Appunti e formule matematica finanziaria

Derivate da ricordare

f(x) = ax

f'(x) = a

f(x) = x^a

f'(x) = a · x^a-1

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

f(x) = e^-ax

f'(x) = -a · e^-ax

f(x) = e^bx

f'(x) = b · ln(a) · a

f(x) = a

f'(x) = 0

f(x) = x^1/2 = x

f'(x) = (1/2) · x^-1/2 = 1/(2√x)

f(x) = 1/ = ⁻¹

f'(x) = −⁻² = −1/²

f(x) = 1/

f'(x) = −1/²

f(x) = ln()

f'(x) = 1/

f(x) = g(h(x))

f'(x) = g'(h(x)) · h'(x)

f(x) = g(x) · h(x)

f'(x) = g'(x) · h(x) + g(x) · h'(x)

f(x) = g(x)/h(x) = g(x) · 1/h(x)

f'(x) = (g'(x)h(x) − g(x)h'(x))/h(x)²

DERIVATE DA RICORDARE

f(x) = a∙x

f'(x) = a

f(x) = x^a

f'(x) = a∙x^a-1

f(x) = e^x

f'(x) = e^x

f(x) = e^-ax

f'(x) = -a∙e^-ax

f(x) = a^x

f'(x) = b∙ln(a)∙a^bx

f(x) = √x = x^1/2

f'(x) = 1/2∙x^-1/2 = 1/2√x

f(x) = 1/x = x^-1

f'(x) = -x^-2 = -1/x²

f(x) = ln(x)

f'(x) = 1/x

f(x) = eu(x)

f'(x) = g'(h(x))∙h'(x)

f(x) = g(h(x))

f'(x) = g'(x)∙h(x) + g(x)∙h'(x)

f(x) = g(x)∙h(x)

f'(x) = g(x)h'(x) - g(x)h'(x)/(h(x))²

f(x) = g(x)/h(x) = g(x)∙1/h(x)

NOZIONI ELEMENTARI

FATTORE DI MONTANTE

1. intervallo [0;T]
2. f(0) = 1
3. crescente → derivata m(t) > 0

CAPITALIZZAZIONE

I = M - C

i = I / C

m(t) = M / C = 1 + i

M = C ∙ m(t)

ATTUALIZZAZIONE

D = M - C

d = D / M

v(t) = C / M = 1 - d

C = M ∙ v(t)

FATTORE DI SCONTO

1. intervallo [0;T]
2. f(0) = 1
3. decrescente → derivata v'(t) ≤ 0

d = i / (1 + i)

INTENSITÀ DI INTERESSE

γ = (i) / (Δt) → i

INTENSITÀ DI SCONTO

η = (d) / (Δt) → d

INTENSITÀ ISTANTANEA INTERESSE E DI SCONTO

m'(t) / m(t)

(I = C ∙ i ∙ t)

TRASLATIVITÀ

μ(t₀,t₁) = μ(t₀ + q,t₁ + q) ∀ q ≥ t₀

int. semplice

μ(t₀ + q,t₁ + q) = 1+i (t₁ + q - (t₀ + q))= 1+i (t₁ - t₀)= μ(t₀,t₁)

int. composto

μ(t₀ + q,t₁ + q) = (1+i)^{(t₁+q-(t₀+q))}= (1+i)^(t₁-t₀)= μ(t₀,t₁)

SCINDIBILITÀ

μ(t₀,t₂) = μ(t₀,t₁) · μ(t₁,t₂) ∀ t₀ ≤ t₁ ≤ t₂

int. semplice

μ(t₀,t₁)μ(t₁,t₂) = (1+i (t₁-t₀))(1+i (t₂-t₁))= μ(t₀,t₂) ≠ μ(t₀,t₂)

NO

Regimi Finanziari

Regime di capitalizzazione semplice (o lineare)

m(t) = 1 + αt   ∀α ∈ ℝ⁺ t ≥ 0

1. c.e. ℝ
2. m(0) = 1
3. m'(t) = α α >>>

m(t) = 1 + i_t

M = C (1 + i_t)

