Meccanica Dei Solidi - Appunti

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Author: Stevogallo

Aggiornato il 12/04/2026

di Stevogallo

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Appunti di teoria del corso di Meccanica dei solidi per l'esame del professor Bruggi, con tutto il necessario per passare la parte di teoria dell'esame. Gli argomenti trattati sono i seguenti: …

Esame Meccanica dei solidi

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Bruggi Matteo

Università Politecnico di Milano

A.A. 2013-2014

47 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Equazioni di equilibrio indefinito per travi piane ad asse rettilineo

∑F_T -N + ρdx + N + dN = 0

^dN⁄_dx = -ρ

∑F_N T̅ - qdx - T̅ - dT = 0

^dT⁄_dx = -q

∑M_S -M - Tdx + q dx ^dx⁄₂ + M + dM = 0

^dM⁄_dx = T

NOTA^d²M⁄_dx² = ^dT⁄_dx = -q

Il taglio è la derivata del momento!

Equazioni di equilibrio indefinito per travi piane ad asse rettilineo (ripetizione)

∑F_T -N + ρ dx + N + dN = 0

^dN/_dx = -ρ

∑F_N T - q dx - T - dT = 0

^dT/_dx = -q

∑M_S -M - T dx + q dx²/₂ + M + dM = 0

^dM/_dx = T

NOTA ^d²M/_dx² = ^dT/_dx = -q

Il fascio è la derivata del momento!

Meccanica dei solidi - Meccanica del continuo

Ipotesi n° 1

lim_ΔV→0 ΔR/ΔV = f[N/mm³]

lim_ΔV→0 ΔM/ΔV = 0

CI SONO FORZE DI VOLUME MA NON COPPIE

Ipotesi n° 2

lim_ΔS→0 ΔR/ΔS = ℓ

lim_ΔS→0 ΔM/ΔS = 0

SURFACE ESTERNA

CI SONO FORZE DI SUPERFICIE MA NON COPPIE

Ipotesi n° 3

lim_ΔA→0 ΔR/ΔA = σ_m (P_i, M)

lim_ΔA→0 ΔM/ΔA = 0

SUPERFICIE INTERNA

CI SONO SFORZI NELLA SUPERFICIE INTERNA MA NON COPPIE

Teorema di Cauchy

σ_s da S

SUP FRONT σ_m da T

TERZA LEGGE SANA NEI SOLIDI DALLA MASSA

F dV GS_A1 GS_A2 GS_A3

Σ_m dA = Σ₁ dA₁ - Σ₂ dA₂ - Σ₃ dA₃ + F dv = 0

Da cui: Teorema di Cauchy Σ_m = Σ₁ M₁ + Σ₂ M₂ + Σ₃ M₃

Σ_m = σ_ij M_j

σ_mj = σ_ji M_i

σ₁₁, σ₂₂, σ₃₃ Componenti Normali

σ₁₂, σ₁₃, σ₂₁, σ₂₃, σ₃₁, σ₃₂ Componenti Tangenti

Tensore degli sforzi

σ_ij = σ =

σ₁₁	σ₁₂	σ₁₃
σ₂₁	σ₂₂	σ₂₃
σ₃₁	σ₃₂	σ₃₃

Componenti di σ su M₁ = M₂ = M₃

θ₁₂ = θ₂₁

θ₂₃ = θ₃₂

θ₁₃ = θ₃₁

⇒ 6 Independenti

Σ_m =	ρ_m1	ρ_m2	ρ_m3
Σ_m1	Σ_m2	= θ	M =	Σ_m3

Sforzi principali

σ_I σ_II σ_III

x_I x_II x_III

σ = [σ_I000 σ_II000 σ_III]= P I + S

σ_m - σ_I M₂ = σ_I M₁

σ_II M₁ - σ_II M₂ = 0

(σ - σ_I) M_α = 0

det (σ - σ I) = 0

σ³ - J₁ σ² + J₂ σ - J₃ = 0

Invarianti del tensore dello sforzo

Invariante lineare

J = tr σ = σ_I + σ_II + σ_III

Invariante quadratico

J₂ = σ₁₁ σ₂₂ + σ₂₂ σ₃₃ + σ₁₁ σ₃₃ - σ₁₂ σ₂₁ - σ₁₃ σ₃₁ - σ₂₃ σ₃₂

= σ_I σ_II + σ_II σ_III + σ_I σ_III

Invilucro cubico

J₃ = det σ = σ_I σ_II σ_III

nel sistema di assi principali (x_I, x_II, x_III)

Cerchio di Mohr

Nota: Convenzione di Cauchy

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