Appunti Di Matematica Finanziaria

Esercizi svolti

di Matematica Finanziaria

—————

Anno Accademico 2009/2010

Rossana Riccardi

Dipartimento di Statistica e Matematica Applicata all’Economia

Facoltà di Economia, Università di Pisa,

Via Cosimo Ridolfi 10, 56124 Pisa, ITALY

E-mail: riccardi@ec.unipi.it

Versione Preliminare

Dicembre 2009

2

Indice

1 Leggi di capitalizzazione 5

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Forza d’interesse e scindibilità . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.2 Regimi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Tassi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Leggi finanziarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Capitalizzazione semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.3 Capitalizzazione composta . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.4 Tassi equivalenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.5 Esercizi di riepilogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Rendite 35

2.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.1 Rendite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.2.2 Accumulazione di capitale . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2.3 Esercizi riassuntivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3 Ammortamenti 55

3.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.1.1 Ammortamento italiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.2 Ammortamento francese . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.3 Ammortamento americano . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.4 Costituzione di Capitale . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.1.5 Il Leasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.1 Ammortamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.2.2 Ammortamento francese . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.2.3 Ammortamento americano . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3

4 INDICE

3.2.4 Ammortamento italiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2.5 Esercizi riassuntivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Valutazione degli investimenti 81

4.1 Richiami di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.1 VAN e TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.2 TAN e TAEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1 VAN e TIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.2 TAN e TAEG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2.3 Esercizi riassuntivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Capitolo 1

Leggi di capitalizzazione

1.1 Introduzione

La presente dispensa ad uso degli studenti dei corsi di Matematica Generale

si propone come scopo di fornire alcuni esercizi di matematica finanziaria,

in parte svolti integralmente, in parte riportando i soli risultati finali, per

aiutare gli studenti nella preparazione dell’esame. Per la parte teorica si

rinvia al testo di riferimento segnalato nel programma del corso. All’inizio

di ogni capitolo verranno fatti solo brevi riferimenti teorici per richiamare i

principali concetti in uso negli esercizi. In ogni capitolo, dopo la premessa

teorica, saranno presenti una sezione di esercizi divisi per argomento trattato

ed una sezione conclusiva con temi d’esame ed esercizi riassuntivi. Nel caso

di errori nei testi o nelle soluzioni degli esercizi è gradita la comunicazione

all’indirizzo e-mail indicato nella prima pagina.

1.2 Richiami di teoria

Siano C un capitale versato o riscosso al tempo t = 0 ed M (t) la somma

ottenuta alla scadenza t relativa a tale capitale. La somma M viene indicata

con il termine montante ed è equivalente alla seguente espressione:

M (t) = C(0) + I(t)

dove C(0) rappresenta il capitale investito al tempo t = 0 ed I(t) gli interessi

0

maturati sul capitale nel periodo (0, t), ovvero la remunerazione richiesta per

lasciare investito il capitale anzichè utilizzarlo in maniera differente.

Si definisce legge di capitalizzazione e si indica con f (t) la legge che espri-

me il montante ottenuto al tempo t di un capitale unitario investito al tem-

po 0. La funzione M (t) quindi dipende dalla formulazione matematica del

5

6 CAPITOLO 1. LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

fattore di capitalizzazione f (t): ·

M (t) = C f (t)

La legge di capitalizzazione f (t) affinchè rappresenti un fattore di mon-

tante deve verificare le seguenti proprietà:

∀ ≤ ≤

i) f (t) è definito 0 t T

ii) f (0) = 1

iii) f (t) è non decrescente nell’intervallo (0, +∞)

Si definisce legge di attualizzazione e si indica con v(t) la legge che espri-

me il capitale investito al tempo 0 corrispondente ad un montante unitario

al tempo t. La relazione che lega, quindi, capitale, montante e fattore di

attualizzazione è la seguente: ·

C = M v(t) (1.2.1)

Due regimi f e v, rispettivamente di capitalizzazione e di attualizzazione,

· ∀ ≥

si dicono coniugati se f (t) v(t) = 1 t 0. Analogamente la legge di attua-

lizzazione perchè rappresenti un fattore di sconto deve verificare le seguenti

condizioni:

≤ ≤ ∀ ≥

i) 0 v(t) 1, t 0

ii) v(0) = 1

iii) f (t) è non crescente nell’intervallo (0, +∞)

1.2.1 Forza d’interesse e scindibilità

Si consideri una generica legge di formazione del montante:

