Appunti Matematica con elementi di statistica, file 3

Operazioni per le funzioni continue

Dalle proprietà delle operazioni sui limiti segue che somma, prodotto e quoziente di funzioni continue sono funzioni continue.

Se f e g sono continue in x₀, si ha:

• f+g continua in x₀, cioè, lim_x→x₀ [f(x) + g(x)] = f(x₀) + g(x₀)
• f·g continua in x₀, cioè, lim_x→x₀ [f(x)·g(x)] = f(x₀)·g(x₀)

Se g ≠ 0 vicino a x₀, f/g continua in x₀, cioè:

lim_x→x₀ f(x)/g(x) = f(x₀)/g(x₀)

Allo stesso modo se f è continua e invertibile, allora anche la sua inversa f^-1 è continua.

Esempi di funzioni continue:

• La funzione valore assoluto |x|
• La funzione potenza ad esponente reale x^b
• Polinomi P(x) = a₀ + a₁ x + ... + a_n xⁿ
• Le funzioni razionali
• Le funzioni esponenziali a^x e le loro inverse
• Le funzioni sin x, cos x, tg x e le loro inverse.

Limite Di Una Funzione Composta

Date f e g funzioni per cui ha senso f∘g e continue:

(f∘g⟶lim_x→x0 f(x) = f(x₀))

lim g (x̅) = g̅ (x₀).

Per il significato di composizione:

lim_x→x0 (f∘g(x)) = lim_x→x0 [f(x̅∘g(x))] = f (g̅⟶x₀ ) = f (lim_x→x0 g(x̅))

Esempio:

f(x) =

• 1/x²+1 x≠1
• 1 x=±2

se x ≤ -1 se x ≥ 1.

Se x₀≠1 è una funzione sempre definita in R.

Se lim_x→>1^- |x|±2 = 1±2 = 3

2 ≠f(3) non è continua

f(a)⟶f(a⟶-2(x)²-1 = 12-1 = 2

Es.

f(x) =

• |x|/x x≠0
• 1 x=0

f: ℝ -> ℝ

x₀∈R f(x₀) = lim_x→x0 f(x)

f(x₀) = 1

• lim_x→x0 |-1/1 = 1, lim_x→x0 1/1 = 1 = 1

=> lim ≠ lim non continua

f(x)=e^x

f'(x)=lim_h→0 f(x+h)-f(x)/h = lim_h→0 e^x+h-e^x/h = lim_h→0 e^x(e^h-1)/h = e^x

DERIVATA DEL log

f:(0; +∞)→ℝ

f(x)=ln x

f'(x)=lim_h→0 f(x+h)-f(x)/h = lim_h→0 ln(x+h)-ln x/h = 1/x lim_h→0 ln(1+h/x)/(h/x)

f'(x)=1/x

ALTRI ESEMPI DI DERIVATE CALCOLABILI DAI LIMITI NOTE VOLI

f(x)=sin x f'(x)=cos x

g(x)=cos x g'(x)=-sin x

OPERAZIONI CON LE DERIVATE

• f,g FUNZIONI DERIVABILI E α∈ℝ
• PRODOTTO PER UNA COSTANTE: (α f)^'(x)=αf'(x)
• SOMMA: (f+g)^'(x)=f'(x)+g'(x)
• PRODOTTO: (f·g)^'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
• QUOZIENTE: (f/g)^'(x)=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/(g(x))²

g(x) = ln(x² - 2x)

g'(x) = ^{2x - 2}/_{x² - 2x}

-∞ 0 2 +∞

f: (x( x - 2 ) ) ≥ 0 x( x - 2 ) ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ∩ x ≥ 2

f: (-∞, 0 ) ∪ (2, +∞) → &R;

2x - 2 > 0 ⇒ 2( x - 1) > 0

x > 1

h(x) = e^-x2/₂

h : &R; → &R;

h'(x) + e^-x2/₂

( -x ) 1 - x e^-x2/₂

-∞ 0 +∞

h crescente in (-∞, 0 )

h decrescente in [0, +∞)

esempio di esercizio completo

3)

f(x) =                     e^2+K-x     se     -1 ≤ x ≤ 1                    x² + 2     se     1 < x ≤ 3

f continua in Rf: [-1, 3] → R

lim_{x→1^- f(x) = f(1) = limx→1⁺ f(x)}

(sempre vera in questo caso)

lim_{x→1⁺ (x² + 2) - 3}

3 = lim_x→1 f(x)     ⇒    3 = e^2+K e^-x     ⇒    3 = e⁰ e^1+K     ⇒    ln 3 = 1 + K

K = ln 3 - 1

Se si forma un angolo non è derivabile     =>     per K = ln 3 - 1 f in x = 1 non è derivabile

f(x) =                     e^2+K-x     (-1)                    2x     se     -1 < x ≤ 1     se     1 < x ≤ 3

lim_h→0 (f(1+h) - f(1)) / h = e^1+K

(non derivabile nel punto x = 1)

lim_h→0 (f(h+1) - f(t)) / h = 2

(derivata nel punto x = 3)

es.3

h  rV = cost. = 330 cm³

V = A_bhV = πr²hS = 2πr² + 2πrh ⟹ h =

330 cm³ _________  (π)(3,75) cm² ⟹ h = 7,5 cm

2πr² + 2πrh ⟹ h = ^V/_2πrh = V/ (2πr) ⟹ r = sqrt(^{330 cm3}/_2π) = 3,75 cm

f: (0, +∞) → R

f(r): 2πr² + 2πrh V/_r = 2πr² + 2V/_r

SE r → 0 = +∞

∞ r > 0 = +∞ +∞

f'(r) = 4πr - 2V/r²

cerco f'(r) = 0

f'(r) = 0 ⇔ 2πr = V/r² ⇔ r³ = V/2π⇨ r = ³√(V/_2π)

or₁r^'

3√V/2π

POLIGONO DI FREQUENZA

DISTRIBUZIONE DELLE FREQUENZE

• 59,5 ≤ p < 62,5 - 61 - 5
• 62,5 ≤ p < 65,5 - 64 - 18
• 65,5 ≤ p < 68,5 - 67 - 24
• 68,5 ≤ p < 71,5 - 70 - 27
• 71,5 ≤ p < 74,5 - 73 - 8

• Mediante un istogramma riusciamo a rappresentare in modo efficace le frequenze delle classi
• Unendo i punti medi, otteniamo il poligono di frequenza

Dal poligono delle frequenze ricavo il primo metodo per il calcolo della mediana.

1. Calcolo l'area totale dell'istogramma (P.S. A_tot = 300)
2. 3.5 + 3.18 + (Me - 65.5) * 42 = 150

→ Me = ⁸¹/₄₂*65,5 = 67,63 Kg