Appunti Metodi quantitativi per le decisioni aziendali

Metodi quantitativi per le decisioni aziendali

PRIMA LEZIONE

Progetto: costruzione un dataset, adattare i codici che vediamo a lezione, con

commenti e codici che trascriviamo anche su un file word. Alla fine, dopo la consegna,

il giorno dell’esame si fa una discussione orale del progetto, per spiegare come è stato

svolto.

Se utilizzassimo dei Data Set preconfezionati, bisogna approfondire come è stato

costruito quel data set.

Quella attuale riguarda i fenomeni di cui le manifestazioni si sono già realizzati, come i

fenomeni demografici, le caratteristiche degli individui del campione (l’età degli

studenti dell’aula per esempio).

Quella virtuale, fenomeni per cui non tutte le manifestazioni si sono realizzate, come

le lampadine prodotte con un certo processo, non solo quelle già prodotte, ma anche

quelle che si produrranno

A seconda del fenomeno di interesse si riferisce un tipo di statistica:

Statistica descrittiva Ripetibilità ATTUALE posso procede ad una rilevazione

 

totale ed analizzare l’universo di interesse.

Statistica inferenziale Ripetibilità VIRTUALE non potrò mai osservare tutte le

 

manifestazioni del fenomeno, posso limitarmi ad osservare una parte del tutto, ad

esempio le lampadine prodotte in un mese, osservo solo una parte di tutta la

popolazione il Campione.



Osservo un campione, in base alle informazioni che traggo da esso e cerco di

generalizzare i risultati delle analisi su quel campione su tutta la popolazione, quindi

parto da un campione per generalizzare le informazioni raccolte a tutta la popolazione.

In genere con gli studi statistici siamo interessati allo studio di fenomeni che

presentano variabilità. Se tutti gli individui fosse alti allo stesso modo, non

esisterebbe neanche la necessità di misurare gli individui. Alla statistica interessano i

fenomeni che variano.

La raccolta dei dati si ottiene attraverso la rilevazione, dove:

Per raccogliere informazioni sul carattere oggetto di interesse mi posso limitare a

rilevare il voto di laurea triennale degli studenti presenti in aula. Il CARATTERE è il voto

della triennale, l’UNITA’ STATISTICA sono gli studenti. La MODALITA’ potrebbe essere

un’intervista uno ad uno, sono le modalità con cui si può rappresentare e rilevare un

carattere.

Il carattere è la variabile di interesse, osservata sull’unità statistica.

Se sugli individui dell’aula rilevo non solo il voto della triennale, ma anche l’età. Avrò

70 osservazioni riefrite al voto della laurea triennale e l’età. Per ciascuno dispongo

dell’informazione sia del carattere del voto e del carattere dell’età, quindi, il mio data

set sarà composta da 140 informazioni, dato da due variabili osservate su 70 unità.

I fenomeni statistici, le variabili, si suddividono in:

- Qualitative: quello le cui modalità si verificano in modo naturale tramite

attributi. Per esempio, il carattere “colore degli occhi”, può essere marrone,

verde, grigio, quindi le modalità sono gli attributi, ovvero i colori, un fenomeno

qualitativo. Oppure il settore economico di una certa azienda, dove i settori

sono attributi.

Si possono misurare su:

Scale nominali: le modalità non sono suscettibili di alcun tipo di

o ordinamento il colore degli occhi, non possono mettere in ordine



marrone, verde, al massimo a livello soggettivo

Scale ordinali: le modalità presentano in via naturale un ordine ci sono



o delle modalità che possono essere oggettivamente ordinate. Il titolo di

studio è si qualitativo, ma può essere ordinato.

- Quantitativo: sono rappresentati da numeri che derivano da operazioni di

conteggio o di misurazione. Un esempio può essere l’età, numeri derivanti da

un conteggio del tempo, degli anni. Oppure il numero di telefonate di un call

center in un’ora, che può essere determinato dal conteggio delle telefonate.

Si distinguono in:

Discreti: per esempio il numero di telefonate operate in un’ora da un call

o center. Caratteri numerabili, modalità ottenibile tramite un’operazione di

conteggio (classe dei numeri naturali)

Continui: per esempio l’altezza degli individui, quella precisa, quindi con

o tanti numeri dopo la virgola. Caratteri misurabili, modalità ottenuta

tramite un’operazione di misurazione (classe dei numeri reali)

Possono essere misurati su:

Scale di intervalli: si può valutare la differenza tra due intensità,

 ma non è sensato stabilire rapporti, non sono sensibili a

cambiamenti di origine

Scale di rapporti: sono articolate in modalità ordinate la prima delle

 quali è in via naturale lo zero, consentono di valutare il rapporto

esistente tra due modalità

Otteniamo le informazioni sulla popolazione di interesse tramite la rilevazione. Una

volta raccolte le informazioni cosa ci faccio? La statistica ci fornisce gli strumenti



per riassumere queste informazioni e darci degli indicatori che siano in grado di

rappresentarci la distribuzione dei caratteri, dei voti dell’esempio, nel campione.