·

M (t) = C f (t)

ed un intervallo infinitesimo tra gli istanti t e t + ∆t. La differenza tra i

montanti iniziale in t ed in t + ∆t risulta pari a:

−

I(t, t + ∆t) = M (t + ∆t) M (t)

e rappresenta la variazione dell’interesse provocata dall’incremento di durata

dell’investimento. Il tasso effettivo d’interesse in tale intervallo di tempo

risulta pertanto pari a: −

− f (t + ∆t) f (t)

M (t + ∆t) M (t) =

i(t, t + ∆t) = M (t) f (t)

1.2. RICHIAMI DI TEORIA 7

Si definisce intensità d’interesse il rapporto tra tasso d’interesse e

durata dell’operazione finanziaria:

− −

i(t, t + ∆t) M (t + ∆t) M (t) f (t + ∆t) f (t) 1

·

= =

∆t M (t) ∆t f (t)

→

Se f (t) è una funzione differenziabile il suo limite ∆t 0 si chiama

intensità istantanea d’interesse o forza d’interesse al tempo t,

0

− −

M (t + ∆t) M (t) f (t + ∆t) f (t) 1 f (t)

·

δ(t) = lim = =

M (t) ∆t f (t) f (t)

∆t→0

ovvero d

δ(t) = ln (f (t)) (1.2.2)

dt

Una importante proprietà di alcune leggi finanziarie è la scindibilità. Una

legge finanziaria si dice scindibile se il montante di un capitale C, impiegato

fino ad una data epoca t, ad un tasso assegnato i, non varia qualora l’impiego

venga interrotto all’epoca t , con 0 < t < t ed immediatamente reimpiegato

1 1

alle stesse condizioni, fino all’epoca t, ovvero se f (t) soddisfa la seguente

relazione −

f (t) = f (t )f (t t ), 0 < t < t. (1.2.3)

1 1 1

In maniera equivalente si dimostra che una legge risulta scindibile se la

sua intensità istantanea di interesse δ(t) è costante rispetto al tempo.

1.2.2 Regimi notevoli

Varie sono le funzioni matematiche che possono esprimere una legge di ca-

pitalizzazione f (t) e le rispettive leggi di attualizzazione v(t). I regimi più

noti sono: regime semplice, composto e sconto commerciale. Di seguito si

riportano, brevemente, le principali caratteristiche di tali leggi finanziarie.

8 CAPITOLO 1. LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

1+i

1

M 0 1

t

Figura 1.1: Montante in capitalizzazione semplice

Regime di capitalizzazione semplice

La legge di capitalizzazione semplice si basa sul presupposto che il mon-

tante di un capitale sia incrementato, al variare della scadenza t, con anda-

mento lineare. La sua formulazione matematica è:

· ≥

f (t) = 1 + i t, t 0 (1.2.4)

da cui · ·

M (t) = C (1 + i t) (1.2.5)

dove i è il tasso di interesse sul periodo unitario. Nella figura 1.1 è rappre-

sentato l’andamento della legge M (t) fissato il tasso i al variare del tempo di

investimento nell’ipotesi di capitale iniziale unitario.

L’interesse prodotto da C nel tempo t è pari a:

· ·

I(t) = C i t (1.2.6)

da cui si ottengono le formule inverse:

I I I

C(t) = ; i(t) = ; t = .

· · ·

i t C t C i

1.2. RICHIAMI DI TEORIA 9

La legge di capitalizzazione semplice non è una legge scindibile. Si ha

infatti applicando la definizione: 21

· · − − · 6 ·

(1 + i t )(1 + i (t t )) = 1 i t + t t + t = 1 + i t

1 1 1

Regime di sconto semplice o razionale

È il regime di sconto coniugato del regime di capitalizzazione semplice.

La sua espressione matematica è: 1 ≥

v(t) = , t 0 (1.2.7)

·

1+ i t

da cui M

C = (1.2.8)

·

1+ i t

−

M C

i = (1.2.9)

·

C t

−

M C

t = (1.2.10)

·

C i

Regime dello sconto commerciale

Il regime di sconto commerciale viene utilizzato prevalentemente per lo

sconto delle cambiali finanziarie. La sua formulazione matematica è:

− · ≥

v(t) = 1 d t, t 0 (1.2.11)

da cui · − ·

C = M (1 d t) (1.2.12)

dove d è il tasso di sconto sul periodo unitario. Il regime di capitalizzazione

coniugato del regime di sconto commerciale è dato da

1 ≥

, t 0 (1.2.13)

v(t) = − ·

1 d t

10 CAPITOLO 1. LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

M 1+i

1

0 1 t

Figura 1.2: Montante in regime di sconto commerciale

da cui 1

·

M (t) = C (1.2.14)

− ·

1 d t

Nella figura 1.2 è rappresentato l’andamento della legge M (t) fissato il

tasso d al variare del tempo di investimento nell’ipotesi di capitale iniziale

unitario.

