Meccanica dei solidi - Appunti

Deformazioni principali

Le deformazioni principali (elementari) subite da un corpo possono essere:

• Variazione di lunghezza
• Variazione di angoli tra segmenti
• Variazione dei volumi

Queste deformazioni possono essere identificate nel tensore delle deformazioni Ɛ.

Coefficiente di dilatazione lineare

Anche per la variazione della lunghezza di un segmento PQ al suo stato deformato P'Q', infatti, nella deformazione può avvenire una variazione di lunghezza. Notiamo che Ɛm = [_{lf - li}] / _li Ɛ, ed è adimensionale, positivo se un allungamento.

Considero un corpo alla deformazione:

1. P = > Quindi: e^e2 |OP|² = (1 + 2 &partial;_u²/&partial;_y² ( &partial;_v²&partial;_x² )² )²

Etcetera... Le deformazioni principali (elementari) subite da un corpo possono essere:

• Variazione di lunghezza
• Variazione di angoli tra segmenti
• Variazione dei volumi
• Variazione delle aree

Queste deformazioni possono essere identificate nel tensore delle deformazioni E.

Coefficiente di dilatazione lineare

Ammetto la variazione della lunghezza di un segmento PQ al suo stato deformato PQ. L'infinitesima deformazione può avvenire una variazione di lunghezza e orientamento. Considero un corpo allo stato iniziale.

Ricavo OP1 tramite: OP1 = OP + ds OP = dP + ∇ OP

Quindi: |e² * |OP1|² = | 1 + (∂u/∂x) | 2. È per HP del P.S. sono gli infinitesimi.

Ora guarda a ex = εx allora ei = 1 >=> (εx+1) ei² = | ex² + | (2εx+1) ei 2 | = per HP al P.S.: | 2εx+1 ei

Uguale per yf e zf: Ey = εy e Ez = ∂w/∂z si pongono sulla diagonale al = coefficenti di scorrimento angolare

Definizione di deformazione nelle piccole deformazioni.

OP = ¹ | x y z ₂

O'P' = ¹ | ^∂u _∂x + 1 0 0 | ^x _y0 ^∂v _∂y + 1 0 |^y _z0 0 ^∂w _∂z + 1 |

Esponendo il coeff. di dilatazione lineare:

O'P' = (1 + ε_x)x   O'Q' = (1 + ε_y)y

Sfrutto il prodotto scalare: |O'P'| × |O'Q'| = (1 + ε_x)(1 + ε_y) cos(α)^h_xy

Sviluppo... = (1 + ε_x x (1 + ε_y) δ_xy) x y

|O'P'||O'Q'| = |x y| x y (1)^(∂u _∂y) (^∂v _∂x) xy (2)

Uguagliando (1) e (2)

x y f xy - f x y (∂u _∂y ^∂v _∂x)= [^∂u _∂x + ^∂v _∂y] (idem per f z e x z)

Ottengo le E.Q. di congruenza per lo scorrimento angolare. Ne desumo:

ε_x (δ_xy/2) (δ_xz/2)(δ_xy/2) ε_y   (δ_yz/2)(δ_xz/2) (δ_yz/2) ε_z

Coefficiente di variazione d'area

[ΔA_u = A_F - A / A]

A_F - (1 + ε_x)x(1 + ε_y) ~ 1 per spostam.

[ΔA_z = ε_x + ε_y]

Analogamente trovo ΔA_x e ΔA_y ε_y + ε_z ε_x + ε_z

Coefficiente di variazione di volume

[γ = V_F - V_i / V_i]

Cambiano le proporzioni ma non la forma x (1 + ε_x)x x y' (1 + ε_y)y z' (1 + ε_z)z

V_i: xyz

V_F (1 + ε_x)(1 + ε_y)(1 + ε_z) xyz

γ = ... γ ≈ ε_x + ε_y + ε_z eliminando gli infinitesimi: γ ≈ Traccia di (somma degli elementi sulla diagonale)

N.B. Se scelgo diversi sistemi di riferimento trovo diverse terne di coefficienti di deformazione lineare, ma la loro somma NON VARIA con il SDR. Ecco perché γ è detto INVARIANTE della DEFORMAZIONE.

NIKI BALESTRIERI M^O 2000156209/02/2022

Parte ricordando la forma del vettore spostamento S(P).

S(P) = S(O) + _i^lOP

La funzione è: ₁ INIETTIVA ₂ SURJETIVA Funz. interamente congruente

Ricavo: OP, OP + S(P)

Quindi: OP' = OP + S(P) - S(O)

1. Trovo lo spostamento OP => Sviluppi di Taylor:
   • u(P) = u(O) + ...
   • Lo riscrivo in forma matriciale: u = ...
   • Quindi: S(P) = S(O) + ∇ x OP
   • ∇ s = ...; Scomposto in parte simmetrica (E) e antisimmetrica (W): E se il tensore