I = C · i_t

D = M / 1 + i_t

d(t) = 1 / 1 + i_t

Sconto Razionale

v(t) = 1 / 1 + i_t

M = C / 1 + i_t

I = C i_t / 1 + i_t

op = M d_t

Regime di sconto commerciale (o interesse anticipato)

v(t) = 1 - dt

1. t < 1/d
2. v(0) = 1
3. v(t) = 1 -- d < 0

C = M (1 - d_t)

D = M d_t

d(t) = D / M

M = C / 1 - d_t

Δ = d / 1 - d_t

d_t = d / 1 - d_t

Regime Capitalizzazione Composta

m(t) = (1+α)^t

1. definito in R
2. m(0) = (1+α)⁰ = 1
3. m′(t) = (1+α)^t ln(1+α) > 0 ∀t

m(t) = (1+i)^t

M = C · (1+i)^t

I = C [(1+i)^t − 1]

i = _{M · C}⁄^C

S(i) = ln(i+1)

sconto composto : ν(t) = (1+i)^−t

C = M (1+i)^−t

D = M [ 1−(1+i)^−t ]

d = 1−(1+i)^−t

Equivalenza Finanziaria

• Tasso Medio i^* → cap. semplice e anticipata

C [1+i^*t_j−C [ 1+Σi_jg (t_j−t_j−1) ]

i^* = _{Σijg (tj−tj−1)}⁄^(t_n−t₀)

• cap. composta

i^* C (1+i^*)^t_n−t₀ = C [Π(1+i_jg)^{t_j−t_j−1}]

i^* = [Π(1+i_jg)^{t_j−t_j−1}] ¹⁄_tn−t0 − 1

• REGIMI DIVERSI

i_s = cap. semplice

i_c = cap. composto

(1 + ti_s) = (1 + ic)^t

i_s =

1. (1 + i_c)^t - 1

i_c = √1 + ti_s - 1

• PERIODICITÀ DIVERSA

⇒ int. semplice

ⁱ/_m o i_m =

⇒ int. anticipato

d_m =

⇒ int. composto

i_m =

• TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE M VOLTE ALL'ANNO

J_M = m i_m <i

i = (1 + J_M/m)^M - 1

i_n^* = J_M/m

J^* = ρ_μ(1 + i) =

INTENSITÀ ISTANTANEA INT. REG. COMP.

• *

i = (1 + i)^M - 1

OPERAZIONI FINANZIARIE COMPLESSE

valori attuali singoli → sconto composto

v(t) = (1 + i)^-t

→ sconto razionale

v(t) = (1 + it)^-1

→ sconto commerciale

v(t) = 1 - dt

VALORE ATTUALE:

W(x,t;0) = ∑x_ke^-δt_k = ∑x_kv(t_k)

MONTANTE:

W(x,t,t_n) = ∑x_km(t_n-t_k) = ∑x_ke^δ(t_n-t_k)

τ > 0:

W(x,t;τ) = ∑x_km(τ-t_k) + ∑x_kv(t_k-τ)

W(x,t;τ) = W(x,t;0) · e^δτ

M(x,t;τ) = -V(x,t;τ)

OF Equc → W(x,t;τ) =0

→ W(x,t;τ) = -W(z,t;τ)

→ M(x,t;τ) = -V(x,t;τ)

LE RENDITE

W(r, t, t₀) = ∑ R_k m(t - t_k) + ∑ R_k V(t_k - t)

