appunti matematica e statistica

Capitolo 1 - Nozioni di base

1.1

Logica: disciplina che si occupa di come impostare ragionamenti corretti, e dedurre conseguenze coerenti da premesse valide.

Proposizioni e connettivi (enunciati): una affermazione di cui dirà senso chiederci se è vera o falsa, semplice composta

Un connettivo logico è un operatore che permette di costruire una proposizione a partire da altre.

• Negazione “¬” (¬p si legge “non p”)
• Congiunzione “∧” (p ∧ q si legge “p e q”, è vera solo se tutte e due V)
• Disgiunzione “∨” (p ∨ q si legge “p o q”, è falsa solo se tutte e due F)
• Implicazione “⇒” (p ⇒ q si legge “se p allora q”, è sempre vera tranne se p è vera e q falsa)
• Equivalenza “⇔” (p ⇔ q equivale p ⇒ q e q ⇒ p, è vera se hanno lo stesso valore)

Tavola di verità

Proprietà

• (i) p ⇔ ¬(¬p) La neg. della negazione di p equivale a p.
• (ii) p ∨ ¬p principio del terzo escluso, può essere solo V o F: in una cosa sola
• (iii) ¬(p ∧ ¬p) non contraddizione, non può essere sia V che F.

(IV)

¬(p∧q)⟷(¬p∨¬q) e ¬(p∨q)⟷(¬p∧¬q)

Leggi di De Morgan

• negare p e q, almeno una è falsa
• negare che almeno una e f ⇒ entrambe false

(V)

∀p(p⇒p)

tautologia

p vero esclude q falso ⇒ p falso

(VI)

(p⇒q)∧(q⇒r)⇒(p⇒r)

proprietà transitiva

Teoremi, assiomi, postulati

Teorema: p⇒q, dove p è suo proposizioni semplici, ammettere vero significa considerare vero il suo enunciato.

Sono presenti:

• Hp (ipotesi)
• Th (tesi)

lemma + teorema + corollario⇒conseguenza

Assioma: proposizione non dimostrabile se è logico e ritenuto vero.

Se è un logico: Postulato

Definizione: enunciazione no oggetto e significato che gli si vuole dare.

Predicati e quantificatori

Un predicato è una proposizione che dipende da uno o più argomenti variabili in un insieme detto dominio, i suoi valori costituiscono "insieme di verità".

es. p(x) = x∈ℕ per x=3 ⇒ p(3) = 3∈ℕ F

Quantificatori: qualifica il valore di un predicato

• Q. UNIVERSALE "∀" ∴ per ogni
• Q. ESISTENZIALE "∃" ∴ esiste almeno uno
• Q. ESISTENZIALE UNITARIO ∴ esiste ed è unico

Vettori

• V_nv (2,8,5,6)
• V_u (x₁,x₂,x₃) spazio tridimensionale → ∈ ℝ³
• V_u (V₁,V₂,...,V_n) → oggetto ∈ ℝⁿ quindi n è suo

Considero n°^tori x sono savuto nettori che sua sono sulla stresso spazio

V, W ∈ ℝ

V+W = contrassegno (V₁+W₁, V₂+W₂, ... ,V_m+W_m)

Vettore nullo (0,0,0,...,0)

Se V = (2,8,5,6) e V+W = (0,0,0,0) allora W = (-2,-8,-5,-6)

Prodotto scalare x vettore

• (3,2,3,5,3,-6) = (6,8,15,-18)
• z = z₁ z = z = z _n

Differenza

• V-W = (2,5,-6) - (7,3,4) = (-5,2,-10)
• V+(-W) = (2,5,-6) + (-7,3,-4) = (-5,2,-10)

Lunghezza Vettore

• ||V|| = √((x²)+(u²)+(z²)) = √4+25+36 = √65 = 8,06
• ||V|| = √₁V² ₁V² ... + V²_n

Matrice quadrata

A = ²⁄₇ ( -3 ³⁄₂)

det A = -2 7

Matrice tripla

det A = 6 7

Metodo di Cramer

x + 4 + 2 = 6

1 + 4 = 6

1 x 1 2 z = 2

1 2 3

x y

x + 4 2

(x = 1)

1 2 3

x y

x + 4 2

(z = 2)

Calcolo B1

det B1 ⁶⁄₇1

= -7 (-28 -6) = 29 - 22 = 7

det B2

-7 + 36 = 0 + 44 + 0 - 0 40

Esercizio 1

a) v(1,1) w(-1,2)

• z = v+w (-1,1 + 2) (0,3)
• z-w+v (0,3) - w

2 v + w

1. |v| = √(1² + 1²) = √2
2. |w| = √2² + 3 = √5

Esercizio 3

• v(√2,√2) w=(-2,3)
• z = w+v (-2√2 + 3√2, 3-√2)
• z-v = -2√2 + 3√2 = √2

1. |√2| - √2² = √2² = √2 + 2 = √2 = 2

Esercizio 2

• v(2,0) w(0,2)
• |v-w| = 1 |(2,0) (0,2)| = |0|=0
• |v| = √(2² + 0²) = 2
• |w| = √(0² + 2²) = 2
• |v+w| = √(4 + 4) = 2√2
• v + w = 2(0,2)
• |v-w| ≤ |v| |w| |w| Cauchy-Schwarz
• 0 ≤ 2 · 2 verificata
• ||v|| + ||w|| ≤ ||v|| + ||w|| dis. triangolare
• 2√2 ≤ 2 + 2 verificata
• angolo tra v e w → arccos^v·w (|v|·|w|) = 1
• α = 90°
• π ²

a_n = n → 1

a_n+1 = 3

b_m = 2n - 5

b_m+1 = 8n - 5

sen² x = 2

8π²

Prodotto a_m = 2m - 5

n²

c = b

Discussione delle proprietà di un grafico di una funzione continua

Operazioni

• S_n = a_m + b_n a = b
• c_m = a_m = b = 0
• p_m = a_m ∙ b_m a = b
• r_m = a = 2
• bm = 0, ∀n∈N

a_m = a

a_n+1 = 1 > 0

a_m > 0 definiti

Calcolo differenziale

Teorema di Fermat

f continua [a,b]

x₀ è di estremo

x₀ è un estremo → ]a,b[

f'(x₀) = 0

Teorema di Rolle

f continua [a,b]

f è derivabile in ]a,b[

f(a)=f(b)

→ ∃ x₀ ∈ ]a,b[| f'(x₀)=0

Teorema di Lagrange

f continua in [a,b]

f derivabile in ]a,b[

→ ∃ x₀ ∈ ]a,b[| f'(x₀)=

(f(b)-f(a))/(b-a)

x₁ + x₂ + x₃ + ... + x₁₀₀

∑ simbolo sommatoria

N=3

∫ f(x) dx = sommatoria da n₁ a N di f u n di f di Δx₁

f₂ Δx₂ + f₂ Δx₂ + f₃ Δx₃

Esercizio

∫₁² 2x dx = 3

L’integranda

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f(x) dx + ∫_c^b f(x) dx proprietà additiva dell'integrale

Gli integrali con estremi coincidenti ⇒ 0

f(x)=2x

f(x)=6x

∫₁² 2x dx = 3

∫₁² 6x dx = 9

∫_a^b kf(x) dx = fai integrale f(x) e poi moltiplica per k

k ∫_a^b f(x) dx