Appunti Meccanica razionale

TEORIA, CALCOLI ED ESERCIZI DI MECCANICA RAZIONALE

UNIVERSITÀ DEL SALENTO

Prof. Barra Adriano

Stud. Graziano Natalini

Esercizio 10.4 p. 52

r(t) = ti + t²j + tk

Viene immesso

t = 1/√2 costante

|v(t)| = √(1 + 1/√2)

Derivando ancora si ottiene

dt/dr = 1 raggio di curvatura

Es. testo 13.7 p. 66

x_B = x_A + l cos α

θ_B = √l²

Cieco le coordinate

Versori Tangenziali

v(t) v₀...

ore tl = dr/ds = dt/dt ds/dt

(f(t)|

(verso opposto a questo fermo) ds/dt

t + x = V₀ |t|ct

d/ds (e

Versori Normali

a{al₁ctt = dt/ds

e cui dt/ds ... cos

Velocità Singolare

dp con cui

misura ... Calcolare

p < t = dt/dt |s t + dt

Q

Coordinate Polare

x = sinθ

y = cosθ

• (tan θ) θ = arctg

Annunio: Ricorda

....θ ψ ...θ - θ

Principi della Meccanica

1. Principio di inerzia – in un S. ieniziale un fusico materiale isolato si frun sciche fusene regge rimali succenivi.
2. Un fusco materiale Atua cure forze, A, a causare un' accelerazione, a, secende le legge:

d(mu/dt) = mu + am

F = am

3. Azione e reazione

La forte che stemebbrano 2 funi motichi senza cutre Avete netta iazione truarve lavas rezionale modulo e versa offosta.

Composizione delle forze:

F1 = a1

F2 = a2

r = F2 + F1 = o = a1+a2

Nel case ce funi mateiale vincole ischire on Rezzione Vincolare F

note men Rinken reppamitate muche muo forze

mo = k + 0

Adl ogni vinacle puo esere sostitito luo forza che gerarce la rinza effene

Conservaza per dvace qte di meto mu

M1 u1 + M2 u2 = Costante

Sumfandez 1 futti retrati che ineraseano ra sone

M1 dt = F1

M2 dt = F2

-f1 f2 = fx ly

13/04/2021

Th. Se F un campo di forza apolare e conservativo allora:

1. F è una forza conservativa.
2. il lavoro di F lungo ogni cammino chiuso è nulla QED
3. il lavoro tra due punti A e B non dipende dal cammino
4. che si usi per calcolarlo.

Mtn 1) → 3)

∫_A^B F ⋅ dr = ∫_A^B ∇U ⋅ dr = ∫_t0^t₁ ∇U ⋅ dt

= ∫_t0^t₁ (^∂U⁄_∂x dx + ^∂U⁄_∂y dy) dt= ∫_t0^{t₁ dU(t)}⁄_dt dt = U(B) - U(A)

• dipende solo dal valore del potenziale nei punti A e B

Esempio: (forze peso) F = (-mgj) → U(r) = -mgj = -mgy

• quota in base a z come si assume l'asse y

Esempio: (forza elastica)

Supponiamo F = -k(P-O) = -kr

dL = F ⋅ dr = -kr ⋅ dr = -¹⁄₂ k d(r⋅r) = -¹⁄₂ k d(r²)

• dove d(r²) = d(r⋅r) = dr ⋅ r + r ⋅ dr = 2r⋅dr

N.B. il lavoro è dipendente solo dalla distanza tra i punti P e O

• quindi la forza elastica è conservativa. Integrando vale:

U(r) = -¹⁄₂ kr² = -¹⁄₂ k |P-O|²

Th. dell'ENERGIA CINETICA

Per un sistema S di punti materiali

• soggetti alle forze F vale:
• la derivata tangente dell'energia cinetica corrisponde alla
• somma delle potenze di tutte le forze

ΔT = dt⁄dt = ¹⁄₂ d ^{∑ m_iv_i² = 1⁄₂ ∑ M_ia_i ⋅ v_i = ∑ F_i ⋅ v_i = Π}_i

Continuo dietro

0137. Cambiando due sistemi:

x = x_o + x', y = y_o + y', z = z'

I_z = ∫_B ρ (x'² + y'²) dV = ∫_B ρ ((x-x_o)² + (y-y_o)²) dV

= ∫_B ρ (x² + y²) dV - 2x_o ∫_B ρ xdV - 2y_o ∫_B ρ ydV + (x²_o + y²_o) ∫_B ρ dV

dove, ∫ ρ xdV = m x_G = 0 in considerato un sistema

centrato nel baricentro, quindi J (0,C) (x - x_G)_G.

= ∫_B ρ (x + y²) dV + (x²_o + y²_o) ∫_B ρ dV

= I_zG + m d² verifica

MATRICE DI INERZIA, definita positiva in quanto il momento

di inerzia è un numero positivo.

I_o ( I_xx I_xy I_xz

I_yx I_yy I_yz

I_zx I_zy I_zz )

Giusica se meto delle matrici, I_ij = Ei, I_i Ej

ok eni a sistemi:

I_xx = ∫_B ρ (y²+z²) dV, I_yy = ∫_B ρ (x²+z²) dV, I_zz = ∫_B ρ (x²+y²) dV

inoltre

I_xy = - ∫_B ρ xy dV, I_xz = -∫_B ρ xz dV, I_yz = -∫_B ρ yz dV

quindi I_o è numerica.

L = I₀​ + I₀​^f = ¹⁄₂ w_R​² φ_p​ + w_Z​(R_A​+R_Z​)² - ¹⁄₂ w_R​² γ_u​ K

Energia Cinetica e Potenza per il CIR

Parte traslativa + Parte rotativa + Parte relativa

Thm. di König per il CIR, T = ¹⁄₂ n ψ_e​ + ¹⁄₂ w_rel​ T_ψ​

NT: II = ^{Σ 1}⁄₂ mi v_i​² - ^Σ m_i​ v_i​·v_t​^f

= ^{Σ 1}⁄₂ mi [ ... ]

= ¹⁄₂ ω_R​² + ω_g​ ω_i​ ~ mi (P_i​- ¹⁄₂) + ¹⁄₂ Σ mi α

= [d_c​ di mon] = o = b¹⁄₂

d_x​ of incang

= [ Σ mi (α:γ).

¹⁄₃ ω_g​ ¹⁄₃ ¹⁄₃

N.B. Se H CIR offre punto fine del CIR allora T = ¹⁄₂ t_g​ w

NT I = ^{Σ 1}⁄₂ mi v_i​t^f - 1^{Σ mi} v_i​·v_t​ n_i = n_{i> +.. ³⁄4}