Appunti Di Matematica Finanziaria

A

− ·

log 1 i

R

−

n = (2.1.5)

log(1 + i)

38 CAPITOLO 2. RENDITE

A

− i > 0 ovvero

Si noti che l’espressione 2.1.6 ha senso se e solo se si ha 1 R

·

R > A i. Noti, invece la rata, il tasso ed il montante, il calcolo della durata

della rendita diventa pari a:

M ·

log i +1

R

n = log(1 + i)

Il calcolo del tasso d’interesse può essere fatto con metodi risolutivi ap-

prossimati quali metodi di ricerca degli zeri di un polinomio (tangenti, se-

canti, valor medio, etc).

Rendite periodiche immediate anticipate a rate costanti

Il valore attuale di una rendita immediata anticipata può essere ottenuto

tramite la seguente formula: ·

A = R ä nei

dove −n

−

1 (1 + i) · (1 + i)

ä =

nei i

Analogamente può essere calcolato il montante di tale rendita, all’atto

dell’ultimo versamento: ·

M = R s̈ nei

dove n −

(1 + i) 1 ·

s̈ = (1 + i)

nei i

Di fatto le formule per il calcolo delle rendite anticipate sono equivalenti al

calcolo di quelle posticipate capitalizzando per un periodo i risultati ottenuti.

Le formule inverse per il calcolo della rata, noti montante o valore attuale

risultano pari a: −1 −1

· ·

M M i(1 + i) A A i(1 + i)

= o R = =

R = −n

n − −

s̈ (1 + i) 1 ä 1 (1 + i)

nei nei

Noti la rata, il tasso ed il valore attuale, il calcolo della durata della

rendita diventa pari a:

A·i

−

log 1 R·(1+i)

−

n = (2.1.6)

log(1 + i) A·i

−

Si noti che l’espressione 2.1.6 ha senso se e solo se si ha 1 > 0 ovvero

R·(1+i)

i

·

R > A . Noti, invece la rata, il tasso ed il montante, il calcolo della

1+i

2.1. RICHIAMI DI TEORIA 39

durata della rendita diventa pari a:

·i

M +1

log R·(1+i)

n = log(1 + i)

In entrambi i casi, comunque, tutti i flussi devono essere adeguati in

funzione della periodicità della rendita, ad esempio se la rendita è annuale

il tasso di interesse i deve essere annuale ed il numero di pagamenti n deve

essere espresso in anni, se la rendita è mensile il tasso da utilizzare è i ed i

12

periodi n devono essere espressi in mesi.

Rendite periodiche differite a rate costanti

Nel caso di rendite differite, la distinzione tra rendite anticipate e posticipate

spesso è ininfluente. È sempre possibile, infatti, trasformare una rendita

anticipata in una posticipata equivalente.

Per quanto riguarda il calcolo del montante di tale rendita, il differimento

non modifica il calcolo di tale valore poichè la capitalizzazione delle rate

avviene dal pagamento della prima rata e non è influenzata dal differimento.

Pertanto valgono le stesse formule prima ricordate per le rendite immediate.

Si modifica invece il calcolo del valore attuale di tale rendita, infatti si

ha, indicando con t̄ la durata del differimento: −

t̄

· ·

A = R a (1 + i)

nei

Rendite perpetue

Le rendite perpetue rappresentano una classe di rendite in cui la rata perio-

dica viene corrisposta fino alla morte del contraente. Esempi di tali rendite

sono l’usufrutto e l’assicurazione sulla vita. Nel caso dell’usufrutto, la nuda

proprietà del bene viene scissa dal possesso del medesimo. Quindi finchè

l’usufruttuario è in vita continua a percepire i frutti del possesso del bene

(si pensi ad esempio al caso di un immobile concesso in locazione dall’usu-

fruttuario; i canoni di locazione costituiscono una rendita perpetua per tale

soggetto).

