Appunti di Fisica generale

ELETTRICITÀ E MAGNETISMO

Con una bilancia di torsione Coulomb determinò la forza attrattiva o repulsiva che si sviluppa tra le

estremità ravvicinate di due sbarre magnetizzate lunghe e sottili, i cui poli, sede di ipotetiche “masse”

magnetiche, si possono ritenere puntiformi. La forza tra due masse magnetiche puntiformi risultò identica a

quella dell’elettrostatica.

Il primo legame tra i fenomeni elettrici e magnetici fu stabilito con la scoperta di Oersted, resa possibile

dalla disponibilità di correnti generate mediante la pila di Volta: un filo percorso da corrente esercita una

forza su un ago magnetico posto nelle sue vicinanze e inoltre un filo percorso da corrente risente l’azione di

una forza se è immerso in un campo magnetico. Gli studi di Oersted e di Ampere hanno portato a

concludere che tutti i fenomeni magnetici sono dovuti a correnti elettriche, cioè a cariche in movimento.

Le forze tra magneti si possono ricondurre ad interazioni fra correnti microscopiche presenti negli atomi

(correnti amperiane).

FORZA SU UNA CARICA IN MOTO IN UN CAMPO MAGNETICO − DEFINIZIONE DI B

Consideriamo una particella di massa m e carica q, posta in un campo magnetico B. Se la particella è ferma,

non agisce nessuna forza (F = 0); invece se la particella è in moto con velocità v, su di essa agisce una forza,

||

.

= ∧ = .

chiamata forza di Lorentz: In modulo è: Questa forza è:

1. proporzionale alla carica q del corpo

2. proporzionale al modulo v della velocità

3. perpendicolare al vettore velocità v

4. perpendicolare ad una direzione b che dipende solo dal punto P in cui si trova la carica

5. proporzionale a ⊥ .

La forza è nulla se la velocità è parallela al campo magnetico; ed è massima quando

→

B = B(x,y,z) “campo magnetico B campo vettoriale

⁄ ⁄

Unità di misura di B nel S. I.: , anche detto Tesla, oppure . Sottomultipli molto usati

2

−4

= 10 ).

sono il gauss (1 Ad esempio, il campo magnetico terrestre vale 0.4 G.

La forza è sempre ortogonale alla velocità, e in base alla definizione di lavoro, avremo:

2 2

= ∫ ∙ = ∫ ∧ ∙ = 0

1 1

∆ = = 0.

Per il teorema dell’Energia Cinetica: Quindi, il modulo della velocità deve rimanere costante.

L’unico effetto della forza magnetica è quindi quello di incurvare la traiettoria. Se una carica si muove in

presenza sia di un campo elettrico che di un campo magnetico per il principio di sovrapposizione la

= ( + ∧ ).

presenza di E non modifica l’azione di B e viceversa:

MOTO DI CARICHE ELETTRICHE IN UN CAMPO MAGNETICO UNIFORME

=

MOTO CON 2 Supponiamo che il campo magnetico sia uniforme in una certa regione e che la

velocità iniziale sia ortogonale a B: la forza, anch’essa ortogonale a B, produce

una variazione della direzione della velocità ancora ortogonale a B e quindi sta

nel piano ortogonale a B.

Essendo il raggio costante, la traiettoria è un arco di circonferenza di raggio R.

2

⁄

||

⊥ = = ,

F v forza centripeta, quindi |v|= costante. abbiamo un

moto circolare uniforme.

2 2

= = → = →=

ω velocità angolare e T periodo sono indipendenti dalla velocità v e dal raggio R della traiettoria

2 2

= = = =

ω

Se la carica q è negativa, ω ha lo stesso verso di B e il moto appare antiorario; se è positiva, ω è opposta al

verso di B e il moto appare orario.

MOTO ELICOIDALE IN UN CAMPO B

Se l’angolo θ che la velocità forma con il campo magnetico varia, dobbiamo scomporre la velocità nelle sue

= =

componenti: (parallela a B) e (ortogonale a B). La traiettoria è un’elica.

Verifichiamo che, se il campo magnetico è uniforme, la traiettoria è un’elica cilindrica di raggio e passo

)

= + → = ∧ = ( + ∧ = ∧ . ∧ = 0

costanti: Osserviamo che in quanto

⊥

paralleli. La forza di Lorentz dà luogo ad un moto circolare uniforme in un piano a B con velocità

= =

Essendo nulla la componente di F nella direzione di B, in tale direzione il moto è rettilineo uniforme con

velocità . La composizione dei due moti è un moto elicoidale su un cilindro coassiale con B.

