appunti matematica e statistica

Capitolo 1 - Nozioni di base

1.1

Logica: disciplina che si occupa di come impostare ragionamenti corretti e dedurre conseguenze coerenti da premesse date.

Proposizioni e connettivi(enunciati)una affermazione di cui dica se vera o falsa

semplice -> composta

Un connettivo logico è un operatore che permette di costruire una proposizione a partire da altre.

• NEGAZIONE "¬" (¬p si legge "non p")
• CONGIUNZIONE "^" (p^q si legge "p e q" -> falsa se tutte e due F)
• DISGIUNZIONE "V" (pVq si legge "p o q" -> falsa solo se tutte e due F)
• IMPLICAZIONE "⇒" (p⇒q si legge "p implica q", oppure "p se q" oppure "p solo se q" -> falsa se p è vera e q falsa)
• EQUIVALENZA "⇔" (p⇔q si legge "p è equivalente q", stesso valore)

TAVOLA DI VERITÀ

Proprietà

1. p⇔¬ (¬p) La neg. della negazione di p equivale a p.
2. p∨¬p principio del terzo escluso, può essere solo V o F. (in una c'è la sol)
3. ¬ (p ^ ¬p) p, non contraddizione non può essere sia V che F.

Capitolo 1 - Nozioni di base

1.1

Logica: disciplina che si occupa di come impostare ragionamenti corretti e dedurne conseguenze coerenti da premesse valide.

Proposizioni e connettivi (enunciati)un' affermazione di cui dirà senso chiedersi se e vera o falsa semplice composta

Un connettivo logico e un operatore che permette di costruire una proposizione a partire da altre.

• NEGAZIONE "¬" (¬p si legge "non p")
• CONGIUNZIONE "∧" (p∧q si legge "p e q" falso se tutte e due F)
• DISGIUNZIONE "∨" (p∨q si legge "p o q" falso solo se tutte e due F)
• IMPLICAZIONE "⇒" (p⇒q si legge "se p allora q" e sempre vera tranne
• EQUIVALENZA "⇔" (p⇔q si equivalenti p, q hanno lo stesso valore)

TAVOLA DI VERITA'

• P q ¬p ¬q p∧q p∨q p⇒q p⇔q
• V V F F V V V V
• V F F V F V F F
• F V V F F V V F
• F F V V F F V V

Proprietà

1. p⇔┐(┐p) La neg. della negazione di p equivale a p.
2. p∨┐p principio del terzo escluso, puo essere solo V o F: iu uno e c'e' la sol
3. ┐(p∧┐p) p non contraddizione, non puo' essere sia V che F.

(IV) ⊬ (p∧q)⟷(⊬p∨⊬q) ∧ ⊬ (p∨q)⟷(⊬p∧⊬q)

Leggi di De Morgan

1. negare p e q ∨ → almeno una è falsa
2. negare che almeno uno sia vero = è automatico falsare tutti

(V) (p⊃q)⟷(⊬p∨q)⟷(⊬q⊃⊬p)

contaminale

premessa ⊃ q vera quando q falsa ⊃ p falsa

(VI) [(⊬p⊃q)∧(⊬q⊃r)]⊃(⊬p⊃r)

proprietà transitiva

Teoremi, assiomi, postulati

Teorema: p ⊃ q, due per se sono proposizioni semplici, ammettono

vero significato considerato vero il suo enunciato.

Suo prenoti: Hp (ipotesi)

Th (tesi)

Dim (dimostrazioni)

Ipotesi + svolgimento = tesi

conseguenza

Assioma: proposizione non dimostrabile se è logica e ritenuto vero,

si usa logica; Postulato

Definizione: enunciazione tra oggetto e significato che gli si vuole dare.

Predicati e quantificatori

Un predicato è una proposizione che dipende da uno o più argomenti

notabili in un insieme detto dominio, i suoi elementi costituiscono

"insieme di verità".

es. P(x)=x

Quantificatori: modifica il valore di un predicato

1. Q. UNIVERSALE "∀" → per ogni
2. Q. ESISTENZIALE "∃" → esiste almeno uno
3. Q. ESISTENZIALE UNITARIO → esiste ed è unico

Uguaglianza =

Ogni elemento di A è anche in B e viceversa.

Se è vero questo si può dire:

A = B

Le relazioni senza di inclusione sono transitive:

se (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C) ⇒ (A ⊆ C)

anche quella di uguaglianza:

(A = B) ∧ (B = C) ⇒ (A = C)

L’insieme delle parti P(A) = {B | B ⊆ A} l’insieme che ha per elementi tutti i sottoinsiemi di A.

Operazioni tra gli insiemi

Intersezione

un insieme dato dagli elementi che sono sia in A che in B

A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

Unione

un insieme dato dagli elementi che sono in A o in B

A ∪