Distinguiamo:

- Indici di posizione: sono misure sintetiche (calori caratteristici) che descrivono la

tendenza centrale di un fenomeno. La tendenza centrale è, in prima

approssimazione, ossia il baricentro della distribuzione.

Moda modalità della variabile alla quale è associata la maggior



o frequenza, cioè cosa si manifesta più volte

Può essere calcolata su qualsiasi distribuzione di frequenza, sia per

 caratteri qualitativi e quantitativi, indipendentemente dalla loro

natura, se misurata su scale ordinali o nominali

Mediana la modalità che occupa la posizione centrale nella



o distribuzione di una variabile

Può essere calcolata solo su caratteri che possono essere ordinati.

 Devo poter ordinare le modalità, quindi non può essere calcolata

per caratteri qualitativi sconnessi

Percentili quelle modalità che dividono la distribuzione di frequenza per



o cento parti tendenzialmente di uguale numerosità.

Se divido in due parti, il percentile di 50 corrisponde alla mediala

 I quartili se divido la distribuzione in quattro



Media aritmetica rappresenta una misura di tendenza centrale, ci da



o informazioni sula baricentro della distribuzione

Rappresenta la parte del totale delle intensità che spetta a

 ciascuna modalità. Si fa la somma delle informazioni raccolte, le

divido per il numero di elementi del campione ed è come se

ciascuno elemento prendesse una parte del totale. Una somma

delle modalità, quindi esse devono essere espresse con dei numeri,

quindi NON posso calcolarla per caratteri qualitativi

La media aritmetica di una trasformazione lineare è uguale alla trasformazione lineare

della media

Indici di posizione: ci dicono verso quale valore tendono le modalità del carattere

rilevato

Alla statistica interessa studiare i fenomeni che variano, quindi gli indici di posizione

non ci danno informazioni sulla variabilità di un fenomeno.

Indici di variabilità

Senza variabilità non ci sarebbe la statistica: se tutti votassimo lo stesso partito alle

elezioni (=moda), non ci sarebbero i sondaggi, né le previsioni elettorali… Il voto

politico sarebbe una unica modalità.

Distinguiamo Mutabilità e variabilità in senso stesso. Si parla di mutabilità per

fenomeni qualitativi e variabilità per fenomeni quantitativi. Ci occuperemo di più della

seconda.

Indici di variabilità:

- Globale: si basano sulle differenze tra i valori delle modalità. Ovvero per

esempio, il campo di variazione o range. Per avere una idea di come variano i

voti, un’indicazione su come variano i voti può essere data dal range, ovvero

una differenza tra il valore minimo ed il valore massimo degli studenti dell’aula.

I voti variano all’interno di un range.

Altro è la differenza interquartile, ovvero la differenza tra il primo quartile ed il

quarto quartile. Questi indici sono sempre positivi. Sono uguali a zero quando

tutte le unità osservate assumono la stessa modalità, in questo caso la

variabile statistica si dice DEGENERE.

- Indice di dispersione Varianza: va a calcolare i valori delle modalità di ciasuna



unità rispetto alla media (tizio ha preso 102, la media è 105).

Caratteristiche della varianza:

- Limiti: Elevando al quadrato si perde l’unità di misura del fenomeno (se si

o 2

considera la variabile peso, la varianza risulta espressa in kg

Ecco perché si fa la radice e si calcola lo Scarto quadratico

 

medio

È un indice assoluto cioè risente dell’unità di misura del fenomeno, e ciò

o impedisce di fare confronti di variabilità. Le distanze, quindi la loro

somma, per il fatturato nel settore automobilistico sono sicuramente più

grandi di quelle nel settore Abbigliamento, ciò non implica che ci sia

maggiore variabilità. L’ordine di grandezza è completamente diverso,

quindi non possiamo mai confrontare la variabilità di caratteri diversi o la

variabilità dello stesso carattere su campioni diversi ricorrendo alla

varianza, ma dobbiamo ricorrere al Coefficiente di Variazione.