Nel tempo pari al periodo del moto circolare uniforme la carica percorre un tratto d, passo dell’elica, nella

direzione di B. 2 2 2

= →= = → = =

ω

LA VELOCITÀ ANGOLARE COME VETTORE

La velocità angolare si può rappresentare come un vettore

• Di modulo pari al valore assoluto di w

• Direzione quella dell’asse di rotazione

• Verso determinato sulla base della regola della mano destra

= ∧ .

In tal caso l’accelerazione centripeta si può scrivere come Per cui:

= → ∧ = ∧ = − ∧

⁄

= −( ).

Ovvero:

FASCE DI VAN ALLEN

Quando il moto delle particelle avviene in un campo magnetico non uniforme si presenta

una situazione un po’ più complicata. L’asse z è l’asse di simmetria e il campo magnetico

ha la componente longitudinale sempre dello stesso segno e la componente radiale

che cambia segno passando da sinistra verso destra. Questa configurazione è nota come

bottiglia magnetica.

SPETTROGRAFO DI MASSA

Lo spettrografo di massa è uno strumento che separa ioni aventi la stessa carica, ma massa diversa. Un

esempio tipico è quello degli isotopi.

SCOPERTA DELL’ELETTRONE

IL CICLOTRONE

FORZA MAGNETICA SU UN CONDUTTORE PERCORSO DA CORRENTE

La corrente elettrica in un conduttore è dovuta al moto degli elettroni sotto l’azione del campo elettrico

applicato tramite un generatore; se n è il numero di elettroni liberi, ciascuno con carica e, e la loro

= −

velocità di deriva, la densità di corrente si scrive: ed è parallela al campo elettrico applicato.

Se il conduttore è in presenza di un campo magnetico, a ciascun elettrone è applicata la forza di Lorentz:

= − ∧ . Suddividiamo un filo conduttore in tratti di lunghezza ds e sezione S,

= = − ∧ = ∧ . = ,

la forza risultante sarà: Poiché

= ∧ .

abbiamo: Questa relazione è conosciuta come seconda legge di

Laplace. Per un filo di lunghezza finita di estremi A e B

= ∧ = ∧ .

Per un conduttore rettilineo di lunghezza in un campo B uniforme, avremo: Il

∫

= . = ∧ = ∧ .

cui modulo è: Se il conduttore è curvilineo e sta in un piano: ∫

= 0.

Se il filo piano è un circuito chiuso

FORZA TRA CORRENTI SU CONDUTTORI PARALLELI

campo generato dalla corrente

1 1

versore della direzione di

2 2

forza esercitata da su un tratto di filo percorso da

12 1 2 2

= ∧ = ∧

12 2 2 1 2 2 2 1

12

= = − ∧

12 2 2 1

2 ⊥

forza per unità di lunghezza al filo ed a 1

= ∧

Analogamente si ottiene: . Dove è il versore della direzione di

12 1 1 2 1 1

Per la legge di Biot e Savart:

0 1 0 2

= =

1 2

2 2

0 1 2

= =

12 21 2

Correnti che scorrono nello stesso verso si attraggono in verso opposto si

respingono. L’elevata precisione raggiunta nel misurare le forze magnetiche tra correnti mediante una

bilancia ha determinato la scelta dell'intensità di corrente come grandezza fondamentale nel S. I.

= 1

Intensità di 1 Ampere = intensità di una corrente che circolando a metro da una corrente uguale

−7

2 ⋅ 10

parallela e concorde, la attrae con una forza di per ogni metro di lunghezza di conduttore.

AZIONE DI UN CAMPO B SU UNA SPIRA ELEMENTARE

Consideriamo una spira rettangolare di lati a e b, percorsa da una corrente in senso

antiorario. Indichiamo con il versore della normale positiva al piano della spira

orientata nello stesso verso di circolazione della corrente (regola della mano destra).

La spira è immersa in un campo B uniforme, che forma un angolo con n. Per prima

cosa osserviamo che le forze sui lati opposti sono uguali ed opposte. B, inoltre, è

(, ), = + . = .

contenuto nel piano quindi: Infine abbiamo che:

Valutiamo le forze sui quattro lati della spira.

Iniziamo dal lato PQ, otterremo una forza diretta nel lato opposto dell’asse x:

4 (−)

= ∧ → = [| |(−) ∧ ( + )] → = | |

( ) ( ) | | ( )

∫ ∫ | |

= = − = − = cos −

4

Analogamente facciamo per il lato opposto RS, ottenendo la forza , che è diretta come x:

3

| () ()

= | → = || cos → + = 0

3 3 4