Appunti matematica con elementi di statistica, file 2

Polinomi: con operazioni di somma e prodotto si costruiscono polinomi.

L'uso {di una funzione del tipo:

() = + + … + ₊⁺ +

è detta di grado n quando ≠

() : ℝ↦ℝ

() = +   ,∈ℝ

è di grado quando =

è di grado se ≠

e graficamente stiamo sempre parlando di una retta

() = + +   ,,∈ℝ

è di grado se ≠

Qui invece parliamo graficamente, settori di una parabola e per l’orientamento della parabola dipende da > o ➝ ∪

0 quindi

f: ℝ -> ℝ

f(x) = x / x²-1

Devo porre x²-1 = 0 che ha risultati per x = 1, ^ x = -1

f: (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞) -> ℝ

Di conseguenza con quei valori il denominatore diventa 0 e la funzione non sarebbe valida ma restringendo il dominio al campo d’esistenza troviamo che vale per:

f: (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞) -> ℝ

Quindi il campo d'esistenza è il dominio più grande per cui una funzione è definita.

6) log_a(x^b) = b log_ax   ∀ x > 0, ∀ b ∈ ℝ

DATO CHE   y = log_px ⇒ x = y^x allora   ∀ y = log_px ⇒ x = a^y ⇒ x^b = (a^y)^b = a^yb = ab = yb = b

      log_ax^b = b log_ax

7) CAMBIO DI BASE   log_ax = log_x / log_x ∀ x > 0, a, b > 0

• FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

DATA   |x| = x   IN MODO GENERICO SI PARLA DI FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

DI QUESTA FUNZIONE PER CUI OGNI VALORE DI x É > = 0

F : ℝ → ℝ⁺

( f(x) = |x| ) = ┐x per x > 0

       └+x per x < 0

PROPRIETÁ DEL VALORE ASSOLUTO:

1. |x| >= 0   ∀ x ∈ ℝ
2. |x| = 0   ⇔ x = 0
3. |x|, x₂| ≥ |x₁x₂|   ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ
4. |x₁ / x₂| = |x₁/x₂|   ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ   x₂ ≠ 0
5. |x|² = |x|   ∀ x ∈ ℝ
6. DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE:

|x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂|   ∀ x₁, x₂ ∈ ℝ

Dilatazioni

y = c·f(x)

y = f(x)

0 < c < 1

c > 1

y = f(k·x)

y = f(x)

0 < k < 1

k > 1

Cambio di scala rispetto all'asse y

y = c·f(x)

• Il grafico si comprime se il valore compreso 0 < c < 1.
• Si dilata se c > 1, ed è all'asse x se c = 0.

Cambio di scala sull'asse x

y = f(k·x)

• Il grafico si dilata se 0 < k < 1, si comprime se k > 1.

Valore assoluto

y = |f(x)|

• f(x) se x > 0
• -f(x) se x < 0

Funzione Arcoseno

Dato che f(x) = sin x è definita per x ∈ [-π/2, π/2] a valori in [-1, 1] e biunivoca.

arcsin: [-1, 1] → [-π/2, π/2] è la sua funzione inversa.

f(x) = sin x

Funzione Arcocoseno

Dato che g(x) = cos x è definita per x ∈ [0, π] a valori in [-1, 1] e biunivoca.

arccos: [-1, 1] → [0, π] è la sua funzione inversa.

g(x) = cos x

Limite Destro Finito

Quando la variabile x assume valori "vicini" ad a (e maggiori di a) i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L.

Limite destro finito

\(\lim_{{x \to a^+}} f(x) = L\)

Si dice che f(x) tende al limite L per x che tende ad a da destra se:

\(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; t.c. \; |f(x) - L| < \varepsilon \; \forall x \in (a, a+\delta)\)

Esempio:

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^2}}{{x}} = \left \{ \begin{array}{lr} 0,1 & , \\ 0,1 & \end{array} \right \} \]

Limite Sinistro Finito

Viceversa per il limite sinistro, la variabile x assume valori "vicini" a b (e minori di b), questi valori si avvicinano sempre più ad L.

Limite sinistro finito

\(\lim_{{x \to b^-}} f(x) = L\)

Si dice che f(x) tende al limite L per x che tende a b da sinistra se:

\(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; t.c. \; |f(x) - L| < \varepsilon \; \forall x \in (b-\delta, b)\)

Esempio:

\[\lim_{{x \to 0^+}} \frac{{x^2}}{{x}} = \left \{ \begin{array}{lr} 0,1 & , \\ -1 & \end{array} \right \} \]

Se _{limx→x0 f(x) = α e limx→x0 g(x) = ±∞ si ha:}

• Somma _{limx→x0 [f(x) + g(x)] = ±∞}

• Prodotto _{limx→x0 [f(x) ⋅ g(x)] =}

  • +∞ se α > 0
  • −∞ se α < 0

• Quoziente _{limx→x0 f(x) / g(x) = 0, in particolare limx→x0 1 / g(x) = 0}

Le proprietà valgono per x → ±∞, x → -∞, x → x_{0-, x → x0+}

Esempi:

• _limx→+∞ 2 (3 + 1/x) = 6

• _limx→+∞ (2 - e^{-x) = 2}

• _limx→+∞ 1/x / (e^{x) = 0}

Appendimento in R

• +∞ + C = +∞ , −∞ + C = −∞

• +∞ + ∞ = +∞ , −∞ − ∞ = −∞

• (±∞) + ±∞ = ±∞ , (±∞)(0) = 0

• C / ±∞ = 0

• Se C ≠ 0

• +∞ / C =
  • +∞ se C > 0
  • −∞ se C < 0

• (-∞) / C =
  • −∞ se C > 0
  • +∞ se C < 0