Meccanica dei solidi - Appunti

Le deformazioni principali (elementari) subite da un corpo possono essere:

• variazione di lunghezza
• da angoli tra segmenti
• ai volumi

Queste deformazioni possono essere identificate nel tensore delle deformazioni e:

Coefficiente di dilatazione lineare

Analizza la variazione della lunghezza di un segmento PQ al suo spostamento piú in un'intorno. La deformazione puó avvenire una variazione di lunghezza e contemporaneamente

ε_n = (l_f - l_i) / l_i è adimensionale, positivo se un allungamento,

è ha valori molto piccoli per ipotesi di piccoli spostamenti.

Considero un corpo allo stato iniziale:

OP = [ x y z ]dove xi=li

Ricavo O'P tramite: O'P = OP + T∞P

O'P = [I + ∇S ] OP

= O'P = [I + ∂u/∂x ∂u/∂y ∂u/∂z ] = ε

Quindi:

(OP')²|O'P|¹ =

1 + (1 + 2 ∂u/∂x ) - (∂u/∂x )² - (∂u/∂x )² 3(p)

ε_x = (1 + 2 ∂u/∂x)x²

Ora guarda a ε_x = (ε_xε_xi

e per HP al P.S.: = ε_x² = (2ε_x + 3(x) ) (2)

Prendo ⊙e²:

(1 + 2 ∂u/∂x)liⁱⁱ = (1 + 2 ∂u/∂x)x² = [ε_x = ∂u/∂x]

Uguale per y e z: ε_y = ∂v/∂y e ε_z = ∂w/∂z formula di congruenza

Si pongono sulla diagonale e ≡ ∇∇ → ∂w_i)

ε = [ε_x 1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x) 1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂x)][1/2 (∂u/∂y + ∂v/∂x) ε_y 1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂y)][1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂x) 1/2 (∂u/∂z + ∂w/∂y) ε_z]

COEFFICIENTI DI SCORRIMENTO ANGOLARE

...sempre nelle piccole deformazioni.

..._mm = di - df ...

... è indipendente dalle direzioni dei segmenti.

...è ADIMENSIONALE ... se l'angolo diminuisce è positivo.

Se usiamo i coeff. di allungamento lineare:O'I = (1 + Ex) ...

Sfrutto le prodotto scalare:O'I × O'I = (1 + Ex) × (1 + Ey) cos ...

Sviluppo...(1 + Ex) × (1 + Ey) ...O'I × O'I = xy xy xy ... (1)

Algebraicamente ottengo invece O'I × O'i = ... (2)

Uguagliando (1) e (2):...{delta x} y - dy + dz dx ... (idem per Vy e Xz)

Ottengo le E. di CONGRUENZA per lo scorrimento angolare.

Ne desumo:E̅ = [ ..._x ... dyxy/2 ...]

2) EQ. INDEFINITE DI EQUILIBRIO

Considero un parallelepipedo.

In più agiscono tensioni per l'equilibrio variare dallo spostamento del corpo.

In più agiscono forze di volume per X, Y, Z.

Considerando solo l'asse x ottengo: _∂τxx/_∂x + _∂τxy/_∂y + _∂τxz/_∂z + X = φ

Analogo per y e z ottengo le 3 equazioni di equilibrio.

• τ_nx = θ_xn_x + τ_yn_y + τ_xn_z = f_x
• τ_ny = τ_yn_x + θ_yn + τ_yzn_z = f_y
• τ_nz = τ_zxn_x + τ_zyn_y + θ_zn = f_z

In forma matriciale:

• _∂τxx/_∂x + _∂τxy/_∂y + _∂τxz/_∂z + X = φ
• _∂τyx/_∂x + _∂θy/_∂y + _∂τyz/_∂z + Y = φ
• _∂τzx/_∂x + _∂τzy/_∂y + _∂θz/_∂z + Z = φ

Due ho 6 incognite ma 3 equazioni!

3) SIMMETRIA DI τ̅

Studio l'equilibrio alla rotazione = Lo faccio sull'asse z quindi considero sul'ente un momento su X ≤silo le forze applicate su x e y partendo dal baricentro delle facce del parallelepipedo.

Posso escludere le forze di volume X e Y e le componenti σ_x, σ_y, T_zx, T_zy per il calcolo dei momenti grazie allo scato sato.

Quindi avrò nessun momento per tul la faccia xy, per ↸ faccia xz avrò agente solo τ_xy

Studiando l'equilibrio alla rotazione (forza = braccio) e semplificando ottengo:

τ_xy = τ_yx e analogo per la rotazione intorno x e y.

τ_xy = τ_yx ; τ_yz = τ_zy ; τ_xz = τ_zx → la τ̅ è simmetrica

L'energia accumulata durante il processo deformativo è detta ENERGIA DI DEFORMAZIONE. Questo mantiene il bilancio energetico nullo infatti restituisce all'ambiente l'energia necessaria per portare un corpo dallo stato A allo stato B.

È funzione di stato ossia dipende solo dallo stato iniziale e finale ma non dal percorso, in più esendo un materiale elastico e quindi un processo reversibile. Dato che l'energia non si accumula internamente per elasticità quando un materiale compie una trasformazione da A→B può poi tornare da B→A senza deformazioni residue.

Matematicamente:

dλ = ∂ij dεij = dω

Quindi:

dω = ∂ω / ∂εij dεij = ϑij dεij

che è la LEGGE COSTITUTIVA DIRETTA e se integro:

ωΣ = ∫ ∂ij dω

Tra l'altro ω è un'energia per unità di volume perché si occupa di tratti infinitesimali:

ωΣ(ε) = ∫₀^ε ϑ dε

Graficamente:

Se voglio restringere all'ambiente lineare instauro una relazione esprimendo la LEGGE di Hooke ϑ = Eε generede.

Θ_ij = D_ijkl Ε_kl

e ricordo: Θ_ij = ∂ω / ∂ε_ij

TENSORE ELASTICO

∂ω / ∂εij = Dijklejkle

Graficamente:

Niki Bajestrieri

Analizzando la deformazione di base di una flessione semplice retta e, in particolare, le ipotesi di Eulero-Bernoulli per travi snelle si deduce che l'asse della trave descrive un arco di cerchio.

1. Coordinatezando, richiamamo 2 ip. di Eulero-Bernoulli:

   • Nel caso di trave retta senza tutte le sezioni rimangono piane. Prendendo sezioni trasversali, mi accorgo che le deformazioni sono simmetriche rispetto a sezione mediana e la ottengo due tronchi caricati come quello iniziale.
   • Le sezioni sono ortogonali all'asse della trave e, grazie al concavo, approssimate a un arco di circonferenza.

Da 2 posso quindi stimare R(raggio di curvatura) e un centro di curvatura,

Ciò vale perché siamo nell'ipotesi di piccole defórmazione!

Ora, ricordo la legge per le deformazioni, in particolare calcolando le coeff. a dilatazione lineare.

• Ez = _P - _Ei = (2+y)dbR/R = _RbB - ^y_R

Ma 1/R (inverso della curvatura) sul piano ortogonale coincide con la

curvatura sul piano ortogonale a x = _Kx.

Equazione e data Ez = _KX = ¹_EI^Mx.

_Elx è modulo di rigidità flessibile, cioè quanto un materiale resiste alla flessione;

Curvatura

La curvatura è costante su tutta la trave ed essendo l'arco un arco di circonferenza la curvatura costante ovvero R = cerchio.

Se derivato, ottengo _U.

Se derivato l'equazione, ottengo _Mx.

Che è legge dell'equazione elastica