Appunti Metod. Matem. Fis.

Per ogni \(\Lambda \in \mathbb{D}^{st}_n\) con \(P \subset \subset \mathbb{X}, \quad \exists c_k\)

\(i, j = 1, \ldots, \Delta \subset \partial p\)

\(\ldots x_p, \quad y_q = F_q^i p_i\)

che sono le componenti di un tensore di \(D^{stp}_{n-q}\)

(per \(p=q\), \(s=n\), si ottiene il teorema precedente)

§ 10 Tensori in uno spazio pseudo-euclideo § 10

La isomorfismo stabilito tra vettori e covettori nel caso di uno spazio euclideo può essere esteso al caso di tensori covarianti e controvarianti dello stesso ordine. Definiamo per un cambio di metrico, il campo di tensori doppli, notando che per il isomorfismo canonico tra \(\ldots \subset \ldots\)

Osserviamo che:

\[\sum j \Phi^i(a_j) \otimes \Phi^i(a_j) =\]

\(\; = t^{ij} g_{kl} \; dx^k \otimes \partial/\partial y^l \otimes dx^i \; =\; t^{ij} g_{kl} g_{ij} \, dx^i \otimes dx^l \)

\(\; = t_{n} dx^k \otimes dx^l ,\)

e con

\(\sum ktt =\; g_{ij} t^{ij}\)

1. Si può anche stabilire un isomorfismo canonico tra \( D_2 \) e \( D_1^1 \)
2. definiamo l’isomorfismo

\( T \rightarrow T_i^j dx^i \otimes dx^j \)

con \( T_i^j = g^{kj} T_{ik} \)

se \( T = T_{ij} \frac{\partial}{\partial x^j} \otimes dx^i \)

definiamo l’isomorfismo

\( T \rightarrow T_j^i \frac{\partial}{\partial x^i} \otimes dx^j \)

questa volta con \( T_i^j = g^{jk} T_{ik} \)

Questo fatto si estende in maniera naturale ai tensori di rango qualsiasi.

Se lo spazio è euclideo, \( g_{ij} \) si riduce (convenientemente con un cambiamento di base) a \( g_{ij} = \delta_{ij} \). Non vi è differenza tra componenti covarianti e contravarianti di tensore \( g \), viene detto in questo senso metrica euclidea.

Un esempio di tensore metrico non euclideo (brev. metrica non euclidea)

\( \eta = \text{diag}(-1, 1, 1, 1) \)

(oppure \( g = \text{diag}(1, -1, -1, -1) \))

cioè la metrica di Lorentz nello spazio di Riemann.

Legge di composizione costrutta

{segue} \( e = D_m^s, \quad T \in D_n^s \) allora la costruzione di \( T \otimes e \) appartiene a \( D_{n+1}^{s+i} \)

\( (\otimes T) \, \left( \frac{\partial}{\partial x} \right) ) \, = \, S^{i+j-1} + \frac{1}{n+i-1} \)

Gli interi \( (n \, \otimes T) \) si chiamano composizione costrutta di \( (T \otimes T) \)

(a vitrina prop 3!)

allora

^∂f _∂x = 2x sin y + y