Appunti completi Matematica attuariale (2 modulo)

LEZIONE 1

Scienze ed osservazioni

INCERTEZZA PURA:

universe di risultati, la consequenza economica ha un'incertezza non connessa ad associare un probabilità

• nota
• accade

• Contesti minimax: i minimum sono 5 e 7 e, relga la situazione miglior 7 ⇒ short run A e toms ↓
• Contesti maximax: relga la situazione miglior per tutte 19 ⇒ long run A
• Criteri minmin minimax: unite domone cosi il samatur minimax conseguenza - Conseguenza della scelta, e feciamo il minmin ⇒ long run A O

INCERTEZZA PROBABILISTICA:

Come la consequenza economica. Un universe i access probabilette progettare oltre ad il resto; consi le consequence economice del denvers ha coni nu condanna la nutta con gli ditte di retorno e diragur a bold evento probabilista objetivo (condiverse)

La dentrota con e-un probabitto-

Consideriamo P({_{X` cos tale da non verificare il punto de nostra funzione, se ne svolge la deb. del normale se si compie l’azione ai, belle variabili convinzione.}

Azardo Morale:

E’ un comportamento che detta, a favore dell’ag, diventano la par. della verità.

1. Assioma: CompletezzaF_a ⊑ F_b      F_a ∋ F_b      F_a ∼ F_b      F = ldi indeterminazioni
2. Assioma: TransitivitàF_a ⊑ F_b ∩ F_c ⇒ F_a ⊑ F_c
3. Assioma: Continuità: è sempre possibile, combinando linearmente un illimitato ottimo e un pessimo, trovare un'illimitata indifferente ad un’illimitata volendo.∃ λ ∊ ]0,1[      λF_a + (1-λ)F_c ∼ F_p ⊄ F_b

Considerare danni con λ ∊ ]0,1[ va comica tale che λF_a + (1-λ)F_c non scostabili (∼) in F_b

Funzione Utilita Ordinaria se e 3° Assiomi sono soddisfatti ⇒ è possibile definire una funzione F su ℝ denotata V V : F ⇒ ℝ la sua contributase F_a ⊑ F_b ⇒ V(F_a) ≤ V(F_b) ⇒ su belle nostre possono cheuna corretta probabilità ad una quantitàl’invenzione vale ^max_a∊A V(F_a) = V(F^x) con a^* = molta ω_p

A = insieme delle nostre possibilità

LEZIONE 3

E(x) = le edelte

non appartiene la relazione tra U(E(x)) e E(U(x)) dobbiamo spostare una legge lineare che rappresenta l'indiettivo (che non coinvolga a quella del punto di non udibilita) = e sostituire al posto E(U(x)). le le forme indice: come lineare = E(U(x)) i U(E(x)). Meno. non prendere la f. si distribui nel nostro inversione. conz conezione = si percepisce la cheargmenighen in Jacobise: U(E(x)) > E(U(x))

Si trovasi un paffe dell'una (delle) anno = no punto in formare un posto. che, prodotta nell'una delle x relaxxesca la nostra tenche che la nostra inversione formala relativamente l'obbiettivo allora E(U(x)).

W_E = opz certo = rispondere alle domande: qual è il comportamento edell, dovere che sono deporti a solevare con agis dermoor x₁, x₂ con determinale probelato? W_c una della parte del nuova rapporto a ruscire W_E = E(x)

Sorte più grande in quonsto affermira E(x) - W_E, Tronta più tra soggetto e attraversa di rogulare E(x) - W_E > 0 => attraversa del rutto.

Se l'indice: come lineare => U(E(x)) - E(U(x)) : 0 E(x) - W_E - 0 E(x) = W_E

Esercizio

\( \tilde{W}_{0} = 500 \)

\( \tilde{E} = \begin{cases} 30, & 0,5 \\ -25, & 0,5 \end{cases} \)

f. utilità logaritmica

E\( \tilde{E} \) = (30 ∙ 0,5) + (-25 ∙ 0,5) = 2,5 > 0 => gioco favorevole

U(W₀) ≥ E [ U(W_~) ]

U(W₀) = ln 500 = 4,605

E [ U( W_~) ] = 0,5 ln (30) + 0,5 ln (75) = 4,59125

U(W₀) ＞ E [U( W_~ )] => non gioca

Come faccio a far giocare ?

Premio al rischio

U(W₀) = E [ U \( ( \tilde{W} + x ) \)]

ln (500) = 0,5 ln (30 + x*) + 0,5 ln (75 + x*)

\( x* = 1,22 \)

\(\forall x > x* \) non rifiuta a giocare a meno

\(\tilde{W}_{0} = 200 \)

\( \tilde{E} = \begin{cases} +70, & \frac{2}{3} \\ -60, & \frac{1}{3} \end{cases} \)

f. utilità logaritmica

Premio assicurativo

E\( \tilde{E} \) = -3,3 => gioco favorevole

U(W₀ - x*) = E [ U( W_~ ) ]

ln (300 - x*) = ^2/3 ln (170) + ^1/3 ln (140)

\(x* = 24,96\)

=> al gioco è tanto sfavorevole da rinunciare, e una parte - pagare fino a π* pur di non giocare

\( \forall x < x* \) non rifiuta

\( U(W₀ - \pi) > E [ U( W_~ ) ] \)

non può superare W₀-π_max

non può superare E(U(Ŵ))

può avere il coraggio di rovinarci ⇒ può non guadagnare π

l'ordinatore mi chiede l'eq. certo e dice: π_max è il max del premio certo calcolato

ASSICURATORE:

dispone solo una fra la moltitudine nelle nostre (non diverse) delle monete U e ha patrimonio iniziale M.

Queste ho sovraesposto la copertura al premio, quindi P = ^L/₂

=> M + P - X̃ = { M + ^L/₂ - L   F

{ M + ^L/₂   F

se non si ammette E(U̅(M)) = U̅(M)

se no ammette E(U̅(M+P-X̃)) = (U̅(M-^L/₂) + U̅(M+^L/₂))/2

con premio certo ⇒ U̅(M) ≥ E(U̅(M+P-X̃))

ordinario max si ammortizza il premio, quindi l'ordinatore non N

IV TEOREMA:

Condizione

E{ x -> x + t₂ } con t₂ > t₁

E{ x -> x + t₂ } = E{ x -> x + t₁ } ∪ E{ x -> x + t₂ }

Somma legge dei due intervalli indipendenti

t₂P_x = t₂P_x + t₂/t₁ - t₁ q_x - x

⟹ (t₁t₂ - t₂ q_x - x = t₁ - t₂P_x)

ETA ESTREMA:

età ↑ che la prob ↓

ω = età estremo

μ x