Appunti Metodi pt 1

Metodi Matematici

Prof.ssa Giuffrè

25-09-2017

Prodotto tra numeri complessi

(a,b) * (r,d) = (ac - bd, ad + bc)

(a,b) * (a,b) = -1 ⇒ (a²-b², 2ab) = (-1,0) ⇒

• a²-b² = -1
• 2ab = 0

z è un numero complesso z = (a,b) ⇒ a,b ∈ R

Il sistema precedente equivale a 2 sistemi:

• a²-b² = -1
• a = 0

o

• a²-b² = 1
• b = 0

⇒

• -b² = -1
• a = 0

o

• a² = -1 ⇒ non ha sol. in R
• b = 0

Il sistema ha soluzioni:

• b² + 1
• a = 0

Ho ottenuto i numeri complessi che soddisfano l'equazione:

z² = -1

e sono: z = (0,1) e z = (0,-1)

La soluzione z = (0,1) si chiama unità immaginaria i,

ovvero i = (0,1)

Possiamo riconorrere quindi alla forma algebrica:

• (a,b) * (q,0) + (0,b) = a + (0,1)(b,0) = a + ib

Verifichiamo che (0,1)(b,0) = (0,b) per le regole *

Dato un numero complesso z = a+ib il suo coniugato è

z̅ = a-ib

L'insieme C è stato costruito per poter fare ciò che in R non si può fare, ma bisogna rispettare le regole di R,

l'ordinamento, però, non si può estendere se l'R ⊂ C.

Considerando a per esempio, sappiamo che non è nullo.

3) e^z = ¹/_e^z

4) |e^z|² = √[(e^xcos⁡y)² + (e^xsin⁡y)²]² con x,y ∈ ℝ →

perché z = e^x(cos⁡y + isin⁡y)

|e^z|² = √[(e^x)²cos²y + (e^x2)sin²y] = √[(e^x)²[cos²y + sin²y]] =

= √[(e^x)²] = e^x > 0

In conclusione, |e^z|² = e^x con z = x + iy

5) Proprietà nuova che in ℂ osserveremo,

il campo complesso l'esponenziale el periodo di 2πi.

Queste proprietà derivano delle proprietà di sin e cos

in e^x = e^z+2kπi (e^osxy_isinxy)

e^z = e^x con z = x + iy

Dimostriamolo: e^z = e^{x + i(y+2kπ)} =

= e^x[cos(y+2kπ) + i sin (y+2kπ)] =

= e^x(cos y + isin y) perché sin e cos sono periodici

6) e^z = Δ → e^z = e^0+2kπi con K ∊ ℤ →

→ z = 2kπi

Come definiamo un intorno in ℂ? Si tratta di intorni circolari come in ℝ? ℂ è effettivamente diverso da ℝ², ma è topologicamente uguale.

I_δ(z₀) = {z ∈ ℂ: |z - z₀| < δ}

Un intorno di z₀ di raggio δ è l’insieme dei punti di ℂ tali che la distanza da z₀ sia minore di δ.

Cos’è un intorno bucato?

I_δ^*(z₀) = I_δ(z₀) \ {z₀} → è l’intorno privato del centro.

lim_{z → z0} f(z) = ℓ ⇔ ∀I_ε(ℓ) ∃ I_δ(z₀), ∀z∈X∩I_δ^*(z₀)

→ f(z) ∈ I_ε(ℓ)

In ℂ non abbiamo l’ordine, quindi non ha senso parlare di tra e -∞.

PUNTO ALL’INFINITO DI ℂ

Portiamo da ℝ³ verso ste una sfera di centro (0,0,2) e raggio 1.

Il punto (0,0,2) si chiama POLO NORD e questa sfera è la sfera di Riemann.

Fisso un punto nella sfera e traccio le rette di operea per il polo nord e per quel punto. Queste rette intersecano il piano complesso x,y in un unico punto.

CONDIZIONI DI CAUCHY RIEMANN PER L’OLONOMIA

Consideriamo una

φ: A ⊂ ℂ → ℂ² con A aperto, A ≠ ∅ : ℝ² → ℝ

u(z) = p(x₁, x₂) + i v(x₁, x₂) con

v: ℝ² → ℝ

z₀ = (x₀, y₀)

Ci chiediamo: è vero che una funzione è derivabile se sono derivabili le componenti u e v? No!

Dobbiamo essere “unici” più forti su u e v.

f è olomorfa in A se e solo se:

1. u, v sono differenziabili in z₀;
2. u_x(x₀, y₀) e u_y(x₀, y₀) = -v_x (x₀, y₀)

Se una funzione è di classe C¹(A) ovvero derivabile con derivate parziali, allora è differenziata in A. Se questo è vero, la 2 è vera.

Esempio

f(z) = z² = (x + iy)² = x² - y² + i2xy

u(x, y)

v(x, y)

Fisso in genere z₀ ∈ ℂ

Verifichiamo che f se si elonssa C¹

U(x, y) = x² - y²

V(x, y) = 2xy

Sono di classe C¹ (ℝ²) perché le derivate rispetto alla x e alla y esistono e sono continue. do quindi f è verificata.

Verifichiamo la 2.

Definizione di Integrale

f: X ⊆ ℝ → ℝ continua

Integreremo su curve regolari: (γ, z(t)) curve regolari con t ∈ [a, b]

Vogliamo scrivere ∫_γ f(z) dz

Abbiamo bisogno che la funzione esista sulle curve, ovvero che z ⊆ X. Chiamiamo z₁ il punto iniz. della curva e z₂ quello finale: {z₁ = z(a)} {z₂ = z(b)}. Chiamiamo z'(t) la derivata e z(t) = x(t) + i y(t)

(γ) ∫_z1^z₂ f(z) dz = def ∫_a^b f(z(t)) ⋅ z'(t) dt

Proprietà

1. Linearità: l'integrale della comb. lineare è uguale alla comb. lineare degli integrali.

2. Additività:

   z₁----------z₂ y = γ₁ ∪ γ₂ (due curve regolari)

   (γ) ∫_z1^z₂ f(z) dz = (γ₁) ∫_z1^z₂ f(z) dz + (γ₂) ∫_z2 f(z) dz

3. (γ) ∫_z1^z₂ f(z) dz = - (γ) ∫_z2^z₁ f(z) dz

09-10-2014

Dimostrazione 4^a formula integrale di Cauchy

Non possiamo applicare direttamente il th. di Cauchy perché il dominio T esclude il punto z₀. Costruiamo un nuovo dominio, tagliando da T un intorno di z₀.

T' = T \ {I(z₀)}

Questo dominio ha 2 contorni:

Ora la funzione è olomorfa in T', quindi applico Cauchy alle funzione integrante.

Quindi:

∮_∂T' f(z) / z - z₀ dz = 0

Per il teorema 1:

∮_∂T f(z) / z - z₀ dz - ∮_∂I(z0) f(z) / z - z₀ dz = 0 = 0

⇒ ∮_∂T f(z) / z - z₀ dz = ∮_∂I(z0) f(z) / z - z₀ dz

Parametrizzazione della circonferenza:

z(t) = z₀ + δ e^it con t ∈ [0, 2π]

∮₀^2π f(z₀ + δe^it) / z - z₀ + δe^it δe^it dt = ±δ