Nel caso di rendite perpetue si deduce facilmente che non è possibile

calcolarne il montante. Non si conosce infatti la scadenza di tali rendite,

presupposto indispensabile per stabilire il valore finale. È, altresı̀, calcolabile

il valore attuale di tali rendite attraverso la seguente formula:

R

A = i

40 CAPITOLO 2. RENDITE

2.2 Esercizi svolti

2.2.1 Rendite

Esercizio 2.2.1 Su un fondo il cui tasso di rendimento annuo è del 12%

vengono depositati 13.000€ con l’intento di prelevare mensilmente in via po-

sticipata 500€. Dopo quanto tempo avviene l’ultimo prelievo?

Soluzione

L’operazione si configura come il valore attuale di una rendita periodica po-

sticipata con rate mensili. Per questo motivo è necessario calcolare il tasso

mensile equivalente a quello annuo i = 12%. La relazione tra tassi equivalenti

in capitalizzazione composta permette di calcolare tale tasso:

√ q

12 − −

12

1+ i 1= 1 + 0, 12 1 = 0, 95%

i =

12

il valore attuale quindi diventa: ·

13.000 = 500 a nei 12

da cui si ricava −n

−

13.000 1 (1 + i )

12

⇒

= a 26 =

nei 12

500 i

quindi sostituendo il valore di i l’equazione rimane nella sola incognita n e

12

si risolve applicando la trasformazione logaritmica:

− ·

ln 1 26 0, 0095

− = 30

n = ln 1, 0095

L’ultimo prelievo avviene dopo 2 anni e mezzo.

Esercizio 2.2.2 Tizio intende costituire la somma di 4500 effettuando 9

€

versamenti annui al tasso del 7%. Calcolare:

a) la rata di costituzione

b) il fondo di costituzione dopo il versamento della quarta rata

c) il fondo di costituzione cinque mesi dopo il versamento della quinta

rata.

2.2. ESERCIZI SVOLTI 41

Soluzione

a) La rata di costituzione si ricava dalla formula del montante di una rendita:

·

4.500 = R s 9e0,07

da cui si ricava R = 375, 7.

b) Il fondo di costituzione dopo il pagamento della quarta rata coincide con

il montante accumulato al tempo t = 4:

·

F (4) = 375, 7 s = 1.668

4e0,07

c) il montante 5 mesi dopo il versamento della quinta rata risulta:

5

· · = 2.222, 26.

M = 375, 7 s (1 + 0, 07) 12

5e0,07

Esercizio 2.2.3 Ripetere il precedente esercizio nell’ipotesi di costituzione

anticipata.

Soluzione

a) La rata di costituzione si ricava dalla formula del montante di una rendita

anticipata: ·

4.500 = R s̈ 9e0,07

da cui si ricava R = 351, 11.

b) Il fondo di costituzione dopo il pagamento della quarta rata è

·

F (4) = 351, 11 s = 1.558, 91

4e0,07

c) il montante 5 mesi dopo il versamento della quinta rata risulta:

5

· · = 2.076, 87

M = 351, 11 s (1 + 0, 07) 12

5e0,07

Esercizio 2.2.4 Per costituire la somma di 9.000 devo effettuare 20 ver-

€,

samenti trimestrali al tasso del 2, 85% trimestrale. Determinare l’ammontare

di ciascuna rata ed il fondo disponibile alla fine del secondo anno.

Soluzione

L’ammontare di ciascuna rata si ricava dalla seguente equivalenza:

· ⇒

9.000 = R s R = 340

20e0,0285

Alla fine del secondo anno sono state versate 8 rate, quindi il fondo alla fine

di tale anno risulta pari al montante di tali rate:

· ⇒

M = 340 s M = 3.007, 35

8e0,0285

42 CAPITOLO 2. RENDITE

Esercizio 2.2.5 Nella costituzione posticipata in 15 semestri di un certo ca-

pitale al tasso del 4, 5% semestrale, il fondo disponibile alla fine del settimo

semestre ammonta a 21.220,76. Determinare l’importo della rata costante

€

ed il capitale che si vuole costituire.

