Appunti del corso di Meccanica razionale

STABILE

UN PUNTO per

di se

si DICE esiste

di intorno

ogni un

; ,

tale ' allora

ci

che U letti il

e e

se ,

Ue il intorno

nel

tale

è vicino

STABILE sempre

FATTO partire rimane

sistema suo

se e

punto

A

ci

equilibrio tale

intorno Udine che

Dlfz UN PUNTO ASINTOTICAMENTE

di STABILE

si DICE esiste

se un

: :

fino attiene infinitamente lunghi

tempi

Per

tende al equilibrio

si di

p .

Dinamica punti materiali

LAVORO Forza

DI UNA

)

(

F- it velocità

che da tempo

dipende

X. posizione

Forza

V. e

, ,

potenza

)

E) It

EHI V.

W Forza

di una

.

.

. ,

se E.

delle

E la risultante agenti

forze

è sul ma

punto :

matti viti

W = . (

!

Inetti itttvltttvlthvltt-zvctt.net

! htt

htt

VAI

militi )

. =

.

= ?

! Nitti

ME

= % teorema

Posto T.fm/Yl # T

' W della

potenza

W

W Forze vive

cinetica

er risultante

con -

= -

- Forma differenziale

1

INOLTRE : !

È !

Ìlx teorema

/ UNE

forte

TH

ht Lana

Tltr

) )

dt

Wltttt dt

.tt ilttvltt

ehi Forma integrale

= . =

v -

= -

= ,

:

,

µ -

. , .

FORZE CONSERVATIVE

E E )

(f) tale

( esiste

CONSERVATIVA TICX

se ) che

si dice funzione

posizionale una

Forza :

.

. :{ gradiente

U parziali

ll

di derivate

somma

:

(e)

F. UIH

= con µ potenziale F

» di

.

.

In "

"

F

che è CAMPO GVADIENTE

dice

questo caso un

si fa

#

È

.is/dt--fe.Ulxtthdt-L--lllXltai

t.fi?Elxith.xltitt-- ( II.

UN Htt tdffiat

in ¥

. =

)_ potenziale

(

) ll alla

) fa

tempo

al

xlte posizione

-

A. )

te Tltzl

Tltz That

Ulta

la )

Ulti

)

The

) )

se pongo -

=

-

-

-

,

.ee . )

VLX

(

Adesso ll ) POTENZIALE

ENERGIA

X

pongo =

-

Tffe Tltz

) ) tutta

)

Vita ) CONSERVAZIONE ENERGIA

t = MECCANICA

DAL l' posizionate

matematico integrale lavoro

che il

Oss PUNTO

: di una

di

definisce forca

vista i

,

!

! "

l'

[ "

"

" differenziale I

il

F parametri

Ely della

integrale lungo t

ilttdt è

) cammino

forma da

nato

= :

. "

% no

µ

indica

che si con .

a

Si dimostrare il

che

può equivalenti

è delle

è condizioni

seguenti

conservativo se

di forze vera

campo una

E

7

1) ll

lllx ) : =

f. / E

]

2) UCXA )

Ax

) UCXB ) XB

lllx ' estremità ×

di

C - x

con

= . ,

,

§ t.is

E di ftp.xa.is

3) o

=

Disuguaglianza CLAUSIUS

ls : § ' ¥

¥ conservativo

o

= , Fi

Si F f %

!

che dati

?

dfi LÌ

osserva è conservativa :

se : - =

- .

,

TI

¥tf La

= -

dxidxj dxjdxi

IN si

PARTICOLARE HA : K

i J ;)

! letta le

=L :'-(

¥

¥

xf ! IÌ

rotaie te f II. °

: -

- -

-

-

2×3

X2

|

F Fs

fa

,

CONDIZIONE la

F tot (F)

conce sia

perchè differenziale

NECESSARIA è

forma

conservativa o chiusa

:

: =

QUESTA alcune tipologiche

Anche sufficiente precisazioni

CONDIZIONE diventa sotto :

C'

Se (d) "

E

LEMMA SEMPLICEMENTE CONNESSO

è

r

E allora

il

PON CIR

DI CLAIRE con e :

: , ,

E- o r

III. in la

SEMPL 8

R CONNESSO contrarre mai

in

dice unico

si senza

punto

posso

se curva

ogni un

.

il bordo 2

di

toccare

es : ' {

R } il

l l'

bordo

è

o è

5. r stessa

C origine

di

non :

• ,

il bordo

quindi se contraggo tocco

8 ,

•

Rsi }

{ è s.cj.pt?oYIiooaueemouinem-o

o non

• ' {

l è

R } sc

• Asse NON

z ,

→ t

i

ESEMPIO (

1 CAMPO )

SAUART corrente

BIOT

di

: generato DA

FILO

DA percorso

'

FCX '

) ? { } IR { }

IR xzty

i i

i I

z ?

g. 1 z

o asse

t

: =

=

=

, - ,

,

× g y

¥ City ) DI

'

?

; tzy

- o o

=

= =

Jz dx

? si

City )

?

FÈ 2×2

ity ¥

? 0

2=0

-

= =

dz dy

?

? )

?

