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Proprietà delle Probabilità
(i) P(A) ≥ 0
(ii) ΩP(Ω) = 1
(iii) Se A ∩ B = ∅, allora P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
(iii') Se Ai ∩ Aj = ∅ per i ≠ j, allora P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = Σ P(Ai) per i=1,2,...,n
(i) Preso un evento A qualsiasi, la probabilità che l'evento A si verifichi è sicuramente maggiore o uguale a 0. Cioè la probabilità non può mai essere negativa! Non si può mai e poi mai ottenere una probabilità pari a meno qualcosa. Se si ottiene una probabilità negativa abbiamo sbagliato. Logicamente la probabilità non può mai essere negativa. Qualunque sia l'evento, la probabilità sarà sicuramente o 0 o maggiore di zero, quindi non è negativa.
(ii) La probabilità dell'evento certo è 1. Se noi sappiamo che un evento sicuramente si verifica, quindi è un evento certo, la probabilità che gli associamo è 1.
(iii) Se abbiamo due eventi A e B tali che A ∩ B = ∅, allora la probabilità che almeno uno dei due eventi si verifichi è data dalla somma delle probabilità dei singoli eventi.
eventi A e B qualsiasi, questi eventi sono incompatibili. Gli eventi incompatibili sono eventi la cui intersezione è l'evento impossibile. Quindi due eventi sono incompatibili se non si possono verificare contemporaneamente. La loro intersezione è nulla. Se ci troviamo di fronte a due eventi incompatibili, allora la probabilità dell'unione di questi due eventi è data dalla somma della probabilità dell'evento A più la probabilità dell'evento B. In altri termini, se due eventi sono incompatibili, la probabilità che si verifichi l'uno o l'altro, è dato dalla somma delle probabilità.
iv) Il terzo postulato contempla due eventi A e B, se invece abbiamo un'infinita di eventi incompatibili tutti tra di loro, quindi tanti eventi che non hanno elementi in comune l'uno con l'altro, allora la probabilità dell'unione di tutti gli eventi non è altro che la somma
delle probabilità dei singoli eventi. Sostanzialmente è la stesso postulato, cioè analogo discorso del terzo postulato, ma declinato su un'infinità di eventi. Affinché questo postulato valga, gli eventi devono essere tutti incompatibili tra di loro, non ci devono essere punti in comune su nessuno di questi eventi. Quindi se sono tutti incompatibili e vogliamo calcolare la probabilità dell'unione di tutti gli eventi, ci basterà sommare le singole probabilità. A partire da questi postulati, posso calcolare la probabilità partendo da quello che sappiamo. Abbiamo visto che definito un evento qualsiasi, possiamo definire il suo complementare, la sua negazione. Possiamo fare la stessa cosa con la probabilità. Probabilità del complementare Se noi definiamo un evento A, abbiamo la probabilità associata a questo evento, possiamo calcolare anche la probabilità del suo complementare. Per calcolare laprobabilita del complementare
facciamo così: la probabilità del complementare dell'evento complementare di A, sarà uno meno la probabilità di A. ĀP ( ) = 1- P (A)
questo deriva direttamente dai postulati. Noi sappiamo che se abbiamo A e il suo complementare egli uniamo tra di loro, quello che otteniamo è l'evento certo: Ā = A U Ω
se noi uniamo A alla sua negazione, l'evento che ci viene fuori è tutto lo spazio campionario. Perchè stiamo considerando tutto ciò che è A a tutto ciò che non è A. quindi avremo tutto lo spazio campionario, quindi tutto l'evento certo.
L'evento A e l'evento non-A sono incompatibili, se ne facciamo l'unione sappiamo che avremo l'evento impossibile. Per il terzo postulato, sappiamo che se due eventi sono incompatibili, la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità quindi, se vogliamo calcolare
utilizzando la formula P(Ā) = 1 - P(A). Quindi, se abbiamo la probabilità di un evento A, possiamo calcolare la probabilità dell'evento negazione Ā sottraendo la probabilità di A da 1. Ad esempio, se la probabilità di A è 0.7, la probabilità di Ā sarà 1 - 0.7 = 0.3. Questo ci permette di calcolare la probabilità di eventi complementari, ovvero eventi che non si verificano contemporaneamente. Inoltre, ricordiamo che la probabilità dell'evento certo è 1 e la probabilità dell'evento impossibile è 0. Quindi, se l'evento A è l'evento certo, la probabilità di A sarà 1 e la probabilità di Ā sarà 0. Al contrario, se l'evento A è l'evento impossibile, la probabilità di A sarà 0 e la probabilità di Ā sarà 1. In conclusione, la probabilità dell'evento negazione può essere calcolata sottraendo la probabilità dell'evento da 1, mentre la probabilità dell'evento certo è 1 e la probabilità dell'evento impossibile è 0.della negazione di un evento. Quindi la probabilità dell'evento impossibile non è altro che la probabilità della negazione dell'evento certo. Sappiamo che la probabilità della negazione di un evento è 1- la probabilità dello stesso evento; sappiamo che la probabilità dell'evento certo è 1. Quindi se sostituiamo alla probabilità dell'evento certo 1, ciò che otteniamo è che la probabilità dell'evento impossibile sarà 1-1 cioè 0. quindi se sappiamo che un evento sicuramente non si verificherà, allora la sua probabilità è 0. P(Ø) = 0 La conseguenza diretta è che a questo punto possiamo sapere, conosciamo, il range di valori entro cui si muove la probabilità. In altri termini possiamo dire che la probabilità di qualsiasi evento è compresa tra 0 e 1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. • Il valore più piccolo che puòassumere è 0, ragion per cui la probabilità di A è maggioreuguale a 0.
