Appunti matematica con elementi di statistica, file 2

Poniamo l e operazioni di somma e prodotto si costituiscono i polinomi,

cioè la funzione del tipo:

P_n(x) = a₀ + a₁x + ... + a_n xⁿ definita su ℝ

P_n è detta di grado n quando a_n ≠ 0

f(x) = a + bx a,b ∈ ℝ

è di grado 0 quando b = 0

è di grado 1 se b ≠ 0

e graficamente stiamo sempre parlando di una retta

f(x) = c + bx + ax² a, b, c ∈ ℝ

è di grado 2 se a ≠ 0

qui invece parliamo graficamente,

stiamo di una parabola e per l'orientamento della parabola

dipende da a > 0 o a < 0

a > 0 => ∪

a < 0 => ∩

POLINOMI: CON OPERAZIONI DI SOMMA E PRODOTTO SI OTTENGONO I POLINOMI,DITI COME FUNZIONE DEL TIPO:

Pₙ(x) = a₀ + a₁x + ... + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + aₙxⁿ DEFINITA SU R

Pₙ È DETTA DI GRADO n QUANDO aₙ ≠ 0

Pₙ(x): R → R

f(x) = a + bx    a, b ∈ R

È DI GRADO 0 QUANDO b = 0

È DI GRADO 1 SE   b ≠ 0

E GRAFICAMENTE STIAMO SEMPREPARLANDO DI UNA RETTA

f(x) = c + bx + ax²    a, b, c ∈ R

È DI GRADO 2   SE a ≠ 0

QUI INVECE PARLIAMO GRAFICAMENTE,SEMPRE DI UNA PARABOLA E PER L'ORIENTAMENTODELLA PARABOLA DIPENDE DA a > 0 O < 0

a > 0 => ∪

a < 0 => ∩

FUNZIONI RAZIONALI: Facendo il quoziente di due polinomi si ottengono le funzioni razionali del tipo,

R(x) = ^P(x)/_Q(x)

{ x ∈ R - Q(x) ≠ 0 }

Quindi se per i polinomi il dominio era tutto R, ora per far valere queste funzioni razionali, bisogna restringere il dominio

P.E.

f(x) = ^x/_{1 + x²}

1 + x² sarà sempre > 0 quindi

f: R -> R

f(x) = ^x/_{1 - x²}

Devo porre 1 - x² = 0 che ha risultato per

x = 1 ∧ x = -1

D: (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞)

Di conseguenza con quei valori il denominatore verrebbe 0 e la funzione non sarebbe valida. Ma restringendo il dominio al campo d’esistenza troviamo che vale per

f: (-∞; -1) ∪ (-1; 1) ∪ (1; +∞) -> R

Quindi il campo d’esistenza è il dominio più grande per cui una funzione è definita.

FUNZIONE ESPONENZIALE E FUNZIONE LOGARITMO

NELLA FUNZIONE ESPONENZIALE GIÀ DAL NOME CAPIAMO CHE LA VARIABILE ORA È L'ESPONENTE.

CON a > 1

f: R → (0; +∞)

f(x) = a^x con a > 1

f^-1: (0; +∞) → R

f^-1(x) = log_ax con a > 1

TENENDO FISSA LA BASE MA VARIANDO L'ESPONENTE OTTENGO DIVERSI RISULTATI

• a⁰ = 1
• a¹ = a
• a^x > 0     ∀x∈R

POSSO DIRE CHE È STRETTAMENTE CRESCENTE QUINDI

x₁ < x₂ ⇒ a^x₁ < a^x₂

IMPORTANTE: GRAFICAMENTE SAPPIAMO CHE QUANDO x DIVENTA GRANDE a^x DIVENTA GRANDE MENTRE QUANDO x DIVENTA PICCOLO a^x TENDE A Ø

IMPORTANTISSIMO: SAPENDO CHE LA FUNZIONE ESPONENZIALE È SURIETTIVA, SI PUÒ DEFINIRE LA SUA FUNZIONE INVERTIBILE COME log in base a di x (log_ax) E GRAFICAMENTE SI PUÒ RICAVARE SEMPLICEMENTE DALLA REGOLA DELLE BISETTRICI.

f:ℝ→(0;+∞)

f(x)=a^x con 0<a<1

f^-1:(0;+∞)→ℝ

f^-1(x)_alog x con 0<a<1

Tenendo fissa la base ma variando l'esponente trovo alcuni risultati:

• a⁰=1, a¹=a
• a^x>0 ∀x∈ℝ

Posso dire che è strettamente decrescente, perciò:

x₁<x₂ ⇒ a^x₁>a^x₂

Importantissimo: sapendo che la funzione esponenziale è suriettiva, allora possiamo definire la sua funzione invertibile come log_ax

Proprietà della funzione esponenziale, definire V_a:

1. a^xa^y=a^x+y ∀x,y∈ℝ detta prodotto
2. (a^x)^y=a^xy ∀x,y∈ℝ detta composizione
3. a^xa^-x=a⁰=1 ⇒ a^-x=¹/_a^x detta reciproco

FUNZIONE LOGARITMICA

Per definizione è l’esponente da dare alla base a per ottenere x.

log_ax = y <<=> a^y = x

PROPRIETÀ DEI LOGARITMI

1. a^log_ax = x   ∀ x > 0

   Dato che a^y = x <<=> log_ax = y

2. log_a1 = 0   SEMPRE

   Dato che a⁰ = 1 => a⁰ = 1 => log_a1 = 0

3. log_aa = 1   SEMPRE

   Dato che a¹ = a => a¹ = a => log_aa = 1

4. log_a(x