Appunti del corso Meccanica razionale per l'ingegneria

Lezione 1

Equazione vettoriale

Dati ₂ e ² vettori trovare v che soddisfa

v² = b²

₂ × v = ₂ × ² = 0

₂ × v = v²

v² = λ a² + ₂ × ² / |₂|²

Retta m λ ∈ R

u × (v₂ × w) = (v₂ · w) v - (v₂ · v) w

₂ × (λ a² + ₂ × ² / |₂|²) =

= ² × (x a²) + 1 / |₂|² ([₂ × ²] ² - (₂ · ²) ²)

|₂|² = 0 pendente condizione vettoriale

Sistemi di vettori applicati

(f v²)

p ∈ R³

S = { (p_i, v²_i) i ∈ I }

A ➝ B

Mostra su cui si applica la forza peso

La forza peso è un vettore applicato a infiniti punti dell'asta

MOMENTO DI UN VETTORE APPLICATO

(P,̅)

AP∈R³

_̅A = AP_⨯̅

MOMENTO DEL VETTORE APPLICATO RISPETTO AL POLO A∈Π

_̅A _⫽̅

MOMENTO DI UN SISTEMA

A∈R³

_̅A^s = ∑ AP_⨯̅_i

FORMULA PASSAGGIO POLO

_̅A - ∑ AP_⨯̅_i

A∈R³

B∈R³

_̅B^s = ∑(AP_⨯̅_i) - ∑( + AP)_⨯̅_i

_̅ = + AP

_̅B = ∑ _⨯̅_i + ∑ AP_⨯̅_i

[ x ∑̅_i]

[_S]

risultante del sistema

_̅B^S = _̅A^R + ( x (∑̅_i))_R

FORMULA PASSAGGIO POLO

_̅B^S = _̅A^S ↔ ‖_R

Effetti Dinamici

Sistema nulla misura effetto dinamico

Singolo vettore applicato: Traslazione

Coppie Momento

Rotazione rototraslazione

Equivalenza di sistemi di vettori applicati

Dati due sistemi

S { (A_i, V_i) i ∈ I }

S' { (B_i, W_i) i ∈ I' }

Si dice che S è equivalente a S'S ≡ S'

Se risultante da S e S' o sono uguali e se PERM₀^S = M₀^S'

Dimostrazione

È sufficiente che esista un solo polo PER il qualemoment sono uguali M_p^S = M_p^S'Scegliendo un altro polo QM_Q^S = M_Q^S'

IPOTESIR^ⓢ ≡ R^⌝SP. M_P^ⓢ ≡ M_⌝

Spostiamo i punti di applicazione nel punto di incidenza delle rette sostegno

Abbiamo applicato la seconda operazione elementare ottenendo (Ē, v), (F, u) COPPIA

2^o CASO v e u sono paralleli

Aggiungiamo una coppia di braccio nullo (Ĉ, c), (Ĉ, -c)

Otteniamo il vettore e

Successivamente faccio coincidere q e j

Alla fine rimangono

Asse centrale di un sistema e luogo geometrico dei punti P per i tali che M_P//R

Si può dimostrare che l’asse è una retta.

Due P_E. Asse centrale, dobbiamo trovare un’equazione vettoriale per il vettor OP.

M_P = H_O + P_O x R con O origine defisice asse

Molteplicare a sinistra vettorialmente per R²

R² x P_O = R x H_O + R x (P_O x R)

Quando P_E C asseQuando M_P//R

O = λR² + (R^-2)P_O x (P_O·R)

- |R|²(P_O) = R x H_O + (O_P·R) R

|R|² OP = R x H_O + (O_P·R2) R

O_P = -R x H_O

+ |R|² O P_E x R^-2 R

Si può dimostrare che la soluzione è del tipo λ∈R

OP = λR² + R x H_O

2) Dimostrazione

I = 0 non possiamo ridurre a tensoreR ≠ 0 non possiamo ridurre a coppia o sistema nulloA e asse centrale

3)

I = 0 R = 0 Non possiamo ridurre a tensore pieno o a semplice vettoreUnica possibilità è la coppia se M_p ≠ 0

4)

R ≠ 0 M_p = 0 Riduciamo a sistema nulloSe il sistema è riducibile al sistema nullo, perché salta dal polo P ∈ ℝ³ risulta M_p ≠ 0

Esercizio

S = {(A₁, v₁), (A₂, v₂), (A₃, v₃)}A₁ (5, -2, 0) v₁ = (1, 1, 0)A₂ (3, 0, 0) v₂ = (3, -4, 0)A₃ (1, -3, 0) v₃ = (-2, 6, 0) È un sistema piano

Il momento rispetto a un sistema piano è sempre perpendicolareal piano del sistema I = R · r₀ = 0R = v₁ + v₂ + v₃ = (2, 3, 0) ≠ 0

Possiamo ridurre a un solo vettore quindi I = 0 e R ≠ 0

|_P(s) P(s+h)|^→(h→0) ≅ |_P(s) P(s+h)|

la differenza tra i moduli tende a 0 per h che tende a 0

questo implica:

|[P_Q]^→|² lim_h→0 ^{|2[AP]→| sen α₂}h

[PQ]² = 2|[AP]^→| = 2|[AP]^→| sen ^ψ₂

Considero l'arco di circonferenza PQ ≠ h ≠ |[AP]^→| • α

lim_h→0 ^{|2[AP]→| sen α₂}|[AP]^→|α

lim_α→0 ^{2 sen α₂}α = 1

1_• d ^[AP]→ds = t^→ VERSORE |t^→| = 1

2_• Definiamo un versore ortogonale m^→ scelto in maniera che punti alla concavità della curva

Studiamo la terna. _s(_s) Analogamente a _t si prova che _t ⊥ _l ⊥ _b

_b ∈ al piano generato da _t, _n, Piano osculatore

_d (_t) = ^d₀/_ds = 0 _ds

_t · _t + _t · _b = 0 = _t · _b(^ds) ^ds _t = 0 = _t

5 non ha componente lungo _tAltra 1ⁱ ha componente lungo _n

_b(s) = ⊥(s)_m

LEGGI ORARIE DEL PUNTO CHE SI MUOVE SU UNA CURVA

(grafico di assi cartesiani)

Oltre l'ascissa curvilinea abbiamo un altro parametro temporale, curvilinea dipende dal tempo

OP²(_s) = OP² (_st)