Appunti Metod. Matem. Fis.

... per ogni ... ∈ D... , T ∑ x,

∑ = i, j ∑ ...

1 ... ... n ∑ p

... ... ∑,

sarà le ... di un ... di ...

(per p = s, g = 2, si ottiene il termine ...)

Tensor in un spazio pseudo... ∑

l’... ... tra vettori e ... nel caso

di uno spazio euclideo ... essere ... al caso di

tensor ... a coordinate ... ... ...

... per ... di matrice, e ... il tensore

doppio ... ricordando che per l’... ... tre ... l’età

su ... è una matrice futtive ... ... = g...′

Φ(... g.) = ... l’... l’... tra D2

e D 2 ... ... :

Se ... ∈ D..., ... ... a T il

tensore,

...Φ(...) &otimes Φ(...) =

= ... &otimes ...

= ... &otimes ... ... ,

con

... ... = g... f... ...

Osserviamo che:

... &otimes ( &otimes ... ) = (... &otimes w′)

= c... v v′

.

... &otimes ( &otimes )

= (... l.. ...: &otimes, )

= ... = ¨∂ ∂

= ...

in ... ,

(... e g... ) = ...

1. per ogni λ Є Ṛ^p, con ρ≤.s, q≤σ,

λ₁-i₁ ... λ₂-i_p

μ ... x₂ y₁ ... f_ρ

siano le componenti di un tensore di

(( per p=s, q=2, si ottiene il teorema precedente))

Tensori in uno spazio pseudo-euclideo

L’isomorfismo stabilito tra vettori e coentori nel caso di uno spazio euclideo può essere esteso ai casi di tensori covarianti e controvarianti dello stesso ordine. Redinpingendo^per quantità di mutazioni, le caste di tensori derivati “colpo” nel caso di uno spazio pseudo-euclideo, matrice per l’isomorfismo compiuto tra lo spazio euclideo sui cui la nota matrice forzata introdotto da φ_i(xⁱ)=g_ijφ_j(y^j), stabilirono l’isomorfismo tra D₂ e D_t nel, modo seguente:

Se Г=Т^ijЄ^σi0Єⁱ0Є², allora associamo a Г il tensore:

Г^ijΦ(aⁱ)⊗Φ(b_ij)=

= t^ij g^ik dx^kϹ∂^gjγ dx^r = t^ijg_ijg_ijdx^kdx^r.

=T_κлdxⁱdxⁿ,

con

T_κл =g_κлТ^ij

Osserviamo che:

Т_ijdx² dx^/т (ονvⁱ) = t^ij ..ν ‘T ^l

..1

T^ijЄ^οi0Є^ξ_j. φ(ω²), φ(ω^r)) =Т^ijλ_є0Є_iλ (ν^κραg_κр dx^Р, ν^τροg_τo dx^q)

= Т^Є ЄЄ g_..ρν g_οq g_ιq ..t

(..scindiamo.. ḥ e dx^,ס')

Si può quindi stabilire un isomorfismo canonico tra ₂ e ¹

e tra ⁴ e ₄ come segue.

definiamo l'isomorfismo

_i ^j = _k ⁱk

Si _i = _{c e} ^j

definiamo l'isomorfismo

questa volta con _i ^jg_kl^k

Annetto visto si estende in maniera naturale al tensore di rango

qualisasi.

Se lo spazio è euclideo, g_ij se intrecci (equivalentemente con un

cambiamento di base) e g_ij non vi è differenza tra

componenti covarianti e controvarianti, il tensore g viene

detto in questo tensore metrico euclideo.

Un esempio di tensore metrico non euclideo (brevimenta,

metrica non euclidea) :

² Legge di composizione costrutt

Siano _s+1 e ⁿ⁺¹ allora la costruzione di ¹ sottintesa

a ⁴ e _n+1

Il tenore ¹ si chiamano composizione costrutte di ¹

(v. matrice a pag. 82)

Tensor doppio

Siano E ⊂ \({\Phi}\), V ⊂ V; applicando la legge di composizione interna si ha che T_ij ⊂ V è un vettore, e per cui, T si può vedere come un endomorfismo di V.

Diciamo allora che λ è un autovalore di T se esiste v ≠ 0, tale che lv = v; v è l'autovettore relativo all'autovalore λ e T si può applicare tutta la teoria degli autovalori e autovettori per gli endomorfismi.

Def. T è simmetrico se T_ij = T_ji.

Def. T è antisimmetrico se T_ij = -T_ji.

In uno spazio vettoriale di dimensione n un vettore doppio simmetrico ha \(\frac{n(n+1)}{2}\) componenti, mentre un tensore doppio antisimmetrico ne ha \(\frac{n(n-1)}{2}\).

Di un tensore doppio simmetrico si possono vedere come prodotti scalari per quali sono di fondamentale importanza i seguenti teoremi noti della teoria degli autovalori:

• Th. 1: Teorema spettra