Appunti Metodi - pt. 2

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Author: vincenzobarresi

Revisionato il 27/05/2026

di vincenzobarresi

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Appunti di metodi matematici per l'ingegneria sulla seconda parte basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa Giuffrè dell’università degli …

Esame Metodi matematici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Giuffrè Sofia

Università Università degli studi Mediterranea di Reggio Calabria

A.A. 2019-2020

67 pagine

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Osservazione

Si dimostri che:

∫₁^∞ (A(x)/B(x)) dx

Se grado B(x) ≥ grado A(x) + 2 allora l'integrale esiste e il suo valore è pari all'integrale in v.p.

Esercizio

∫₁^∞ (x⁴ + 1)/(x⁶ + 1) dx = grado B(x) = 6, grado A(x) + 2 = 6 (v.p.)

∫₁^∞ (x⁴ + 1)/(x⁶ + 1) dx = ∫₁^∞ 1/(z⁶ + 1)

f(z) = (z⁶ + 1)/(z⁶ + 1)

z⁶ + 1 = 0 → z⁶ = −1 → z = √⁶−1

−1 = e^πi

w_k = √⁶1 (cos(π/6 + 2kπ/6) + i sin(π/6 + 2kπ/6))

w₀ = cos(π/6) + i sin(π/6) = e^πi/6

w₁ = cos(π/2) + i sin(π/2) = e^πi/2

w₂ = cos(5π/6) + i sin(5π/6) = e^5πi/6

w₃ = e^πi

w₄ = e^3πi/2 = −i

w₅ = e^5πi/2

Scegliamo R > 1: w₀ w₄ e w₅ sono interni

Nessuno singolarità anello e numeri

Osservazione

Si dimostri che:

∫_-∞^∞ A(x) / B(x) dx

Se grado B(x) ≥ grado A(x) + 2 allora l'integrale esiste e il suo valore è pari all'integrale in v.p.

Esercizio

∫_-∞^∞ (x⁴ + 1) / (x⁶ + 1) dx

Grado B(x) = 6 ≥ grado A(x) + 2 = 6

∫_-∞^∞ (x⁴ + 1) / (x⁶ + 1) dx → f(z) = (z⁴ + 1) / (z⁶ + 1)

z⁶ + 1 = 0 → z⁶ = -1 → z = √⁶−1

-1 = e^πi

w_k = √⁶1 (cos π + 2πk / 6 + i sin π + 2πk / 6)

w₀ = cos π/6 + i sin π/6 = e^πi/6

w₁ = cos π/2 + i sin π/2 = e^πi/2

w₂ = cos 5π/6 + i sin 5π/6 = e^5πi/6

w₃ = e^πi

w₄ = e^5π/6 = -1

w₅ = e^π

Scegliamo R > 1: w₀ w₄ e w₅ sono esterni

Nessuna singolarità semplice e non a poli.

w₀ = e^iπ⁄3 ; w₁ = i ; w₂ = e^i5π⁄3 (v.p.)

∫_-π/3^+π/3 ^x/_x⁶+1 dx = 2πi [Res_z=e^iπ f(z) + Res_z=i f(z) + Res_z=e^i5π f(z)]

Calcoliamo:

lim ^z⁴+1 / _z⁶+1 = 0 = λ∫_R lim ^z⁴+1 / _z⁶+1 dt = 0 (v.p.)

∫_-π/3^+π/3 ^x/_x⁶+1 dx = 2πi {Res[ ^z⁴+1 / _6z⁵ ]_z=e^iπ + Res[ ^z⁴+1 / _6z⁵ ]_z=i + [ ^z⁴+1 / _6z⁵ ] ^π / _i + { e^2iπ/6 + ¹ / _{e^i5π / ₆} } + ^{e^2iπ} / _{e^i5π / ₆} }

π / ₃ i [ ^z / _i + e^-iπ/6 + eⁱ⁵π/ ⁶ + e^-i5π/ ⁶ + eⁱ²⁵π/ ⁶ ]

= π / ₃ [ ^z / _i + 2e^-iπ/6 + 2e^iπ/6 ]

Ponch { e^i7π/ ₆ = cos ⁷ / ₆ π + i sin⁷/ ₆ π = -√₃/ ² + i/ ² }

{ e^-iπ/6 = cos [^-π / ₆ ] + i sin [ ^{-π / ₆ ] = √₃/ ² - i/ ² }}

= π / ₃ [ ^z / _i - 2i] = [π / ₃ (z+z)] - π∫_-π^+π x⁴ / (x⁶+1) dx = -π / ₃π

Esercizio 1 per casa

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{x^4 + 1} dx = \frac{\sqrt{2}}{2} \pi \] OK!

Esercizio 2

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2 - x - 2}{x^4 + 10x^2 + 9} dx \]

Grad B(x) = 4, grad A(x) + 2 = 4

\[ f(z) = \frac{z^2 - z - 2}{z^4 + 10z^2 + 9} \]

\[ z^4 - 10z^2 + 9 = 0 \Rightarrow t^2 + 5t + 9 = 0 \]

Molteplicità: \[ z^2 = -9 \Rightarrow z = \pm 3i; \] moltep. 1

\[ z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm i \] moltep. 1

R > 3 (v.p.)

\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2 - x - 2}{x^4 + 10x^2 + 9} dx = 2 \pi i \left[ \text{Res}_{z=i} f(z) + \text{Res}_{z=3i} f(z) \right] \]

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