Soluzione

L’importo della rata si ricava dall’equivalenza tra montante prodotto al pa-

gamento della settima rata e fondo costituito. In formule:

·

M = R s = 21.220, 76

7 7e0,045

da cui si ricava R = 2.646, 26. Il capitale che si vuole costituire, quindi, si

ricava dal calcolo del montante all’atto dell’ultimo versamento, ovvero:

·

M = 2.646, 26 s = 55.000

15 15e0,045

Esercizio 2.2.6 Per costituire la somma di 25.000 Tizio programma di

€,

fare 36 versamenti mensili anticipati al tasso del 10, 8% annuo convertibile

mensilmente. Determinare:

a) la rata di costituzione

b) il fondo di costituzione al quinto mese

Dopo un anno, Tizio è costretto a modificare il suo piano come segue: dal do-

dicesimo al ventesimo mese deve sospendere i versamenti previsti e prelevare

mensilmente 150 quindi a partire dal ventunesimo mese riprende a versare

€;

477,233. Determinare qual è il fondo di cui tizio dispone dopo il settimo

€

prelevamento e quanti ulteriori versamenti deve effettuare per raggiungere

l’obiettivo voluto.

Soluzione

I versamenti che Tizio deve effettuare sono mensili, quindi bisogna convertire

il tasso annuo in quello mensile equivalente:

0, 108

J

12 = = 0, 009

i =

12 12 12

la rata anticipata che tizio deve versare risulta:

A 25.000

R = = = 585, 83

s̈ s̈

nei 36e0,009

Al quinto mese appena prima del versamento della sesta rata, il fondo di

costituzione accumulato è: ·

F (5) = 585, 83 s̈ = 3.009, 19

5e0,009

2.2. ESERCIZI SVOLTI 43

Dal tempo t = 0 al tempo t = 12 escluso, Tizio ha effettuato 12 versamenti

anticipati, quindi il montante accumulato in t = 12 è pari a:

·

F (12) = 585, 83 s̈ = 7.455, 09

12e0,009

Il settimo prelevamento avviene al tempo t = 18, quindi il fondo in quella

data risulta pari alla differenza tra F (12) capitalizzato fino al tempo t = 18

ed il montante dei prelievi effettuati. In formule si ha:

6

· − ·

F (18) = 7.455, 09 (1 + 0, 009) 150 s = 6.788, 053

7e0,009

Per calcolare, infine, il numero di ulteriori versamenti che devono essere fatti

per raggiungere il capitale di 25.000 , si procede calcolando per prima cosa

€

il fondo costituito in t = 20. 8

· − ·

F (20) = 7.455, 09 (1 + 0, 009) 150 s = 6.609, 438

9e0,009

Quindi l’equivalenza per il calcolo del numero di rate è:

n

· ·

25.000 = 6.609, 438 (1 + 0, 009) + 477, 233 s ne0,009

da cui si ricava la seguente equazione in n:

n

·

59.655, 49 1, 009 = 78.025, 89

trasformando in logaritmi si ricava:

78.025,89

ln 59.655,49 = 29, 96

n = ln 1, 009

Quindi servono ulteriori 29 versamenti interi ed uno parziale per raggiungere

l’obiettivo previsto.

2.2.2 Accumulazione di capitale

Esercizio 2.2.7 Una persona intende costituire la somma di 4.000 me-

€

diante 9 versamenti annui posticipati. Il tasso inizialmente del 7% viene

successivamente aumentato al 7, 5% dopo il versamento della quarta rata.

Calcolare la rata originaria e la nuova rata.

Soluzione

La rata originaria si ottiene dalla formula inversa per il calcolo del montante

di una rendita periodica posticipata:

A 4.000

R = = = 333, 946

s s

nei 9e0,07

44 CAPITOLO 2. RENDITE