Polinomi: con operazioni di somma e prodotto si costruiscono polinomi.
L'uso {di una funzione del tipo:
() = + + … + ++ +
è detta di grado n quando ≠
() : ℝ↦ℝ
() = + ,∈ℝ
è di grado quando =
è di grado se ≠
e graficamente stiamo sempre parlando di una retta
() = + + ,,∈ℝ
è di grado se ≠
Qui invece parliamo graficamente, settori di una parabola e per l’orientamento della parabola dipende da > o ➝ ∪
0 quindi
f: ℝ -> ℝ
f(x) = x / x²-1
Devo porre x²-1 = 0 che ha risultati per x = 1, ^ x = -1
f: (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞) -> ℝ
Di conseguenza con quei valori il denominatore diventa 0 e la funzione non sarebbe valida ma restringendo il dominio al campo d’esistenza troviamo che vale per:
f: (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞) -> ℝ
Quindi il campo d'esistenza è il dominio più grande per cui una funzione è definita.
6) loga(xb) = b logax ∀ x > 0, ∀ b ∈ ℝ
DATO CHE y = logpx ⇒ x = yx allora ∀ y = logpx ⇒ x = ay ⇒ xb = (ay)b = ayb = ab = yb = b
logaxb = b logax
7) CAMBIO DI BASE logax = logx / logx ∀ x > 0, a, b > 0
• FUNZIONE VALORE ASSOLUTO
DATA |x| = x IN MODO GENERICO SI PARLA DI FUNZIONE VALORE ASSOLUTO
DI QUESTA FUNZIONE PER CUI OGNI VALORE DI x É > = 0
F : ℝ → ℝ+
( f(x) = |x| ) = ┐x per x > 0
└+x per x < 0
PROPRIETÁ DEL VALORE ASSOLUTO:
- |x| >= 0 ∀ x ∈ ℝ
- |x| = 0 ⇔ x = 0
- |x|, x2| ≥ |x1x2| ∀ x1, x2 ∈ ℝ
- |x1 / x2| = |x1/x2| ∀ x1, x2 ∈ ℝ x2 ≠ 0
- |x|2 = |x| ∀ x ∈ ℝ
- DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE:
|x1 + x2| ≤ |x1| + |x2| ∀ x1, x2 ∈ ℝ
Dilatazioni
y = c·f(x)
y = f(x)
0 < c < 1
c > 1
y = f(k·x)
y = f(x)
0 < k < 1
k > 1
Cambio di scala rispetto all'asse y
y = c·f(x)
- Il grafico si comprime se il valore compreso 0 < c < 1.
- Si dilata se c > 1, ed è all'asse x se c = 0.
Cambio di scala sull'asse x
y = f(k·x)
- Il grafico si dilata se 0 < k < 1, si comprime se k > 1.
Valore assoluto
y = |f(x)|
- f(x) se x > 0
- -f(x) se x < 0
Funzione Arcoseno
Dato che f(x) = sin x è definita per x ∈ [-π/2, π/2] a valori in [-1, 1] e biunivoca.
arcsin: [-1, 1] → [-π/2, π/2] è la sua funzione inversa.
f(x) = sin x
Funzione Arcocoseno
Dato che g(x) = cos x è definita per x ∈ [0, π] a valori in [-1, 1] e biunivoca.
arccos: [-1, 1] → [0, π] è la sua funzione inversa.
g(x) = cos x
Limite Destro Finito
Quando la variabile x assume valori "vicini" ad a (e maggiori di a) i corrispondenti valori di f(x) si avvicinano sempre più al valore L.
Limite destro finito
\(\lim_{{x \to a^+}} f(x) = L\)
Si dice che f(x) tende al limite L per x che tende ad a da destra se:
\(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; t.c. \; |f(x) - L| < \varepsilon \; \forall x \in (a, a+\delta)\)
Esempio:
\[\lim_{{x \to 0}} \frac{{x^2}}{{x}} = \left \{ \begin{array}{lr} 0,1 & , \\ 0,1 & \end{array} \right \} \]
Limite Sinistro Finito
Viceversa per il limite sinistro, la variabile x assume valori "vicini" a b (e minori di b), questi valori si avvicinano sempre più ad L.
Limite sinistro finito
\(\lim_{{x \to b^-}} f(x) = L\)
Si dice che f(x) tende al limite L per x che tende a b da sinistra se:
\(\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; t.c. \; |f(x) - L| < \varepsilon \; \forall x \in (b-\delta, b)\)
Esempio:
\[\lim_{{x \to 0^+}} \frac{{x^2}}{{x}} = \left \{ \begin{array}{lr} 0,1 & , \\ -1 & \end{array} \right \} \]
Se limx→x0 f(x) = α e limx→x0 g(x) = ±∞ si ha:
Somma limx→x0 [f(x) + g(x)] = ±∞
Prodotto limx→x0 [f(x) ⋅ g(x)] =
- +∞ se α > 0
- −∞ se α < 0
Quoziente limx→x0 f(x) / g(x) = 0, in particolare limx→x0 1 / g(x) = 0
Le proprietà valgono per x → ±∞, x → -∞, x → x0-, x → x0+
Esempi:
limx→+∞ 2 (3 + 1/x) = 6
limx→+∞ (2 - e-x) = 2
limx→+∞ 1/x / (ex) = 0
Appendimento in R
+∞ + C = +∞ , −∞ + C = −∞
+∞ + ∞ = +∞ , −∞ − ∞ = −∞
(±∞) + ±∞ = ±∞ , (±∞)(0) = 0
C / ±∞ = 0
Se C ≠ 0
- +∞ / C =
- +∞ se C > 0
- −∞ se C < 0
- (-∞) / C =
- −∞ se C > 0
- +∞ se C < 0
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