Si calcola il Coefficiente di variazione



- Proprietà:

La varianza di una costante è uguale a 0. Se non varia, ovviamente la

o variabilità è nulla. Si parla di costante e non di variabile

Le rappresentazioni grafiche VEDI SLIDE

In particolare, ricordiamo il Boxplot.

Il Boxplot viene utilizzato per rappresentare le principali caratteristiche delle

distribuzioni dei caratteri. È una scatola con dei baffi e a ciascuna delle altezze della

scatola, ovvero delle linee orizzontale, rappresenta una caratteristica della

distribuzione. La linea che chiude la scatola è data dal venticinquesimo percentile. La

linea che taglia la scatola in due parti è la mediana. Quella che chiude la scatola in

alto è il 3 quartile o il settantacinquesimo percentile.

I puntini sono i valori anomali ovvero i valori lontani dagli altri, Ovvero

manifestazioni del fenomeno con modalità molto diverse dagli altri. L’altezza della

scatola è data dalla differenza interquartile ed è una indicazione sulla variabilità del

carattere. I valori estremi sono quelli più lontani di 3 volte la differenza interquartile.

Le linee orizzontali lontane dalla scatola sono i valori anomali.

ESEMPIO NUMERICO

Immaginiamo 7 individui, che hanno le seguenti età

- 23

- 50

- 65

- 85

- 20

- 27

- 35

Costruiamo una tabella di rilevazione.

Ogni numero è una modalità.

Possiamo iniziare calcolando valore minimo e massimo della distribuzione.

Minimo: valore inferiore che compare all’interno della distribuzione

Min: 20

Massimo: valore superiore della distribuzione

Max: 85

Range o Campo di Variazione: 85 – 20 = 65

Media Aritmetica | Ma: (23+50+65+85+20+27+35) /7 = 43.57

Moda: in questo caso abbiamo osservato le modalità tutte una sola volta. In questo



caso NON HA SENSO calcolare la moda.

Mediana | Me: carattere che occupa la distribuzione ordinata delle modalità. Quindi

dobbiamo ordinarle 

20 23 27 35 50 65 85

 La modalità che occupa la posizione centrale è 35. Volendo calcolarlo con le

formule (n+1)/2, se n=7 8/2 = 4, quindi è la modalità che occupa la quarta



posizione.

Possiamo calcolare la base del Boxplot, il primo quartile.

Dobbiamo dividere in 4 parti uguali, quindi Q1 sarà dato da (n+1)/4 8/4 = 2, la



modalità che occupa la seconda posizione è il primo quartile:

Per il terzo quartile, Q3, ovvero la chiusura del Boxplot. La posizione la ottengo

facendo ((n+1)/4)*3 = 6, la modalità che occupa la sesta posizione sarà il mio terzo

quartile.

A questo punto posso calcolare la Differenza Interquartile (DI), ovvero Q3-Q1. Ovvero

65 – 23 = 42

65 e 42 sono quindi Indici globali.

Ora calcoliamo la Varianza.

[(23 – 43.57)^2 + (50 – 43.57)^2 + (65 – 43.57)^2 + … + ] /7 = 506.24



Lo Scarto quadratico medio è la radice della Varianza, indicato solo con Sigma. Quindi

22.5 approssimando

Il Coefficiente di Variazione è uguale allo scarto quadratico medio diviso il valore

assoluto della media aritmetica. Si prende il valore assoluto perché la Ma può

assumere sia valori positivi che negativi, prendiamo quindi il valore assoluto perché gli

indici di dispersione, la variabilità, deve essere una quantità positiva.

A questo punto possiamo costruire una parte del Boxplot. Non tutto perché dobbiamo

calcolare ancora i valori anomali ed i valori estremi.

Valori anomali. Sono quelli che sono più lontani di 1.5 la differenza interquartile. Valori

estremi distano invece più di 3 volte.

Calcoliamo i valori anomali:

Valore anomalo inferiore: Q1 – 1.5DI 23 – (1.5*42) = - 40 Guardando le nostre

 

modalità, non abbiamo nulla che va oltre il – 40, quindi NON ABBIAMO VALORI

ANOMALI INFERIORMENTE

Valore anomalo superiore: Q3 + 1.5DI 65 + (1.5*42) = 128 Non avendo valori che

 

vanno oltre 128, NON ABBIAMO VALORI ANOMALI SUPERIORI

NON AVENDO VALORI ANOMALI, USCIREBBERO VALORI ANCORA PIU’ GRANDI QUELLI

ESTREMI NON ci sono valori anomali, NON ci sono valori estremi

Se

Ora possiamo costruire il Boxplot.

