Appunti Matematica con elementi di statistica, file 3

Operazioni Per Le Funzioni Continue

Dalle proprietà delle operazioni sui limiti segue che somma, prodotto e quoziente di funzioni continue sono funzioni continue.

Se f e g sono continue in x₀, si ha:

• f+g continua in x₀, cioè: lim_x→x0[f(x)+g(x)] = f(x₀)+g(x₀)
• f·g continua in x₀, cioè: lim_x→x0[f(x)·g(x)] = f(x₀)·g(x₀)

Se g≠0 vicino a x₀, ^f/_g continua in x₀, cioè:

Allo stesso modo se f è continua e invertibile, allora anche la sua inversa f^-1 è continua.

Esempi di funzioni continue:

• La funzione valore assoluto |x|
• La funzione potenza ad esponente reale x^b
• Polinomi P(x)=a₀+a₂x+...+a_nx^h
• Le funzioni razionali
• Le funzioni esponenziali a^x e le loro inverse
• Le funzioni sinx, cosx, tgx e le loro inverse.

Operazioni Per Le Funzioni Continue

Dalle proprietà delle operazioni sui limiti segue che somma, prodotto e quoziente di funzioni continue sono funzioni continue.

Se f e g sono continue in x₀, si ha:

• f ± g continua in x₀, cioè lim_x→0 [f(x) ± g(x)] = f(x₀) ± g(x₀)
• f · g continua in x₀, cioè lim_x→0 [f(x) · g(x)] = f(x₀) · g(x₀)

Se g≠0 vicino a x₀, ^f/_g continua in x₀, cioè:

lim_x→x0 ^{f(x) - f(x₀)}/_{g(x) - g(x0)}

Allo stesso modo se f è continua e invertibile, allora anche la sua inversa f^-1 è continua.

Esempi Di Funzioni Continue:

• La funzione valore assoluto |x|
• La funzione potenza ad esponente reale x^b
• Polinomi P(x) = a₀ + a₁x + ... + a_nx^h
• Le funzioni razionali
• Le funzioni esponenziali a^x e le loro inverse
• Le funzioni sin x, cos x, tg x e le loro inverse.

Limite di una funzione composta

Date f e g funzioni per cui ha senso f ∘ g e continue:

(g⟶) ^lim_x→x₀ f(x) = f(x₀)

^lim_x→x₀ g(x) = g(x₀)

Per il significato di composizione:

^lim_x→x₀ (g(x)) = ^lim_x→x₀ [f(x) ∘ g(x)] = f(g(x₀)) = f(^lim_x→x₀ (g(x)))

Esempio:

f(x) = {x²+1 se x ≤ 11|x+2 se x > 1}

Se x₀ ≠ 1 contiene x₀ e una funzione definita sempre definita in ℝ

Se ^lim_x→1⁻ |x|+2 = 1+2 = 3

→ ❌ 2/3 non è continua

Se es.: ^lim_x→1⁺ (x²-1) = 1²-1+2 = 2

Es.

f(x) = {1/x x≠01 x=0}

x₀ ∈ ℝ f(x₀) = ^lim_x→x₀ f(x)

f(x₀) = 1

^lim_x→x₀⁻ 1/1 = 1, ^lim_x→x₀⁺ -1 = -1

❌ ^lim_x→x₀⁻ ≠ ^lim_x→x₀⁺ non continua in x₀

ESERCIZIO TROVA K

3x³x+2x K se x ≤ 0

f(x) = √ x+1 se x > 0

lim √ x+1 = √0+1 = 1

x → 0

f(0)=1 ⇒ 3(0)³+0+2-K = 1 ⇒ 2-1= K > 1

È IL VALORE IN CUI LA FUNZIONE È CONTINUA

TEOREMA DI WEIERSTRASS

SE UNA FUNZIONE È CONTINUA SU UN INTERVALLO

ALLORA ESISTE SEMPRE IL MASSIMO E IL MINIMO ASSOLUTI DI f IN [a,b]

ESEMPI:

f(x)=x E: (0,1) → &R;

f(x)=x È DEFINITA IN (0,1)

NON ESSENDO UN INTERVALLO CHIUSO NON HA

NÉ MAX NÉ MIN

esempio

SIA UNA f EX ESPPLICITA f: &R; → &R; t.c. SIANO VERIFICATI

CONTEMPORANEMENTI:

f(0)=0

lim f(x)=+∞

x → +∞

f(x)={x se x ≥ 2

  -x se