VAL = W(r, t, t₀) = ∑ R_k V(t_k) = ∑ R_k e^st_k

MONT. = W(r, i, t₀) = ∑ R_k m(t_n - t_k) = ∑ R_k e^{δ(t_n - t_k)}

• R. TEMPORANEA PERIODICA POSTICIPATA RATA COSTANTE

  V_o = R ^{1 - Vn}/_i

  n = (1/¹/_{1 + i})ⁿ

• R. PERPETUA POSTICIPATA RATA COSTANTE

  V_o = R¹/_i

• R. TEMPORANEA PERIODICA ANTICIPATA RATA COSTANTE

  V_o = R (1 + ¹/_i) ^{1 - Vn}/_i

• R. PERPETUA ANTICIPATA RATA COSTANTE

  V_o = R (1 + ¹/_i)

• R. UNITARIA ANNUALE POSTICIPATA DIFFERITA

  V_o = R (1 + i)^{p 1 - Vn}/_i

• R. UNITARIA ANNUALE ANTICIPATA DIFFERITA

  V_o = R (1 + i)^p (1 + i) ^{1 - Vn}/_i

• R. FRAZIONATA

  V_o = ^R/_m ^{1 - (1 + im)n}/-^i_m

  1 + i = (1 + ⁱ/_m) > ^m = (1 + i)¹/sub>m - 1

→ M. R. UNIFICATA ANNUA ANTICIPATA TEMPORANEA

M = Σ(1+i)^k = Σ m^k = (1+i) ^(1+i)n-1 / _(1+i)ⁿ

non unitaria: M = R (1+i) -1

→ M. R. UNIFICATA ANNUA POSTICIPATA TEMPORANEA

M = Σ(1+i)^k-1 = ¹⁄_1+i (1+i) ^{(1+i)n-1 / _i}

non unitaria: M = R ^(1+i)n-1 / _i

→ RATA NON COSTANTE → PROGRESSIONE GEOMETRICA

V_o = Rn ^1-(qv)n / _1-qv

M. R. FRAZIONATA

M_n = R/m ^(1+i_m)mn-1 / _im

Costituzione Capitale e Ammortamenti

1. Versamento unico _{t < T} C|C_m(T-t) = M
2. Versamenti periodici costanti

^{(1+i)n - 1 (1+i)-1} M = R       i _{→ post.} M = R _{→ anti.}

3. Versamenti irregolari V(C, t; i) = ∑R_k(1 + i)^{T - t_k} = M

Ammortamento Debito (S)

pag. unico → M = S (1 + i)^t in base al regime _{tk = k-1} I_k = (1+i) - 1 D_k-1 pag all’incanto                        amm. periodico annuo chiusura elementare → E_K = S chiusura finanziaria → E^-v_k I_vK = S

Metodi

1. Rimborso intero a scadenza interessi periodici

D_k = S I_k = iS C_k = 0 S R_k = iS E_k = 0

2) Metodo Italiano: C Costante

C_k = C = S/n   E_k = k·S/n   D_k = S - k·S/n = S n-k/n

R_k = S (i/n+1 n-k+1/n)   I_k = i·B_k-1 = i·S n-k+1/n

Progressione Aritmetica

E_k-E_k-1 = S/n   D_k-D_k-1 = S (-1/n)   R_k = I_k + C

I_k-I_k-1 = i·S (-1/n)

3) Metodo Francese: R Costante

S = R 1-(1+i)^-n_i   R = S i/1-vⁿ   I_k = D_k-1 (1+i) - S

Progressione Aritmetica

D_k = R/i 1-(1+i)^k-n

I_x+1 = R (i/1-(1+i)^(n-k))

T_k = R (1-v)^n-(k+1)

c_k+1 = R (1+i)

C_k+1 = (1+i) C_k

(2) METODO AMERICANO O DEL DUE FONDI

R = I + Q

Q = S _i / (1+i)^n-1

I = iS

VALUTAZIONE PRESTITO

V_e = Σ R_k (1+y)^-(t_k-t)

y = i

V_e = D_e

R = S . [i / 1-(1+i)^-n]

V_e = R . [1-(1+y)^(t_M-t) / y]

USUFRUTTO E NUDA PROPRIETA'

