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MATEMATICA FINANZIARIA
La matematica finanziaria si occupa degli aspetti quantitativi delle operazioni finanziarie, che possono essere certe oppure aleatorie.
certe tutti gli elementi che la costituiscono sono a priori noti; aleatorie uno o più dei suoi elementi sono variabili aleatorie.
Qui ci occupiamo solo di quelle certe.
PRESTAZIONI E CONTROPRESTAZIONI
In una operazione finanziaria sono coinvolti 2 soggetti:
- creditore (o prestatore)
- debitore (o contropreatore)
Almeno uno dei due soggetti è un istituto di credito o un altro intermediario finanziario.
Le prestazioni e le controprestazioni possono essere formalizzate attraverso coppie (capitale, valuta) => (Ci, ti), che possono essere rappresentate su un asse (asse dei tempi):
C+t+
Il capitale Ci in t0 è versato dal creditore al debitore (PRESTAZIONE) o è versato dal debitore al creditore (CONTROPRESTAZIONE).
OPERAZIONI FINANZIARIE IN CONDIZIONI DI CERTEZZA
Operazione finanziaria sequenza di una o più prestazioni seguite da una o più controprestazioni.
=> non ci può essere alternanza tra prestazioni e controprestazioni.
1. op. fin. elementare => 1 sola prestazione e 1 sola controp.
POCth
2. op. fin. complessa
a due o più prestazioni => una sola controp => operazione di costituzione di un capitale.
P0 P1 P2 P3 ... Pn-1 CnO t1 t2 t3 ... tn-1 tn
b. una prestazione
c. due o più prestazioni
FUNZIONI FINANZIARIE
Una funzione finanziaria formalizza le relazioni tra due o più coppie
Equivalenza tra capitali
t = tempo di disponibilità
t = tempo di valutazione
Funz. fin.
PROPRIETÀ DELLE FUNZIONI FINANZIARIE
Sono 4 ed esse fondamentali
prop. fondamentali:
1. positività della derivata prima
2. proporzionalità rispetto al capitale
quindi
Il passo successivo è vedere come è fatta graficamente la funzione:
T > 0
limT→0+ m(T) = 1
m(1) = 1 + i
Operazione di capitalizzazione
Noti C0, i, T ⇒ CT = C0(1 + iT)
Noti CT, i, T ⇒ C0 = CT/1 + iT
Noti C0, i, CT ⇒ T = CT - C0/C0i
Noti C0, CT, T ⇒ i = CT - C0/C0T
Funzioni di sconto
2. Funzione di sconto razionale
V(R)(t, T) · [ 1 + i (T - t) ] = 1
V(R)(T, t) = 1/1 + i (T - t)
posto T - t = T ⇒ V(R)(T) = 1/1 + i T
Funzione di sconto commerciale → qui i è il tasso di sconto (d)
V(c)(t, T) = 1 - d (T - t)
V(c)(T) = 1 - iT
1 - iT > 0 → T ≤ 1/i
f(x) = ex(1 + x)xlogx(1 + x)1 + k - x + x - x2
= (1 + x)x [log(1 + x)k + x2 k2 k] =
= (1 + x)x[log(1 + x)x - x] + x / k + x
x = log(1 + x) / k
logaritmico
20 => quindi log(1 + x)1/2
(1 / x)-4
log(1 + x) = x - x2/2 + x3/3 - x4 / 4+...
log(1 - x) = -x - x2/2 - x3 / 3 4...
= -∑ x5 / 5
x3 log(1 - x) =
=> quindi = log(1 + x) 2/x
(1 + x)
2x / x = x / x
= x
(1 + x)x = x - x - x = x/(1 - x)
(1 + x)(1 - x) = x + x
essendo
=> x
= x(Jk - x/2k + J) / (2k + J)
volere che log(1 + J/k) > J/k + JEsercizio
Essendo Jx ∈ 1
x= Jx (0,10 i) i
= 1 + (1 + 0,102) = 0,1025
i'= (1)+0,10 - iJ0,10/4(i-1) = 10(10256828914 = 10(25683098.13
=> i"=ii'
4A. Tempo del loro inizio:
- Differite → quando c'è un intervallo temporale iniziale ma di differimento in cui non si rende disponibile nessun termine
C1 C2 C3 ... Cs ... Cn
0 m m+1 m+2 ... m+s ... m+n
- Immediate → non c'è differimento (m=0)
4B. Disponibiltà dei termini:
- Anticipate → quando ciascun termine si rende disponibile all'inizio del relativo periodo (m=-1)
C
(1+i)s = 1 + ik
= > (1+i) = (1+ik)k
(1+i)s = (1+ik)s
=> Posto Cs=1 => Vo=∑s=1m (1+i)s/k = Ani 1 = f-(1+ik)-n
= 1[(1+ik)-n]
(1+ik)-1
i = f= Ani 1
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