Meccanica Dei Solidi - Appunti

EQUAZIONI DI EQUILIBRIO INDEFINITO PER TRAVI PIANE AD ASSE RETTILINEO

∑F_T -N + ρdx + N + dN = 0

dN/dx = -ρ

∑F_N T - qdx - T - dT = 0

dT/dx = -q

∑M_S -M - Tdx + qdx²/2 + M + dM = 0

dM/dx = T

NOTA

d²M/dx² = dT/dx = -q

MECCANICA DEI SOLIDI

-MECCANICA DEL CONTINUO ALLA CAUCHY

IPOTESI N.1

= ξ = 0

CI SONO FORZE DI VOLUME MA NON COPPIE

IPOTESI N.2

= ƒ = 0 (SUPERFICIE ESTERNA)

CI SONO FORZE DI SUPERFICIE MA NON COPPIE

IPOTESI N.3

= σᵐ (pᵢ-Mⁱ) = 0 (SUPERFICIE INTERNA)

CI SONO SFORZI NELLA SUPERFICIE INTERNA MA NON COPPIE

TEOREMA DI CAUCHY

LO SFORZO ENTRA NEL CORPO

Stato di Sforzo "Tiro Nave"

σ₁₂ = τ_z

B (0, y) A (S, y)

Equazioni Indefinite di Equilibrio

(L'Equilibrio)

∫(F / N) dv + ∫σ_m ds = 0

σ_m = σ^m

∫σ dv + ∫(σ·m) ds = 0

Applico il Teorema della Divergenza

∫σ_m ds = -∫divσ dv

∫(divσ + F) dv = 0

Quindi:

divσ + f = 0 in V σ·m = f in S_f

→ Condizione al Contorno

DEFINISCO γ

γ = _π/² - (_π/₂ α₁) - α₁ + α₂ = tan α₁ + tan α₂

-|_{U2,1 + U1,2 dx} dx₁ - dx₂ + U_2,1 dx|

= U_2,1 + U_1,2

= 2 ε_1,2

ε_1,2 = ¹/₂ γ_1,2

TENSORE DELLE DEFORMAZIONI

ε→ | E_I 0 0| | E₁₁ E₁₂ E₁₃ |

| 0 E_II 0| | E₂₁ E₂₂ E₂₃ |

| 0 0 E_III | * | E₃₁ E₃₂ E₃₃ |

(ε - εE_I ).M₁ = 0

det(ε - εE_I ) = 0

ε³-I₁ε²+ I₂ε - I₃ = 0

INVARIANTI DELLA DEFORMAZIONE:

I₁ = t_Iε = E₁₁ + E₂₂ + E₃₃ - E_I + E_II + E_III

I₂ = E₁₁E₂₂ + E₂₂E₃₃ + E₁₁E₃₃ - E₁₃E₃₁ - E₁₂E₂₁ - E₂₃E₃₂

Forma quadratica omogenea delle deformazioni

Il materiale è detto stabile se necessita di forze esterne per discostare da tale stato

ω (E_ij) > 0 ∀ E_ij ω (E_ij) = 0 SSE E_ij = 0

Materiale stabile

Nel caso di materiali elastico lineare stabile ω è forma quadratica definita positiva?

- Legge di Hooke generalizzata in notazione di Voigt.

σ₁₁                | D₁₁₁₁ D₁₁₂₂ D₁₁₃₃ D₁₁₁₂ D₁₁₂₃ D₁₁₃₁ | E₁₁ σ₂₂                |           D₂₂₂₂                             | E₂₂ σ₃₃                |                             D₃₃₃₃                             | E₃₃ σ₁₂ = |                                  D₁₂₁₂                 | E₁₂ σ₂₃         |                                         | E₂₃ σ₃₁         |                                         | E₁₃

Tensore elastico

- Interpretazione geometrica di ω

Nel caso di sollecitazioni monoassiali ω è l'area sottesa dalla curva σ-ε

• ε ω_stab(ε) =
• ε ω(ε)

PLV

Consiste nel far equivalere assieme un sistema di forze equilibrato con un sistema di spostamenti contenuti

Sistema staticamente ammissibile (forze equilibrate)

Fk_x Fk_y Wk

N T M

Sistema cinematicamente ammissibile (spostamenti consentiti)

u v φ

η du/dx

χ dψ/dx

t dv/dx

Le = Σ Fk_x u_k + Σ Fk_y v_k + Σ Wk φ_k

Li = ∫₀^l (N M + T ξ + M χ ) dx

Le = Li

Per sistemi lineari:

N/E*A -> x

I/G*A -> x

Le = Li = ∫₀^l M M dx

NOTIAMO CHE UN FLUIDO IN ROTAZIONE SI COMPORTA ALLO STESSO MODO

^DIV(V) = 0 V · M = 0 ^ROT(V) = 0

PASSANDO QUINDI AD UNA SEZIONE NON CIRCOLARE:

• a >> b

τ_zy = 0 τ_zx = -2 ^M_t/_Jt y → τ_max = [ τ_zx (b/2) ] = ^{M_t b}/_Jt

J_t = 1/3 a b³

L_t SEMPRE IL LATO PIÙ PICCOLO

IL MOMENTO TENSIONALE DI INERZIA

1) Pressoflessione

N sequenza

Momento di trasporto

N applicato in P(_xp,_yp) ≠ G

Sposto N da P in G con un conseguente momento di trasposto

M = N • e

e = eccentricità

M_x = N • y_p

M_y = -N • x_p

_G = N + ^{M_x • y}/_Jx + ^{M_y • x}/_Jy = N/A + ^{N • y_p • y}/_Jx + ^{N • x_p • x}/_Jy

Su M: _Gz = 0

1/A + ^y_p/_Jx y - ^x_p/_Jy x = 0

L'asse neutro non è baricentrico

Dai segni deduco che l'asse stesso è sempre dalla parte opposta del centro delle pressioni rispetto a G (di solito non perpendicolare a S)

S = M solo se M_x o M_y = 0