Appunti e formule matematica finanziaria

DERIVATE DA RICORDARE

f(x) = ax

f'(x) = a

f(x) = x^a

f'(x) = a · x^a-1

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

f(x) = e^-ax

f'(x) = -a · e^-ax

f(x) = b^x

f'(x) = b ln(a) · a

f(x) = a

f'(x) = 0

f(x) = x^-1

f'(x) = -¹/_x²

f(x) = ln(x)

f'(x) = ¹/_x

f(x) = g(h(x))

f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)

f(x) = g(x) · h(x)

f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)

f(x) = ^g(x)/_h(x) = g(x) · ¹/_h(x)

f'(x) = ^{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}/_h(x)²

Nozioni Elementari

Fattore di montante

1. Intervallo [0, T]
2. f(0) = 1
3. Crescente → derivata m(t) > 0

Capitalizzazione

I = M - C

i = I/C

M(t) = M/C = 1 + t

M = C · m(t)

Attualizzazione

D = M - C

d = D/M

v(t) = C/M = 1 - d

C = M · v(t)

Fattore di sconto

1. Intervallo [0, T]
2. f(0) = 1
3. Decrescente → derivata v'(t) ≤ 0

d = i/(1 + i)

Intensità di interesse → γ = i/∆t

Intensità di sconto → η = a/∆t

Intensità istantanea interesse e di sconto → m'(t)/m(t)

(I = C · i · t)

• REGIMI DIVERSI

i_s = cap. semplice   i_c = cap. composto

(1 + t i_s) = (1 + i_c)^t

i_s = i

i_c = (1 + t i_s)^1/t - 1

• PERIODICITÀ DIVERSA

int. semplice

i_m = i_m = ⁱ⁄_m

im₁ = ⁱ⁄_m1

im₂ = ^i_m1⁄_m2

int. anticipato

d_m = ^d⁄_m

d_m2 = ^d_m1⁄_m2

int. composto

i_m = (1 + i)^1/m - 1

i_m2 = ^{(1 + i_m1)}⁄_m2 - 1

• TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE m VOLTE NELL'ANNO

J_m = m i_m < i

i = (^{1 + J_m⁄}_m)^m - 1

i_"m" = ^J_m⁄_m

J^* = ln(1 + i)

I = intensità istantanea int. reg. comp.

* i = (1 + i)^m - 1

Metodo italiano: C costante

C_k = C = ^S⁄_n

E_k = k · C

D_k = S - ^k⁄_n = S - ^{n - k}

R_k = S (¹⁄_{n + 1} + ^{n - k + 1}⁄_n)

I_k = i · B_{k + 1} = i · S · ^{n - k + 1}⁄_n

Progressione aritmetica

E_k - E_k-1 = ^S⁄_n

D_k - D_k-1 = S(¹⁄_n)

R_k = I_k + C

I_k+1 = I_k - I(^S⁄_n)

Metodo francese: R costante

S = R · ^{1 - (1 + i)-n}⁄_i

R = S · ⁱ⁄_{1 - vⁿ}

I_k = D_k-1 · (n + i) - 2

Progressione aritmetica

D_k = R^-i⁄_{1 - (1 + i)^k-n}

I_k+1 = R(1 - (1 + i)^(n-k))

C_k+n = R (1 + i)

I_k = R (1 - v^n-(k+1))

C_k = R v^n-(k-1)

C_k+1 = (1 + i) C_k

MATEMATICA ATTUARIALE

ASSICURAZIONE

• definizione
• libere contro danni sulla vita e obbligatorie
• incertezza → _r met. finanziaria
• SOGGETTI: ASSICURATORE, ASSICURATO, BENEFICIARIO, CONTRAENTE

PREMI ASS:

• UNICI o PERIODICI
• PURO o CARICATO

F. BIOMETRICHE

• F. SOPRAVVIVENZA

TAVOLE DEMOGRAFICHE

• tasso di mortalità annuo
• ^xn = n. viventi all'età x
• d^x = decessi
• b^x = annuo sopravvivenza
• t annuo mortalità
• prob. vivere ancora n anni
• prob. morire entro n anni
• prob. morire tra x+m e x+m+n
• prob. morire tra x+m e x+m+1
• vita media residua e_x
• completa e incompleta
• età moderna p_x = 0,5

NAA(^x) = [S · ρ + S (1 - ρ)] vⁿ

• equità finanziaria → U = VAA(S)

VALUTAZIONE POLIZZE ASSICURATIVE

• ipotesi demografica
• ipotesi finanziaria