il valore più grande che può assumere è 1, al massimo può assumere valore 1. Quindi non si può ottenere valore negativo per la probabilità, ma allo stesso modo NON SI POSSONO OTTENERE VALORI PIÙ GRANDI DI 1!
Bisogna ricordarsi che la probabilità noi la esprimiamo come un valore tra 0 e 1, ma la possiamo sempre tradurre in termini percentuali, moltiplicandola per 100.
In questo senso una probabilità pari a 0 significa che si ha lo 0% di probabilità che l'evento si verifichi. È l'evento impossibile. È impossibile che quell'evento si verifichi, la sua probabilità è 0.
Dall'altro lato se trasformiamo in termini percentuali, una probabilità pari a 1, significa che si ha il 100% che l'evento si verifichi. Significa che quell'evento sicuramente si verificherà.
verificherà. Quindi un evento con probabilità 1 è l'evento certo. Probabilità dell'unione Se abbiamo due eventi qualsiasi, significa che non sono necessariamente incompatibili, possono anche avere degli elementi in comune, quindi la loro intersezione non è l'evento impossibile. Allora utilizzando i postulati, è possibile dimostrare che la probabilità dell'unione di due eventi A e B qualsiasi, è uguale alla probabilità di A più la probabilità di B meno la probabilità dell'intersezione. P(A U B) = P(A) + P(B) - (A ∩ B) possibile domanda d'esame: "vale sempre che la probabilità di A U B è uguale alle probabilità di A più la probabilità di B meno l'intersezione tra A e B? Sì, è vero. Se gli eventi sono incompatibili la probabilità dell'intersezione è la probabilità dell'evento impossibile quindi è 0. quindi ingeneralevale questa relazione sempre.
Implicazione tra eventi
Abbiamo due eventi A e B e diremo che l'evento A implica l'evento B se ogni volta che si verifica A, allora si verifica anche B. Se si verifica A, allora si verifica anche B, la conseguenza che abbiamo è che la probabilità di A sarà minore uguale alla probabilità di B. Si indica con "se A implica B" allora P(A) ≤ P(B).
Se abbiamo questo esperimento, lo spazio degli eventi, si può definire gli eventi? Calcolare la probabilità che si verifichi questo evento piuttosto la probabilità che si verifichi quest'altro evento.
Come facciamo a misurare la probabilità?
Misurare la probabilità
Approccio frequentista
L'impostazione assiomatica porta alla necessità di mettere insieme diversi approcci, uno di questi è l'approccio frequentista. Cioè proviamo a capire come si misura la probabilità legandola a qualcosa di osservabile.
quindi il valore corrispondente sarà 1. Continuando così, possiamo ottenere un grafico che rappresenta quante volte è uscita testa su un determinato numero di lanci. Per calcolare la probabilità di ottenere testa, dobbiamo dividere il numero di volte in cui è uscita testa per il numero totale di lanci. Ad esempio, se su 200 lanci abbiamo ottenuto 80 teste, la probabilità sarà 80/200 = 0.4, ovvero 40%. Quindi, per l'evento "esce testa" nel lancio della moneta, la probabilità associata è del 40%.È uscita tot volte edi così via contiamo quante volte è uscita testa per ogni40Percentuale lancio. Possiamo vedere sebbene all'inizio il grafico20 abbia una pendenza molto forte, ad un certo punto siosserva una certa regolarità. Cioè il numero di volte0 in cui esce testa si assesta attorno ad un valore.0 50 100 150 200 Questo valore è 50%. quindi poiché il valore siattesta intorno al 50% siamo portati a dire cheLancila probabilità che lanciando una moneta esca testa è 0,5. il 50% di volte uscirà testa e l'altro 50%croce. Se ripetiamo l'esperimento un'altra volta, quindi facciamo altri 200 lanci:100 Seppur all'inizio il grafico si comporta in manieradiametralmente opposta, il che significa che al primo80 lancio è uscito testa, man mano che ripetiamol'esperimento più volte ci assestiamo più o meno60teste sempre intorno allo stesso valore, 50
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