Appunti Misure Meccaniche e Termiche

MISURE MECCANICHE E TERMICHE

MISURAZIONE: attribuire a un misurando una misura

MISURANDO: grandezza oggetto della misurazione

DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ:

• FENOMENI CAUSALI O ALEATORI: fenomeni empirici ripetibili riferendo non regolarità deterministica e prevedibile a priori, i risultati non sono sempre gli stessi.
• SPAZIO CAMPIONE: insieme di tutte le osservazioni possibili.
• PROBABILITÀ: numero associato al verificarsi di un evento.

VARIABILE CASUALE:

Variabile che ha come dominio lo spazio dei campioni e come codominio la retta reale.

• DISCRETA: codominio con numero finito di interi positivi.
• CONTINUA: assume con continuità valori vettori di IR.

FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE CUMULATIVA:

Funzione che ha per dominio essa reale e per codominio l'intervallo chiuso [0,1].

• I valori sono distribuiti lungo il dominio di una variabile casuale.
• f(x) = F(x)

Variabile casuale normale

Variabile casuale esponenziale

• lim f(t) = 0
• lim F(t) = 1
• f(t) ≤ f(t+1) con x₁ ≤ x₂

FUNZIONI DI DENSITÀ:

F_X(t) = ∫_-∞^tf_X(t)dt = funzione o densità di probabilità di x.

f_X(t) ⩾ 0

∫_-∞^+∞f_X(t)dt = 1

se A = { a ⩽ x ⩽ b } F_X(b) - F_X(a) = ∫_a^bf_X(t)dt.

{x ∈ A} = { x ∈ ]a, b] } ∪ {x = a}

{ a ⩽ x ⩽ b } = { -∞ ⩽ x ⩽ x } ∪ { a ⩽ x ⩽ b }

non omissibili. Per definizione metto F_x(b) - F_x(a).

DISCRETA:

g funzione densità coincide con probabilità con cui x variabile prende assume valore sempre.

CONTINUA

g funzione densità, non è es. probabilità perché e := φ quindi f_X(t) = dF_X(t)/dt

con h→0 è integrale esteso di un intervallo nullo.

VALORE ATTESO

La funzione di densità di probabilità f_X(t) dipendono da parametri. Legata a queste c'è che si definiscono variabile che. Il valore atteso più noto è la MEDIA = E{x} = ∫_-∞^+∞ x f_X(t) dt = μ = medio pesato che dei valori che assume x.

E' desi: possibile¹ che ha variabile assuma in determina resida.

DISPERSIONE O VARIANZA DI x:

σ_x² = ∫_-∞^+∞ (t - μ)² f_X(t)dt x = Variabile casuale f_X(t) = funzione densità μ = media

DEVIAZIONE STANDARD:

σ_x = √σ_x²

VALORE ATTESO DI VARIABILE CIVULE g(t):

E{g(t)} = ∫_-∞^+∞g(t)f_X(t)dt - proprietà: ∫E{c} = c

• E{c g(t)} = cE{g(t)}
• E∑(X_i) = ∑E{g(x_i)}

può semplicemente sia Z lo standardizzazione di ln Z segue C3

Distribuzione normale standardizzato:

DISTRIBUZIONE CHI QUADRATO DI PEARSON

La popolazione da cui è stato estratto il campione è distribuita in modo normale, la distribuzione della variabile casuale (n-1)s^n / σ^2

è una distribuzione di Gauss con parametri (v=n/2) e l=1/2

con v>0

Calcolando media e varianza come: μ_χ² = v/2 = n₁/2

σ² = η/2 = 2η/(v/2)

Se le variabili casuali x₁, x₂...x_n sono indipendenti e hanno medi distributione normale con media μ e varianza σ^2, allora la variabile casuale

è somma di variabili casuali normali standardizzate ed indipendenti

n - gradi di libertà

GRADI DI LIBERTÀ: individuo in un gruppo

di variabili alcune sono indipendenti.

E si vanno così a dedurre n.

Le variabile casuale Σ((xi - x_n)²)

= (n-1) se distribuzione χ² è asintoticamente distribuzione normale.

DISTRIBUZIONE t DI STUDENT

Z variabile casuale standardizzata, χ² variabile casuale chi-quadrato con n gradi di libertà di indipendenti (Z, x) sono poi variabile casuale

distribuzione t-Student.

Se non conosco le valore σ² se no n-1 gradi di

libertà ->

La procedura richiede che l'intervallo scelto sia sempre coperto sia nei valori crescenti sia per quelli decrescenti.

Curva media di taratura, retta retta che meglio interpola i dati dispersi.

Metodo dei minimi quadrati, minimizzo la somma dei quadrati delle differenze nella direzione verticale tra punti e la retta da interpolare.

Equazione retta: _qc = wq_i + b

• granulometria in ingresso
• intercetta tra retta e asse verticale
• coefficiente angolare della retta
• grandezza in uscita

Tot. punti considerati:

• w = \(\frac{N \sum q_{i}q_{c} - (\sum q_{i})(\sum q_{c})}{N \sum q_{i}^{2} - (\sum q_{i})^{2}}\)
• b = \(\frac{(\sum q_{c})(\sum q_{i}^{2}) - (\sum q_{i})(\sum q_{i}q_{c})}{N \sum q_{i}^{2} - (\sum q_{i})^{2}}\)

Possono quindi risalire le deviazioni standard:

• \(s_{w}\) = \(\frac{N \sigma_{q_{c}}}{N \sum q_{i}^{2} - (\sum q_{i})^{2}}\)
• \(s_{b}^{2}\) = \(\frac{\sigma_{q_{c}}^{2}\sum q_{i}^{2}}{N \sum q_{i}^{2} - (\sum q_{i})^{2}}\)

Valutazione A deviazione standard qc.

• \(\sigma_{q_{c}}^{2}\) = \(\frac{1}{N-2} \sum (y_{ni} + b - q_{c})^{2}\)
• \(\sigma_{q_{c}}^{2}\) = \( \frac{(q_{c} - b - q_{i})^{2}}{N-2}\)

Rete interpolativa minimi quadrati.

Questa tipo di metodo permette da scomposizione totale dell'errore di un processo:

• parte sistematica
• parte casuale

Lecce che si intende in annuario con AQ sono in realtà errori casuali

Corpo torino quindi si eliminano perrore sistematico e si definisce quantitativamente l'impresione o da sottasione casuale.

Per che imprecizie estes si 68% riferimenti a valori di laboratorio.

Asse delle ascisse: discretizzazione nel tempo

Posso considerare il segnale ad intervalli ben definiti.

Non si recuperano informazioni che vengono perse. Consideriamo segnali dinamici, con intervallo di tempo costanti.

Usiamo però la frequenza di campionamento effettiva che si considera solo ad intervalli. Diminuisco la distanza tra i campioni.

Questo fenomeno è l'aliasing.

Teorema di Shannon

Se un segnale a banda limitata contiene solo frequenze inferiori a 8_s, il segnale sarà campionato correttamente se:

8_c > 2·8_max

Frequenza di campionamento doppia della massima frequenza del segnale.

8_c = 1/Δ_t     8_s = 1/T_s

8_c > 2·8_s     Δ_t < T_s/2

Se 8_s = 2 kHz --> 8_c < 4 kHz --> No aliasing.

8_s = 2 kHz    8_c < 4 kHz    Aliasing.

Tutto funziona correttamente se la frequenza di Nyquist di aliasing non si verifica.

Per evitarlo si procede in questo modo:

1. Si guarda il segnale con uno strumento analogico (oscilloscopio)
2. Se 8_c > 2 frequenza di campionamento 8_c
3. ...