Metodi quantitativi per la gestione del rischio - appunti

Tale capitale di garanzia dovrà essere calcolato in modo che la probabilità di non rovina (Prod) della banca sia alta.

Dunque Prt (Pt - S > 0 ∀t ∈ [0,t]) ≥ 1 - ε, dove:

• Q = capitale di garanzia
• Pt = fum ricevuti nell'intervallo [o, t]
• S = ammontare dei risarcimenti in [o, t]

Il capitale di garanzia rappresenta una grandezza associata al rischio.

Mercato finanziario

Cerchiamo ora di definire cosa è un mercato finanziario. Innanzitutto un mercato di rischio luogo in cui si scambiano merci e la natura del mercato è legata proprio alla tipologia di merci che si scambiano in un mercato finanziario vengano scambiate delle somme di denaro (merce equivalente).

Un mercato finanziario è dunque un luogo fisico o virtuale, in cui si scambiano delle somme di denaro disponibili a tempi diversi; posso scambiare, del denaro disponibile oggi (certo) con denaro disponibile in futuro (certo o aleatorio).

Queste somme di denaro vengono sommate mediante delle

Un'operazione finanziaria è un'operazione che si presenta nella forma:

F = (X₀, X₁, ..., X_n; t₀, t₁, t₂, ..., t_n)

I termini t_i (i = 0, ..., n) rappresentano i tempi ovvero le scadenze ed i termini X_i sono gli importi.

Se X_i 0, ovvero se lo consideriamo come oggi allora X₀ e la somma certa e gli

X_i (i = 1, ..., n) sono invece le somme disponibili a scadenze future.

Un'operazione finanziaria è dunque un contratto che dà il diritto a chi detiene il

di titolo (pagando oggi una somma X₀) di ricevere importi a scadenze future.

Un termine di contratti, ovvero un'indicazione seguita l'operazione F (quella di prima), allora

l'altro contratto eseguirà l'operazione F = (-X₀, -X₁, -X₂, ..., -X_n; t₀, t₁, ..., t_n).

Le operazioni finanziarie costituiscono inoltre uno spazio vettoriale e possono essere

sommarie o moltiplicato per uno scalare.

Dunque:

(A ∈ R)

F_± = (X₀ ± Y₀, X₁ ± Y₁, ..., X_n ± Y_n; t₀, t₁, ..., t_n)

u F = (uX₀, uX₁, ..., uX_n; t₀, t₁, ..., t_n)

In particolare si definisce portafoglio una combinazione lineare di operazioni finanziarie:

Q = q₁F₁ + q₂F₂ + ... + q_nF_n.

Andiamo a vedere alcuni esempi:

Un primo esempio è un'obbligazione che si presenta nella forma O = (p, g_k, ... g_k; 0₁, ..., 0_m)

I termini 0, ... n sono le scadenze; e è la cedola, ovvero il interesse corrisposto p₂ =

Il prezzo dell'obbligazione.

Indichiamo con la ∊ l'interesse cedolare (k è il valore nominale, ovvero il valore tecnico

dell'obbligazione) e con il l'interesse di mercato.

In particolare se c il l'allora l'obbligazione ha un vantaggio inferiore del mercato e

dunque il prezzo diminuirà viceversa se E viceversa il prezzo aumenterà.

Ovviamente p K.

Quindi un'obbligazione è un titolo di debito emesso da un ente pubblico o da una

società che dà diritto a chi la detiene (pagando un prezzo p) di ricevere un numero

per il periodo più l'interesse.

Un'operazione finanziaria è un'operazione in condizione di certezza con due scadenze.

F = (L, -D; t₀, t₁)

In particolare t₀ = l'istante corrente, t₁ = l'istante finale.

Dunque:

C = capitale iniziale

In particolare il portafoglo _Q: ^[a_i] si dice arbitraggio se vale una delle condizioni:

1. p(Q)=0 e D(Q) ≥ 0 V ∃s:e ∋ almeno uno stato S ∋ tale che D(⃗a) > 0

In questo caso il portafoglio ha un costo nullo e garantisce un rendimento positivo in almeno uno stato del mondo o non negativo in tutti gli altri.

