla frequenza relativa 1, quindi riportiamo Volendo si può anche calcolare la frequenza

sull'istogramma dei punti, che ci dicono che se fosse gaussiana, la cumulata invece della frequenza relativa, per poi

frequenza relativa dovrebbe avere quel valore: paragonarla con quella di una gaussiana:

è una frequenza

relativa che però

in questo caso

indica tutti i dati

più piccoli di xi

Se è gaussiana, avremo valori non nulli anche per le classi

che sperimentalmente avevano dato valori nulli, perché la

gaussiana vale zero solo quando tende a infinito. Arriva a 1 in corrispondenza del

massimo dei valori osservati.

Test del È un criterio oggettivo

Analizza le deviazioni tra la gaussiana e i punti della distribuzione osservata.

I dati si dividono in classi, che non devono essere per forza uguali, quindi non devono avere la stessa larghezza.

Bisogna dividere l'intervallo in almeno 4 classi, e in ogni classe ci devono essere più di 5 eventi.

numero di classi:

eventi in ogni classe:

Dagli n dati si ricavano:

Si costruisce la Gaussiana con:

A questo punto si calcolano le "frequenze attese" in ogni classe,

Per farlo sfruttiamo la probabilità cumulata:

Per esempio: numero di eventi attesi con ?

Calcolo la probabilità e la moltiplico per il numero di misure fatte:

(in generale non è un intero)

Frequenze attese Frequenze osservate (conto semplicemente i

valori ottenuti nelle

varie classi)

È un indicatore di quanto la distribuzione assomiglia a quella teorica della guassiana,

quindi quanto le frequenze osservate si avvicinano alle frequenze attese.

2

X è molto piccola quando i dati sono molto gaussiani

2

Tracciamo la frequenza cumulata di X : Numero di gradi di libertà:

All'aumentare dei gradi di libertà, la curva si appiattisce (ma non è una gaussiana)

2

Se imponiamo come limite un X del 95%, significa che se prendiamo

2

dei dati, e ne calcoliamo il X , nel 95% dei casi esso sarà minore di

questo valore. 2

Nel restante 5% dei casi abbiamo un X maggiore, quindi vuol dire che i

dati non sono gaussiani, con un rischio d'errore del 5%.

Se , possiamo dire che i dati sono gaussiani,

con un rischio d'errore del 5%.

2 2

Talvolta si possono considerare anche X troppo piccoli(per esempio un X del 5%) ciò significa che le frequenze

osservate sono talmente vicine a quelle attese, che statisticamente si verifica raramente (cosa???) , nel 5% dei casi.

Valutazione dell'incertezza

Ci si riferisce alla norma: UNI-CEI-70098-3 (2016) Guida all'espressione dell'incertezza nelle misure

È il corrispettivo italiano della: ISO-GUIDE 88-3 (GUM - 1995) Guide to the evaluation of Uncertainty in Measurement

Si parla di "errore" non quando si effettuano misure normalmente, ma quando si

caratterizza uno strumento misurando qualcosa di noto, che ha un valore nominale Vn.

Prova di ripetibilità di uno strumento

- si prende uno strumento

- si prende un campione

- si ripete n volte la misurazione, da cui si otterranno n valori

- da questi si calcola il valore medio

- e lo scarto tipo

"errore sistematico": "scarto tipo di ripetibilità"

Siccome sia la media, che il valore nominale sono "misure",

dire che l'errore sistematico è uguale a 0 vuol dire che x medio se e sono misure compatibili

e Vn sono due misure compatibili.

Esempio: sono compatibili, quindi lo strumento non ha errori sistematici

L'errore sistematico comunque non è un errore grave.

Se per esempio avessi ottenuto che ε non fosse nullo, ma per esempio fosse:

Basta traslare la scala di 0,1 mm, in modo tale che se poi si fa un'altra misura,

ε diventa nullo.

Quindi gli errori sistematici si possono correggere.

Esempio:

errore casuale NO errore sistematico

errore sistematico

(scarto tipo di ripetibilità) piccolo errore casuale

piccolo errore casuale

Siccome gli errori sistematici si possono correggere, per la valutazione dell'incertezza si assume che tutti gli strumenti

siano tarati in modo corretto, quindi con un ε = 0

Obiettivo: definire un intervallo che con data probabilità (livello di confidenza) contiene la media delle misure.

Valutazione di tipo "A" dell'incertezza

- Si prende un campione di n misure

- Si calcola la media

- Si calcola lo scarto tipo

- Si calcola lo scarto tipo della media

- La misura diventa: incertezza tipo ( = scarto tipo)

Questa valutazione si può applicare solo se:

- si può ripetere n volte la misura

- lo strumento è esente da errori sistematici

Oggetto: misurando

incertezza intrinseca (cioè anche misurandolo con uno strumento

perfetto ci sarebbe un'incertezza)

non va bene se si vuole utilizzare

questa valutazione dell'incertezza

Quando si usa uno strumento si aumenta la dispersione:

L'incertezza è aumentata a causa Se invece c'è un errore sistematico, il valore

della misurazione dello strumento. medio non coincide con il valore medio x.

NON c'è errore sistematico (ε = 0) Se si considera il solito bullone che aveva misura poco inferiore a 8, e

si fanno n misure con un righello, si otterrà n volte 8.

Se si usasse una valutazione di tipo A, si otterrebbe una misura di 8, con un'incertezza tipo uguale a 0.

La valutazione A non è applicabile, ma perché?

Il problema è che lo strumento, anche se è tarato correttamente, anche se non ha alcuna imperfezione, poiché è affetto da una

risoluzione, determina lo stesso un errore sistematico ε. In questo caso per esempio nonostante la media sia minore di 8, tutte le

misure vengono approssimate a 8, quindi si aggiunge sempre una quantità positiva alle varie misure.

In generale è presente un errore sistematico se lo scarto tipo è inferiore alla risoluzione dello strumento:

errore sistematico

NO errore sistematico in questo caso infatti, la risoluzione dello strumento è molto superiore, e quindi non

c'è errore sistematico, perché a volte si approssima per eccesso, a volte per difetto,

quindi a volte si aggiunge una quantità positiva, mentre a volte una negativa, quindi

la media degli errori di arrotondamento è zero

Così però abbiamo un paragone tra uno scarto tipo e una risoluzione.

È più elegante un paragone tra scarti tipo: densità di probabilità

sca