Iniziamo disegnando la base, che corrisponde a Q1, quindi 23

La chiusura della scatola è in corrispondenza di Q3, quindi 65. Possiamo procedere a

chiudere la scatola

Il Boxplot è tagliato in due parti dalla mediana, che è in corrispondenza di 35.

Non avendo valori anomali ed estremi, i due baffi corrispondono al valore minimo ed al

valore massimo osservati nelle modalità. Quindi il minimo è 20 ed il massimo è 85

Se la mediana cade più vicina al primo o al terzo quartile, parliamo di asimmetria

positiva o negativa.

Nel nostro esempio, avremo una ASIMMETRIA POSITIVA,

perché la mediana è più vicina al primo quartile.

Nel caso in cui corrispondesse alla mediana il centro del

grafico, la faccia destra e sinistra corrispondono. Sono

speculari.

SECONDA LEZIONE

Per cercare un comando su internet un comando di r:

r cran nome del comando la prima voce riportata è la scheda dell’help che si trova



anche in R Studio.

Salvare i file come nomefile.R R grande così da salvarlo come script.

 

Esercizio con TABELLA DI FREQUENZA (Invece della tabella di rilevazione)

Abbiamo sempre una rilevazione dell’età di un gruppo di individui, nell’esercizio 30.

Di essi osserviamo l’età, di cui ci sono 7 modalità diverse.

Individui:

- 5 (nj = frequenza assoluta) hanno 20 anni



- 8 23 anni



- 4 27 anni



- 6 35 anni



- 3 50 anni



- 2 65 anni



- 2 85 anni



= 30 (somma di nj, il numero di individui osservati).

Minimo: minima età osservata 20



Massimo: massima età osservata 85



Moda: frequenza assoluta più alta 23



Media aritmetica 35.07 (circa)



Range: massimo – minimo: campo di variazione 65



Calcoliamo primo, secondo e terzo quartile:

possiamo calcolare le frequenze cumulate e le frequenze relative cumulate.

Frequenze cumulate cumulo le frequenze assolute (Nj)



Ovvero in presenza della prima modalità, non ho nessuno modalità precedente, quindi

scrivo la stessa. Quindi quanti individui hanno fino a 20 anni? 5. Dopo quanti individui

hanno fino a 23 anni? 8+5=13 procedo così.



Calcoliamo a questo punto le frequenze relative, cioè quanti individui sul totale hanno

almeno 20 anni, oppure meno di 23 o 23, oppure 27 anni o meno ecc.

Per farlo calcolo Nj/Tot Individui osservati 5/30, 13/30 ecc.



Calcoliamo adesso la mediana, quindi la modalità che occupa la posizione centrale tra

le modalità osservate, ovvero a destra ed a sinistra ha il 50% delle osservazioni.

Quindi il secondo quantile. Dobbiamo andare a cercare la modalità a cui corrisponde la

differenza relativa cumulata parti al 50%.

Essendo che il 57% degli individui ha meno o 27 anni quindi la mediana è 27.



Andiamo a trovare il primo quantile, il 25-esime percentile, ovvero P0.25. Vediamo

doc’è la frequenza relativa cumulata pari a 0.25. Alla prima modalità arriviamo a 0.17,

quindi no, la seconda modalità abbiamo 0.43, quindi è qui dentro. Allora Q1 sarà 23.

Allo stesso modo ragiono per il terzo quartile, il 75-esimo percentile. Alla modalità 35

corrisponde 0.77, quindi il 75% è qui dentro.

La differenza interquartile sarà 35-23=12.

Per disegnare il Boxplot dobbiamo andare a verificare che ci sono valori anomali.

Limite inferiore = Q1 – 1.5DI 23 – 1.5*12 = 5 NON ho valori anomali inferiori,

 

visto che non c’è nessun numero più piccolo di 5

Limite superiore = Q3 + 1.5DI 35 + 1.5*12 = 53 la distanza che cerchiamo. Ci

 

chiediamo, abbiamo valori che superano 53? Si, 65 ed 85, che potrebbero essere due

valori anomali.

Andiamo a calcolarci i limiti per i valori estremi:

Limite inferiore: Q1 – 3DI = 23 – 3*12 = -13 non ci sono età negative



Limite superiore: Q3 + 3*DI = 35 + 3*12 = 71 Abbiamo 85 che è maggiore, che



NON è anomalo, ma è ADDIRITTURA ESTREMO

Quindi:

65 è un valore ANOMALO

 85 è un valore ESTREMO