( ty

×

rotte ) e

-

-

Tuttavia te

costi CHE

xlt l'

) ]

ORA

sin

se t

:

, [

2T

[ :( FCCOSHI (

EH ) senzttcosrttdt.at

C E) dt

sina.t.co . =

, di

è conservativa

NON

f. €0

'

Forza IR

centrale

Esempio 2 in

: P

polari •

COOVD 7

r

← .

(e) FINI

f- t'

) f)

¥ Iavarone

= = •

variate

, i s

È di dall'

solo dalla

che

forza dipende

esempio distanza origine

un

Fel Fa

KIXI G

es : mima

: :

- - III

ftp..HN III. d§

) fax ftp.iat-ff

" II

¥7

- =

-

.

I'

÷ -

~

-

-

. LEI

rot O

E

conce irrazionale concludere è poichè

che è

è R sic

possiamo

ma conservativa

: non non .

, F

direttamente è

occorre conservativa

se

verificare

Sia In

!

Itt polari

la parametri

Xlttetyltts cammino 8

di

Azione

22 coda

un :

. .

Scusa {

i. PÒ

=p .it

X sino sino

cosa

cosa ep e

:

-

, ,

=

j sina.tt

lo

tfò

sino

Y gi I

:p sino cosa

=

cosa

.

.

,

i. jeptpòeo radiale

tensore

'

'

/ f.

icttst

F. ftp.es.ljeptpoeoldt

fllxithlf

Elxlth

dx iltiat

:

: :

=

-

, -

,

ti finite [

=/ Ande avita

pareti

= con

te fgfdx F

Alfa primitiva

Perciò ) lo ( lo f)

019 ) di

con -

-

: -

XP

•

Posto )

UL lotti I.

= e

e .

,

festa

ha UCXBI

UN

si -

. ha ipotesi

Fè POINCARE sufficienti necessarie

Lemma

CONSERVATIVA ma non

di

MATERIALI

SISTEMA PUNTI

DI Fi Pi

miei

PUNTO segue forze

risultante su

ciascun =

/

)

( Prima )

) ( Pn

( Pa Mn

ma

; ;

. ,

, .

.

.

, \ velocità

ti altri

tutti

dipendere gli punti

può posizione

da e di

{ Euclide Ets Enti )

mini ) ( 3) t

X.

t ¥ .tn e

-

- , . . . .

"

i denari )

.nl

mniin felini tian

+

= -

. -

.

.

.

.

. "

! '

"

DISTINGUIAMO E Fi

miei

FORZE ESTERNE

INTERNE ed i t

=

"

"

Fi le

delle agli

Pi del sistema del

altri

RISULTANTE dovute

forze punti

punti reazioni su

su saranno

= sistema stesso

È le

sistema

al

dovute

delle esterni

Pi esterni

reazioni

Risultante forze corpi

a corpi

su saranno su

= sistema

al

.tt

Romanamente

es : ¥

mmnmmmnnn.

gg

} FORZE MOLLE INTERNE

v = )

sulla Terra

(

PESO ESTERNE

FOVLE reazioni

=

✓

TERRA

POTENZIALE PESO

FORZA PUNTI

N

Fa

Fi .tn mngk

gk migk

mi :

= - - = -

.

. .

. .

,

È ?

v. .ve È ?

U Mg

migzi potenziale

Zg

- sistema

= energia di

- punti

! mi

g zi

-

= ; QUOTA MASSA

di

centro

Mg Zg Comizi

= -

MASSA TOTALE

{ mi

È la concentrata nel MASSA

di

se

come TUTTA MASSA centro

oss FOSSE

: È E

( Pi )

ML MZG

CENTRO mi

O

di zi

mi

massa =

-

→

EQUAZIONI CARDINALI Éittfi '"

° )

[ ( lpn.mn

Pi ) miai

: mi =

, .

.

, .

. , 0 TÈÉ

Èmiai " "

= Q

Qg MASSA

centro di

:

Mag R PRIMA CARDINALE

: Ìext

A- Risultante

È ( MVG

⑤ )

quantità

V. di

i

mi MOTO TOTALE =

= =

È

Ó È ( ( )

Mag Q

R

se di

G

mi m.R.ci

si

varia

Oss muove

non o

:

: = ,

.

Ò R PRIMA

VARIANTE CARDINALE

:

scegliamo polo

angolare al

polo il

consideriamo

0 momento TOTALE rispetto

: un e

È Pi a)

(

[ )

( Vi

Mi

1

o quantità di

- moto

momento

= Q

, 0

1

È È t

È

È "

È )

Mvgt di

vicoli olnmiai

vinmivi ( Pi

Viola

( Pi

vonmivit - -

- = =

- . .

.

O È III " e

" "

• "

Kld )

MIO dati

MCO (

SECONDA

Qnvlolt ) Pi

CARDINALE

= con : -

.

Vico

lol ) Mld

Se V. semplifica

6=0

ossi o

:c si =

:

. Vico

Mld

video )

Se

→ conserva

o si

-

e -

i

KÒNIG

EOREMA di

Via Vg velocità

Vi relativa al

di

• un massa

di

centro

punto

-

= Magie

{ È

-

È n È

È VIRI €

mitri all' tmihlirlzt

F- that

tzmi E

{ ha .hr

IV. mi

mi

; -

: .

.