2. p(Q) < 0 e D(⃗Q) ≥0 V ∃s:e ∋

In questo caso il portafoglio ha un costo negativo e garantisce un rendimento non negativo in ogni stato del mondo.

In particolare è pure dimostrare che condizione necessaria sufficiente affiché

non vi siano arbitraggi è che esista un vettore ^C̃ ∈ R^m a componenti stircttamente

poste tale che p̃ = D ^TC̃

Detto in altro modo condizione necessaria e sufficiente affiché non vi sono arbitraggio

è che i prezzi (p₁, ..., p_n) ∈ R^1xn sono combinazioni lineari delle righe della matrice

dei dividendi con coefficienti positivi.

Ad esempio utilizzare una corsa con tre cavalle: A, B, C

I prezzi di listino sono: A → dato 2ª1B → dato 4ª1C → dato 3ª1

Il bookmaker vende quattro scommerse su A, due su B e due su C.

In totale ha guadagnato: 4·1 + 2·4 + 2·1 = 8

Vediamoci per ogni evento:

• se vince A paga 8
• se vince B paga 8
• se vince C paga 6

Il bookmaker ha dunque realizzato un arbitraggio.

Dimostrazione matematicamente.

Abbiamo p̃: (p₁, p₂, p₃): (4, 1, 2).

Costruiamo la matrice dei dividendi:

D=

• -1 1 -1 Stato A
• -1 -1 2 Stato B
• -1 -1 2 Stato C

Per cui p̃ = -D C̃ = (C₁, C₂, C₃)^T:

Si ottiene (righe per colonne)

• 1 = c₁ - c₃ - c₃
• 4 = -c₁ - c₂ + 3c₃
• 2 = - c₁ - c₂ + c₃

Dato che C₁, C₂, C₃ sono negativi il teorema non è rispettato.

Decisione di agenti in un mercato (incertezza)

Vediamo dunque ora di analizzare il caso di decisioni in condizioni di incertezza.

Quando si studia il caso di decisioni in condizioni di incertezza uno da particolare il fattore del rischio degli agenti stessi.

Lo schema è quindi analogo al caso di scelte in condizioni di certezza ma mentre nel caso precedente l'agente sceglieva tra panieri certi, in condizioni di incertezza sceglie le lotterie.

Una lotteria è una variabile aleatoria definita come \( L : S \to \mathbb{R} \) essendo S lo spazio degli stati del mondo (finiti).

Dunque \( L_l = (X_1, P_1, ..., X_n, P_n) \) dove \( X_i \in \mathbb{R} \) sono i vettori dei "premi" e \( P_i > 0 \) le probabilità.

In queste lotterie sono compresi anche panieri certi: \( L = (X_i; 1) \) (l'incertezza comprende anche la certezza).

Indichiamo con L' l'insieme di tutte le lotterie.

Ovviamente anche in condizione di certezza ogni agente avrà un proprio sistema di preferenze che soddisfa le proprietà di:

1. completezza
2. riflessività
3. transitività
4. indipendenza
5. continuità
6. dominanza

Se un agente ha un sistema di preferenze che soddisfa le proprietà 1-7 allora esiste una funzione continua \( U : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \), detta funzione di utilità, tale che:

\( E[U(L_1)] \ge E[U(L_2)] \Rightarrow L_1 \succeq L_2 \)

\( E[U(L_1)] > E[U(L_2)] \Rightarrow L_1 \succ L_2 \)

Come conseguenza si ha che la funzione di utilità \( u(x) = v(x) \) in condizioni di incertezza, fanno fare la stesse scelte, allora \( v(x) = a u(x) + b \, con \, a > 0 \).

A questo punto cerchiamo di introdurre il concetto di avversione al rischio.

Se un agente, dotato di utilità cardinala \( u(x) \) opera in un mercato con prezzi \( p = (p_1, ..., p_n) \) avendo una ricchezza \( w \), allora con una utilità di ricchezza (utilità "monetaria") definita \( v(w) = max \{ u(x'); p \cdot x' \le w \} \).

Un agente, dotato di utilità di ricchezza \( v(w) \), che avversa al rischio al livello di ricchezza w, è, dato in qualunque gioco equo (un gioco equo è un investimento è tale che \( E[c_s] = 0 \, Var[c_p] > 0 \), l'agente preferisce non giocare.