USUFRUTTO

U_e = Σ I_k (1+y)^-(t_k-t)_{tk > t}

NUDA PROPRIETA'

P_e = Σ C_k (1+y)^-(t_k-t)_{tn > t}

V_e = U_e + P_e

Valutazione Progetti

→ REA (VAN) = ∑ x_k (1 + i)^-t_k

REA_A+B = REA_A + REA_B

REA_αA = α REA_A

→ TIR

 * ∑ x_k (1 + i)^t_k = 0

TIR_αA = TIR_A

Matematica Attuariale

Probabilità di vita/morte

• Tasso annuo sopravv → p_x = ^L_x+1/_Lx
• Tas. annuo mortalità → q_x = ^d_x/_Lx q_x = ^{L_x - L_x+1}/_Lx
• Prob. viviere n anni → n p_x = ^L_x+n/_Lx
• Prob. morire n anni → n q_x = ^{L_x - L_x+n}/_Lx
• Prob. morire tra x + m e x + n + n → m/n q_x = ^{L_x+m - L_x+m+n}/_Lx
• Prob. morire tra x + m e x + m + 1 → m/1 q_x = ^d_x+m/_Lx

VITA MEDIA INC = ∑_δ=0^w-x-1(δ+1)    t|n q_x =              ,       =         

VITA MEDIA COM = e_x - ½

VALORE ATTUALE ATTUARIALE

     x  |        |   0    1-p           V_A ΔA_Δ(x) = [s⋅ρ + o&(1-ρ)]⋅vⁿ

VALUTAZIONE POLIZZE ASSICURATIVE

ASS. VITALE SULLA VITA        U =

CAPITALE DIFFERITO       U =  e  = n p_x vⁿ    op      U =       

RENDITA VITALIZIE

• IMMEDIATA - POSTICIPATA

- DIFFERITA - POSTICIPATA

ASSICURAZIONI

ELEMENTARE

_n|A_x = _n|q_xvⁿ⁺¹

d_x+n l_x C_x+n A VITA

= ----------------- = -------------- -> INTERA

m_x D_x

_n|A_x = _n|A_x(1+i)^0.5 -> TEMPORANEA

IMMEDIATO

• PAG. A_x = ---------------
• FINE M_x
• ANNO D_x
• PAG. _m|nA_x = m_x+n - m_x+m
• --------------
• D_x
• PAG. A_x = A_x(1+i)^0.5
• FINE
• ANNO
• PAG. _n|A_x = _n|A_x(1+i)^0.5
• MORTE

DIRETTO

• PAG. _m|nA_x = --------------------
• m_x+n+m
• FINE --------------
• ANNO D_x
• PAG. A_x = _n|A_x(1+i)^0.5
• MORTE

Matematica Attuariale

Assicurazioni

• definizione
• tutele contro danni sulla vita - obbligatorie
• incertezzo - fatt. merc. financial
• soggetti: assicuratore, assicurato, beneficiario, contraente

Premilassio

• Unici o Periodici
• Puro o Caricato

F. Biometricità -> F. Sopravvivenza

• Tavole Demografiche \( l_x \in [0; \omega] \rightarrow \mathbb{N} \)
• \( q_x \; tasso \; di \; mortalità \; annuo \)
• \( l_x = n. \; viventi \; all'età \; x \)
• \( d_x = \; decessi \)
• \( t. \; anno \; sopravvivenza \)
• \( t. \; anno \; mortalità \)
• Prob. vivere ancora m anni
• Prob. morire entro n anni
• Prob. morire tra x+m e x+n
• Prob. morire tra x+m e x+m+1
• Vita media residua
• \( \overline{e}_x \; completa \; e \; incompleta \)
• \( fra \; mobile \; pr = 0.5 \)

NAA(x)

\( = [S. \rho + S(1 - \rho)] v^{n} \)

• -> Equato Finanziaria -> \( U = VAA(S) \)

Valutazione polizze assicurative

• Ipotesi demografica
• Ipotesi finanziaria