Regime di capitalizzazione composta

Il regime di capitalizzazione composta è il regime utilizzato per il calcolo

degli interessi su conto corrente, per i titoli con cedola, per il calcolo delle

rate dei prestiti etc. Nella pratica è indubbiamente il regime più frequente.

La sua formulazione matematica è la seguente:

t ≥

f (t) = (1 + i) , t 0 (1.2.15)

da cui t

·

M (t) = C (1 + i) (1.2.16)

1.2. RICHIAMI DI TEORIA 11

M 1+i

0 1 t

Figura 1.3: Montante in regime di capitalizzazione composta

e si possono ricavare le formule inverse: 1 −

M

M log M log C

t −

; i(t) =

C(t) = 1; t =

t

(1 + i) C log(1 + i)

Nella figura 1.3 è rappresentato l’andamento della legge M (t) fissato il

tasso i al variare del tempo di investimento nell’ipotesi di capitale iniziale

unitario.

La legge di capitalizzazione composta è una legge scindibile, si ha infatti:

t t−t t +t−t t

·

(1 + i) (1 + i) = (1 + i) = (1 + i)

1 1 1 1

Il regime di sconto coniugato del regime composto è per definizione dato da:

−t ≥

v(t) = (1 + i) , t 0 (1.2.17)

da cui −t

·

C = M (1 + i) (1.2.18)

12 CAPITOLO 1. LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

Se la durata dell’investimento non è un numero intero di periodi, si pos-

sono usare due approcci differenti per il calcolo della quota interessi. Sia t

la durata della capitalizzazione e sia t = n + f dove n rappresenta il numero

intero di periodi ed f la sua parte frazionaria. I due approcci per il calcolo

del montante di un’operazione con durata non intera sono i seguenti:

i) convenzione lineare: la parte frazionaria viene calcolata ad interessi

semplici n ·

M (t) = C(1 + i) (1 + i f )

ii) convenzione esponenziale: gli interessi vengono calcolati in capitalizza-

zione composta per l’intero periodo t

M (t) = C(1 + i)

Confronto tra i diversi regimi di capitalizzazione

I diversi regimi di capitalizzazione vengono utilizzati correntemente per

operazioni di natura diversa. Il montante ottenuto per investimenti di durata

inferiore all’anno, come si può vedere dalla figura 1.4 è diverso a parità di

durata e tasso di investimento a seconda del regime utilizzato.

Il regime di capitalizzazione semplice produce il montante più elevato per

durata inferiore all’anno, mentre risulta essere il meno conveniente per du-

rate superiori. In tale regime vengono calcolati gli interessi sui BOT (Buoni

Ordinari del Tesoro), certificati di debito di durata variabile solitamente in-

feriore all’anno.

In regime di capitalizzazione composta vengono calcolati gli interessi sui pre-

stiti (mutui, finanziamenti rateali, etc) che risultano convenienti per chi con-

cede il prestito soprattutto per durate superiori all’anno.

Infine, il regime di sconto commerciale viene utilizzato solitamente per lo

sconto di effetti quali cambiali ad esempio e produce il montante più elevato

in caso di durate superiori all’anno. Si noti infine che per t = 0 e t = 1 i

diversi regimi producono lo stesso montante complessivo.

1.2.3 Tassi equivalenti

Quanto la capitalizzazione degli interessi non avviene annualmente, ma con

cadenze temporali più frequenti (ad esempio mensile, trimestrale, etc.) è

necessario valutare l’investimento con il tasso di interesse riferito al periodo

di capitalizzazione. Nasce quindi l’esigenza di convertire i tassi annui in tassi

periodali equivalenti.

La metodologia di conversione differisce a seconda del regime utilizzato:

1.2. RICHIAMI DI TEORIA 13

1+i

1 C.S.

C.C.

S.C.

0 1

Figura 1.4: Confronto tra tassi nei tre regimi di capitalizzazione

i) capitalizzazione semplice i

i = (1.2.19)

n n

·

i = n i (1.2.20)

n

ii) capitalizzazione composta 1 −

i = (1 + i) 1 (1.2.21)

n

n n −

i = (1 + i ) 1 (1.2.22)

n

iii) sconto commerciale d (1.2.23)

d =

n n

·

d = n d (1.2.24)

n

Nelle formule precedenti i e d rappresentano, rispettivamente, il tasso di

n n

interesse ed il tasso di sconto commerciale riferiti ad 1/n di anno. Ad esempio,

il tasso semestrale sarà indicato con i poichè un semestre rappresenta la metà

2

di un anno; i è il tasso trimestrale, i è il tasso mensile e cosı̀ via.

4 12

Molto spesso, nei prestiti al consumo, viene indicato non il tasso annuo ef-

fettivo i ma il tasso annuo nominale convertibile n volte denominato j . Tale

n

14 CAPITOLO 1. LEGGI DI CAPITALIZZAZIONE

scelta è dettata principalmente da due fattori: il primo riguarda l’orizzonte di

capitalizzazione, ovvero il fatto che la capitalizzazione spesso non è annuale

ma riferita a periodi più brevi; un altrettanto valido motivo è riconducibile

alla relazione tra tasso annuo effettivo i e tasso nominale convertibile j . Si

n

ha infatti, i > j , quindi nel caso di prestiti è indubbiamente più appetibile

n

avere un tasso dichiarato inferiore anche se non sempre è quello effettivo a

cui tali prestiti vengono erogati. La relazione che intercorre tra il tasso j e

n

i è indicata nelle seguenti formule: j

n (1.2.25)

i =

n n

·

j = n i (1.2.26)

n n

Conoscendo il tasso j , è possibile risalire al tasso effettivo periodale

n

corrispondente i e quindi calcolare il tasso annuo effettivo i sfruttando

n

l’equivalenza tra tassi nel regime prescelto.

1.3 Esercizi svolti

1.3.1 Leggi finanziarie

Esercizio 1.3.1 Stabilire se la legge finanziara associata al fattore di mon-

1+3t è scindibile.

tante f (t) = 1+t

Soluzione 0 3 . Di

La derivata prima della legge finanziaria risulta pari a f (t) = 2

(1+t)

conseguenza l’intensità istantanea d’interesse è:

0

f (t) 3

δ(t) = =

f (t) (1 + t) (1 + 3t)

poiché l’intensità di interesse non è costante rispetto al tempo, la legge

finanziaria associata al fattore di montante non è scindibile.

2

5t +2t

Esercizio 1.3.2 Data la seguente funzione: f (t) = e stabilire se rap-

presenta una legge di capitalizzazione e nel caso di risposta affermativa se

tale legge è scindibile.

Soluzione

Perchè la funzione rappresenti una legge di capitalizzazione devono essere

verificate tre condizioni:

1.3. ESERCIZI SVOLTI 15

∀ ≤ ≤

i) f (t) è definita 0 t T e questo punto è automaticamente verificato

<

perchè la funzione esponenziale ha come campo di esistenza tutto

0

⇒

ii) f (0) = 1 f (0) = e = 1 0

⇒

iii) f (t) è non decrescente studio il segno della derivata prima: f (t) =

2 −2t 15

5t · ∀t − quindi non decrescente

e (10t + 2) che risulta positiva >

nell’intervallo (0, +∞).

Per verificare se tale funzione risulta scindibile calcoliamo l’intensità istanta-

nea d’interesse: 2

0 −2t

5t ·

f (t) e (10t + 2)

= = 10t + 2

δ(t) = 2 −2t

5t

f (t) e

Poichè tale valore varia al variare di t la legge non è scindibile.

Esercizio 1.3.3 Verificare che la legge di capitalizzazione composta è una

legge scindibile.

Soluzione

Ricordando la definizione di scindibilità:

−

f (t) = f (t )f (t t ), 0 < t < t.

1 1 1 t

e applicandola alla legge di capitalizzazione composta f (t) = (1 + i) si

ottiene: t t t−t

·

(1 + i) = (1 + i) (1 + i) , 0 < t < t.

1 1 1

Sfruttando le proprietà delle potenze si ha:

t t +t−t t

(1 + i) = (1 + i) = (1 + i)

1 1

l’uguaglianza è provata. In maniera analoga si poteva utilizzare l’intensità

istantanea d’interesse: 0 t